高三数学一轮复习： 第9章 第3节 课时分层训练56

课时分层训练(五十六)　用样本估计总体

A组　基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．重庆市2016年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图9­3­9，则这组数据的中位数是(　　)

图9­3­9

A．19　　 B.20　

C.21.5　　 D.23

B　[由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中位数为＝20.]

2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为    (　　)

A．134石  B.169石

C.338石  D.1 365石

B　[254粒和1 543石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量．

设1 534石米内夹谷x石，则由题意知＝，

解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石．]

3．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图9­3­10，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)

图9­3­10

A．45  B.50

C.55  D.60

B　[由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.010＋0.005)×20＝0.3.

∴该班学生人数n＝＝50.]

4．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图9­3­11中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是(　　)

图9­3­11

A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上

B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个

D　[对于选项A，由题图易知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20 ℃的月份有七月、八月，共2个月份，故D错误．]

5．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　)

A．8  B.15

C.16  D.32

C　[已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16.]

二、填空题

6．如图9­3­12所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x＋y＝________.

 【导学号：01772365】

图9­3­12

10　[甲＝＝85，x＝6.

又∵乙同学的成绩众数为84，∴y＝4.

∴x＋y＝10.]

7．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图9­3­13所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.

 【导学号：01772366】

图9­3­13

24　[底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，

底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，

样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.]

8．(2017·郑州调研)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．

2　[易知甲＝90，乙＝90.

则s＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.

s＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.]

三、解答题

9．(2017·郑州调研)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图9­3­14所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.

 【导学号：01772367】

图9­3­14

(1)求出m，n的值；

(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s和s，并由此分析两组技工的加工水平．

[解]　(1)根据题意可知：甲＝(7＋8＋10＋12＋10＋m)＝10，乙＝(9＋n＋10＋11＋12)＝10，3分

∴m＝3，n＝8.5分

(2)s＝[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2，8分

s＝[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2，10分

∵甲＝乙，s＞s，

∴甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些.12分

10．(2016·北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

图9­3­15

(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？

(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．

[解]　(1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.3分

所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.

依题意，w至少定为3.5分

(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：

10分

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为

4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元).12分

B组　能力提升

(建议用时：15分钟)

1．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：

 【导学号：01772368】

图9­3­16

则7个剩余分数的方差为(　　)

A.　　 B.　

C.36　　 D.

B　[由题意知＝91，

解得x＝4.所以s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]

＝(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝.]

2．(2015·湖北高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图9­3­17所示．

图9­3­17

(1)直方图中的a＝________；

(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．

(1)3　(2)6 000　[(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.

(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.

因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.]

3．(2017·广州模拟)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图9­3­18.

图9­3­18

(1)求直方图中x的值；

(2)求月平均用电量的众数和中位数；

(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？

[解]　(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x＝0.007 5，

∴直方图中x的值为0.007 5.4分

(2)月平均用电量的众数是＝230.

∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，

∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224.8分

(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别有15户、10户、5户，

故抽样比为＝，

∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5(户).12分