高三数学一轮复习： 选修4-4 第1节 课时分层训练67

这是一份高三数学一轮复习： 选修4-4 第1节 课时分层训练67，共4页。试卷主要包含了在极坐标系下，已知圆O，在直角坐标系xOy中，曲线C1，从极点O作直线与另一直线l等内容，欢迎下载使用。
[解] 点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))化为直角坐标为(eq \r(3)，1)，3分
直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＝1化为ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin θ－\f(1,2)cs θ))＝1，
得eq \f(\r(3),2)y－eq \f(1,2)x＝1，
即直线的方程为x－eq \r(3)y＋2＝0，6分
故点(eq \r(3)，1)到直线x－eq \r(3)y＋2＝0的距离d＝eq \f(|\r(3)－\r(3)×1＋2|,\r(12＋－\r(3)2))＝1.10分
2．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cs θ＋sin θ和直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2).
【导学号：01772438】
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
[解] (1)圆O：ρ＝cs θ＋sin θ，即ρ2＝ρcs θ＋ρsin θ，2分
圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0，4分
直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，即ρsin θ－ρcs θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.6分
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－x－y＝0，,x－y＋1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))8分
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))).10分
3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝1，圆C的圆心的极坐标是Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,4)))，圆的半径为1.
【导学号：01772439】
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长．
[解] (1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝eq \f(π,4)－θ或∠AOD＝θ－eq \f(π,4)，2分
OA＝ODcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))或OA＝ODcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))).4分
(2)由ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝1，得eq \f(\r(2),2)ρ(sin θ＋cs θ)＝1，6分
∴直线l的直角坐标方程为x＋y－eq \r(2)＝0，
又圆心C的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，满足直线l的方程，
∴直线l过圆C的圆心，8分
故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分
4．(2017·南京调研)在极坐标系中，已知圆C的圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,3)))，半径r＝3.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且eq \(OQ,\s\up13(→))＝2eq \(QP,\s\up13(→))，求动点P的轨迹方程．
[解] (1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点．
在△OCM中，∠COM＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))，由余弦定理得
|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))，
化简得ρ＝6cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3))).4分
(2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，
由eq \(OQ,\s\up13(→))＝2eq \(QP,\s\up13(→))，得eq \(OQ,\s\up13(→))＝eq \f(2,3)eq \(OP,\s\up13(→))，
∴ρ1＝eq \f(2,3)ρ，θ1＝θ，8分
代入圆C的方程，得eq \f(2,3)ρ＝6cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))，
即ρ＝9cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3))).10分
5．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数，t≠0)，其中0≤α