高三数学一轮复习： 第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

这是一份高三数学一轮复习： 第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程，共10页。
综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：
1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力．
2．从考查知识点看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．
3．从命题思路上看：
(1)直线方程与其他知识相结合考查．
(2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系，弦长以及参数的求解．
(3)对圆锥曲线的考查，大多以圆锥曲线的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理．
(4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查，大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解，还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值，以及定点、定值、最值以及探究性问题等．
[导学心语]
1．抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握．
2．依托基础知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，函数与方程的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用．
3．加强纵横联系，强化综合应用意识：在知识的交汇处命题，已成为高考的一大亮点，尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以达到优化解题思路，简化解题过程的目的．
4．突出重点，热点考查内容的复习：如弦长问题，对称问题，定值(点)问题、范围问题，开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等．
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3．直线方程的五种形式
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( )
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )
(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A.eq \f(1,3) B.－eq \f(1,3)
C.－eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
B [设P(x,1)，Q(7，y)，则eq \f(x＋7,2)＝1，eq \f(y＋1,2)＝－1，
∴x＝－5，y＝－3，即P(－5,1)，Q(7，－3)，
故直线l的斜率k＝eq \f(－3－1,7＋5)＝－eq \f(1,3).]
3．(2014·福建高考)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0
D [圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.]
4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.
1或－2 [令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋eq \f(2,a).
依题意2＋a＝1＋eq \f(2,a)，解得a＝1或a＝－2.]
5．(2017·西安模拟)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________．
3x－2y＝0或x－y＋1＝0 [当直线过原点时，方程为y＝eq \f(3,2)x，即3x－2y＝0.
当直线l不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)－eq \f(y,a)＝1.
将P(2,3)代入方程，得a＝－1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0.
综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.]
(1)直线x－ycs θ＋1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围是________．
(2)(2017·郑州模拟)若直线l过点P(－3,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．
(1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－5，－\f(1,3))) [(1)当θ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，cs θ＝0，直线为x＋1＝0，其倾斜角为eq \f(π,2).
当θ≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，直线l的斜率为
tan α＝eq \f(1,cs θ)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
所以直线l的倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))).
综上，α的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))).
(2)因为P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，则kPA＝eq \f(－3－2,－2－－3)＝－5，
kPB＝eq \f(0－2,3－－3)＝－eq \f(1,3).
如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－5，－\f(1,3))).]
[规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R.
(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．
2．第(2)问求解要注意两点：
(1)斜率公式的正确计算；
(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k≤－5或k≥－eq \f(1,3).
[变式训练1] (1)(2017·惠州质检)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是( )
A．－1＜k＜eq \f(1,5) B.k＞1或k＜eq \f(1,2)
C．k＞eq \f(1,5)或k＜1 D.k＞eq \f(1,2)或k＜－1
(2)直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．
(1)D (2)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) [(1)设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－eq \f(2,k).
令－3＜1－eq \f(2,k)＜3，解不等式得k＜－1或k＞eq \f(1,2).
(2)直线l的斜率k＝eq \f(1＋m2,3－2)＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1.
又y＝tan α在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，因此eq \f(π,4)≤α＜eq \f(π,2).]
(1)过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的eq \f(1,3)的直线方程为________．
(2)若A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
(1)4x＋3y－13＝0 [设所求直线的斜率为k，依题意
k＝－4×eq \f(1,3)＝－eq \f(4,3).
又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为
y－3＝－eq \f(4,3)(x－1)，即4x＋3y－13＝0.]
(2)法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.
由题意得M(3,2).2分
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
所以直线l的方程为y＝eq \f(2,3)x，即2x－3y＝0.5分
若a≠0，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
因为直线l过点M(3,2)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(2,a)＝1，8分
所以a＝5，此时直线l的方程为eq \f(x,5)＋eq \f(y,5)＝1，即x＋y－5＝0.
综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.12分
法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3).2分
令y＝0，得x＝3－eq \f(2,k)；令x＝0，得y＝2－3k.5分
所以3－eq \f(2,k)＝2－3k，解得k＝－1或k＝eq \f(2,3).8分
所以直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝eq \f(2,3)(x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.12分
[规律方法] 1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．
2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．
[变式训练2] 求过点A(－1，－3)且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程．
[解] 由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，2分
则所求直线的倾斜角为2α.5分
∵tan α＝3，
∴tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(3,4).8分
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.12分
已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；
(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．
【导学号：01772284】
[解] (1)设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．
设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，3分
当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.5分
(2)设直线l的斜率为k，则k＜0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,k)，0))，B(0,1－k)，7分
所以|MA|2＋|MB|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－1＋\f(1,k)))2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋eq \f(1,k2)≥2＋2eq \r(k2·\f(1,k2))＝4.10分
当且仅当k2＝eq \f(1,k2)，即k＝－1时，上式等号成立．
所以当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程为x＋y－2＝0.12分
[规律方法] 1.求解本题的关键是找出|OA|＋|OB|与|MA|2＋|MB|2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．
2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．
[变式训练3] 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a为何值时，四边形的面积最小？
[解] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax－2y＝2a－4，,2x＋a2y＝2a2＋4，))得x＝y＝2，2分
∴直线l1与l2交于点A(2,2)(如图)．
易知|OB|＝a2＋2，|OC|＝2－a，5分
则S四边形OBAC＝S△AOB＋S△AOC＝eq \f(1,2)×2(a2＋2)＋eq \f(1,2)×2(2－a)＝a2－a＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(15,4)，a∈(0,2)，10分
∴当a＝eq \f(1,2)时，四边形OBAC的面积最小.12分
[思想与方法]
1．求直线方程的两种常见方法：
(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．
(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．
2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用．
[易错与防范]
1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．
3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.
4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时，易忽视判定B是否为0.当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－eq \f(A,B).
考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
直线的倾斜角与斜率、直线的方程、距离
全国卷Ⅱ·T4
全国卷Ⅰ·T10
全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅱ·T10
全国卷·T20
圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅲ·T16
全国卷Ⅰ·T14
全国卷Ⅱ·T7
全国卷Ⅱ·T16
全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅱ·T11
全国卷·T20
曲线与方程
全国卷Ⅲ·T20
全国卷Ⅱ·T20
椭圆的标准方程及其性质
全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅱ·T20
全国卷Ⅰ·T14
全国卷Ⅱ·T20
全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅱ·T20
全国卷Ⅰ·T10
全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅱ·T20
全国卷·T4
双曲线的标准方程及其性质
全国卷Ⅰ·T15
全国卷Ⅱ·T11
全国卷Ⅰ·T5
全国卷Ⅱ·T11
全国卷Ⅰ·T4
全国卷Ⅰ·T4
全国卷·T8
抛物线的标准方程及其性质
全国卷Ⅰ·T10
全国卷Ⅲ·T20
全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅰ·T10
全国卷Ⅱ·T10
全国卷Ⅱ·T11
全国卷·T20
直线与圆锥曲线的位置关系
全国卷Ⅱ·T20
全国卷Ⅱ·T20
全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅱ·T20
全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅱ·T20
全国卷·T20
圆锥曲线的综合应用
全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅱ·T20
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
直线的倾斜角和斜率
求直线的方程
直线方程的综合应用