高考数学一轮复习讲义第2章第2节函数的单调性与最值

这是一份高考数学一轮复习讲义第2章第2节函数的单调性与最值，共14页。试卷主要包含了函数的单调性，函数的最值，定义新运算等内容，欢迎下载使用。

1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
【知识拓展】
函数单调性的常用结论
(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔f(x)在D上是增函数，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)0)的增区间为(－∞，－eq \r(a)]和[eq \r(a)，＋∞)，减区间为[－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a)]．
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)0)的单调增区间为________．
答案 (0，＋∞)
解析 函数的对称轴为x＝－1，又x>0，
所以函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
4．(教材改编)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________．
答案 (－∞，1]
解析 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是[a，＋∞)，由[1,2]⊆[a，＋∞)，可得a≤1.
5．(教材改编)已知函数f(x)＝eq \f(2,x－1)，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
答案 2 eq \f(2,5)
解析 可判断函数f(x)＝eq \f(2,x－1)在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝eq \f(2,5).
题型一 确定函数的单调性(区间)
命题点1 给出具体解析式的函数的单调性
例1 (1)函数的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
(2)y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间为________．
答案 (1)D (2)(－∞，－1]，[0,1]
解析 (1)因为t>0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．
(2)由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x0)，用定义法判断函数f(x)在(－1,1)上的单调性．
解 设－10，∴f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当m0，
所以f(x)在(0, eq \r(－\f(1,2m)))上单调递增；
当x∈( eq \r(－\f(1,2m))，＋∞)时，f′(x)0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，
所以－3－3，所以01)的最小值为________．
答案 (1)1 (2)8
解析 (1)易知函数y＝x＋eq \r(x－1)在[1，＋∞)上为增函数，∴x＝1时，ymin＝1.(本题也可用换元法求解)
(2)方法一 (基本不等式法)f(x)＝eq \f(x2＋8,x－1)＝eq \f(x－12＋2x－1＋9,x－1)
＝(x－1)＋eq \f(9,x－1)＋2≥2 eq \r(x－1·\f(9,x－1))＋2＝8，
当且仅当x－1＝eq \f(9,x－1)，即x＝4时，f(x)min＝8.
方法二 (导数法)f′(x)＝eq \f(x－4x＋2,x－12)，
令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去)．
当1x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c
答案 D
解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f(－eq \f(1,2))＝f(eq \f(5,2))，且2c.
命题点2 解函数不等式
例5 (2017·珠海月考)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f(eq \f(1,2))＝0，则满足的x的集合为________________．
答案 {x|0