高三数学一轮复习： 第8章 第7节 课时分层训练51

这是一份高三数学一轮复习： 第8章 第7节 课时分层训练51，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2016·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )
A．(0,2) B.(0,1)
C．(2,0) D.(1,0)
D [由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]
2．(2017·广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线y＝eq \f(1,12)x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )
A．(0,2) B.(0，－3)
C．(0,3) D.(0,6)
C [直线y＋3＝0是抛物线x2＝12y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．]
3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的渐近线的距离是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C．1 D.eq \r(3)
B [由双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1知其渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，即eq \r(3)x±y＝0，
又y2＝4x的焦点F(1,0)，
∴焦点F到直线的距离d＝eq \f(\r(3),\r(\r(3)2＋－12))＝eq \f(\r(3),2).]
4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
C [由已知得抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设点A(0,2)，点M(x0，y0)．
则eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，－2))，eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),2p)，y0－2)).
由已知得，eq \(AF,\s\up7(→))·eq \(AM,\s\up7(→))＝0，即yeq \\al(2,0)－8y0＋16＝0，
因而y0＝4，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)，4)).
由|MF|＝5，得eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)－\f(p,2)))2＋16)＝5，
又p>0，解得p＝2或p＝8.
故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]
5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq \r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq \r(2)，则△POF的面积为( )
【导学号：01772325】
A．2 B.2eq \r(2)
C．2eq \r(3) D.4
C [如图，设点P的坐标为(x0，y0)，
由|PF|＝x0＋eq \r(2)＝4eq \r(2)，得x0＝3eq \r(2)，
代入抛物线方程得，yeq \\al(2,0)＝4eq \r(2)×3eq \r(2)＝24，
所以|y0|＝2eq \r(6)，
所以S△POF＝eq \f(1,2)|OF||y0|＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×2eq \r(6)＝2eq \r(3).]
二、填空题
6．(2017·山西四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为__________.
【导学号：01772326】
8 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝x－1，))消去y得x2－6x＋1＝0.
所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
7．如图8­7­1，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则eq \f(b,a)＝__________.
图8­7­1
eq \r(2)＋1 [由题意可得Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－a))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋b，b))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝pa，,b2＝2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋b))，))eq \f(b,a)＝eq \r(2)＋1(舍去1－eq \r(2))．]
8．(2017·江西九校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.
2eq \r(3) [y2＝2px的准线为x＝－eq \f(p,2).
由于△ABF为等边三角形．
因此不妨设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，\f(p,\r(3))))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，－\f(p,\r(3)))).
又点A，B在双曲线y2－x2＝1，
从而eq \f(p2,3)－eq \f(p2,4)＝1，所以p＝2eq \r(3).]
三、解答题
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝12.
(1)求抛物线的方程；
(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
[解] (1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，
得y2－2pmy＋4p＝0.2分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，
则x1x2＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),4p2)＝4，
因为eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x.5分
(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.7分
设AB的中点为M，
则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.①
又|AB|＝eq \r(1＋m2)|y1－y2|＝eq \r(1＋m216m2－32).②
由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，10分
解得m2＝3，m＝±eq \r(3)，
所以直线l的方程为x＋eq \r(3)y＋2＝0或x－eq \r(3)y＋2＝0.12分
10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1【导学号：01772327】
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋λeq \(OB,\s\up7(→))，求λ的值．
[解] (1)由题意得直线AB的方程为y＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(5p,4).3分
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(5p,4)＋p＝9，
所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.5分
(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2eq \r(2)，y2＝4eq \r(2)，
从而A(1，－2eq \r(2))，B(4,4eq \r(2)).8分
设C(x3，y3)，则eq \(OC,\s\up7(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq \r(2))＋λ(4,4eq \r(2))＝(4λ＋1,4eq \r(2)λ－2eq \r(2)).10分
又yeq \\al(2,3)＝8x3，所以[2eq \r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A.eq \f(\r(30),3) B.6
C．12 D.7eq \r(3)
C [∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，
∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，
∴AB的方程为y－0＝tan 30°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，即y＝eq \f(\r(3),3)x－eq \f(\r(3),4).
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝3x，,y＝\f(\r(3),3)x－\f(\r(3),4)，))得eq \f(1,3)x2－eq \f(7,2)x＋eq \f(3,16)＝0，
∴x1＋x2＝－eq \f(－\f(7,2),\f(1,3))＝eq \f(21,2)，即xA＋xB＝eq \f(21,2).
由于|AB|＝xA＋xB＋p，
∴|AB|＝eq \f(21,2)＋eq \f(3,2)＝12.]
2．(2017·衡水中学月考)已知直线l：y＝kx＋t与圆：x2＋(y＋1)2＝1相切，且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是________________．
t>0或t<－3 [因为直线l与圆相切，所以eq \f(|t＋1|,\r(1＋k2))＝1⇒k2＝t2＋2t.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，
于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，
解得t>0或t<－3.]
3．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
(1)若eq \(AF,\s\up7(→))＝2 eq \(FB,\s\up7(→))，求直线AB的斜率；
(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
【导学号：01772328】
[解] (1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得
y2－4my－4＝0. 2分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
因为eq \(AF,\s\up7(→))＝2 eq \(FB,\s\up7(→))，所以y1＝－2y2.
联立上述三式，消去y1，y2得m＝±eq \f(\r(2),4).
所以直线AB的斜率是±2eq \r(2). 5分
(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，
从而点O与点C到直线AB的距离相等，
所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.8分
因为2S△AOB＝2×eq \f(1,2)·|OF|·|y1－y2|
＝eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝4eq \r(1＋m2)，
所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4. 12分