高考数学一轮复习讲义第2章第5节指数与指数函数

这是一份高考数学一轮复习讲义第2章第5节指数与指数函数，共14页。学案主要包含了知识拓展，思考辨析等内容，欢迎下载使用。


1．分数指数幂
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
【知识拓展】
1．指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(－1，eq \f(1,a))．
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)eq \r(n,an)＝(eq \r(n,a))n＝a.( × )
(2)分数指数幂可以理解为eq \f(m,n)个a相乘．( × )
(3)( × )
(4)函数y＝a－x是R上的增函数．( × )
(5)函数(a>1)的值域是(0，＋∞)．( × )
(6)函数y＝2x－1是指数函数．( × )
1．(教材改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P(2，eq \f(1,2))，则f(－1)等于( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2) C.eq \f(1,4) D．4
答案 B
解析 由题意知eq \f(1,2)＝a2，所以a＝eq \f(\r(2),2)，
所以f(x)＝(eq \f(\r(2),2))x，所以f(－1)＝(eq \f(\r(2),2))－1＝eq \r(2).
2．(2017·青岛调研)已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为( )
A．(0,1) B．(2,3)
C．(3,2) D．(2,2)
答案 B
解析 由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2,3)．
3．已知则a，b，c的大小关系是( )
A．cC．b答案 D
解析 ∵y＝(eq \f(3,5))x是减函数，
即a>b>1，
又
∴c4．计算：＝________.
答案 2
解析 原式＝
5．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
答案 [0,8)
解析 ∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，
∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，
∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8).
题型一 指数幂的运算
例1 化简下列各式：
解 (1)原式＝
＝eq \f(5,2)－eq \f(3,2)－1＝0.
(2)原式＝
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
化简＝________.
答案 eq \f(8,5)
解析 原式＝
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)已知实数a，b满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2cD．2a＋2c<2
答案 (1)B (2)D
解析 (1)如图，观察易知，a，b的关系为a(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
∵af(c)>f(b)，结合图象知，
00，
∴0<2a<1.
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
∴f(c)<1，∴0∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2，故选D.
思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0B．a>1，b>0
C．00D．0(2)(2016·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
答案 (1)D (2)[－1,1]
解析 (1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，
由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 指数函数单调性的应用
例3 (1)(2016·威海模拟)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
答案 (1)B (2)(－3,1)
解析 (1)选项B中，∵y＝0.6x是减函数，
∴0.6－1>0.62.
(2)当a<0时，不等式f(a)<1可化为(eq \f(1,2))a－7<1，
即(eq \f(1,2))a<8，即(eq \f(1,2))a<(eq \f(1,2))－3，
∴a>－3.又a<0，∴－3当a≥0时，不等式f(a)<1可化为eq \r(a)<1.
∴0≤a<1，
综上，a的取值范围为(－3,1)．
命题点2 复合函数的单调性
例4 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m| (m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
(2)函数的单调减区间为__________________________________．
答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]
解析 (1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[eq \f(m,2)，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，eq \f(m,2)]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq \f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
(2)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u在R上为减函数，
∴函数的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
∴f(x)的减区间为(－∞，1]．
引申探究
函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．
答案 [0，＋∞)
解析 设t＝2x，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，
令2x≥1，得x≥0，
∴函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．
命题点3 函数的值域(或最值)
例5 (1)函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．
答案 (1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，57)) (2)eq \f(1,3)或3
解析 (1)令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，因为x∈[－3,2]，
所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，8))，
故y＝t2－t＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4).
当t＝eq \f(1,2)时，ymin＝eq \f(3,4)；当t＝8时，ymax＝57.
故所求函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，57)).
(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[eq \f(1,a)，a]，又函数y＝(t＋1)2－2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．
当0又函数y＝(t＋1)2－2在[a，eq \f(1,a)]上单调递增，
则ymax＝(eq \f(1,a)＋1)2－2＝14，解得a＝eq \f(1,3)(负值舍去)．
综上，a＝3或a＝eq \f(1,3).
思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论；(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解．
(1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x，a≤x＜0，,－x2＋2x，0≤x≤4))的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．[－3,0)
C．[－3，－1]D．{－3}
(2)已知函数f(x)＝2x－eq \f(1,2x)，函数g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx，x≥0，,f－x，x<0，))则函数g(x)的最小值是________．
答案 (1)B (2)0
解析 (1)当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，
当a≤x＜0时，f(x)∈[－(eq \f(1,2))a，－1)，
所以[－eq \f(1,2a)，－1)[－8,1]，
即－8≤－eq \f(1,2a)＜－1，即－3≤a＜0，
所以实数a的取值范围是[－3,0)．
(2)当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－eq \f(1,2x)为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－eq \f(1,2－x)为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
2．指数函数底数的讨论
典例 (2016·日照模拟)已知函数(a，b为常数，且a>0，a≠1)在区间[－eq \f(3,2)，0]上有最大值3，最小值eq \f(5,2)，则a，b的值分别为________．
错解展示
解析 令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵－eq \f(3,2)≤x≤0，∴－1≤t≤0.
∵eq \f(1,a)≤at≤1，∴b＋eq \f(1,a)≤b＋at≤b＋1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,a)＝\f(5,2)，,b＋1＝3，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2.))
答案 2,2
现场纠错
解析 令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵x∈[－eq \f(3,2)，0]，∴t∈[－1,0]．
①若a>1，函数f(x)＝at在[－1,0]上为增函数，
∴at∈[eq \f(1,a)，1]，∈[b＋eq \f(1,a)，b＋1]，
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,a)＝\f(5,2)，,b＋1＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2.))
②若0∴at∈[1，eq \f(1,a)]，
则b＋ax2＋2x∈[b＋1，b＋eq \f(1,a)]，
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,a)＝3，,b＋1＝\f(5,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,3)，,b＝\f(3,2).))
综上①②，所求a，b的值为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,3)，,b＝\f(3,2).))
答案 2,2或eq \f(2,3)，eq \f(3,2)
纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.
1．(2016·昆明模拟)设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y的值为( )
A．18 B．21 C．24 D．27
答案 D
解析 ∵2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3，
∵9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y，
解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.
2．函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )
答案 B
解析 ∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除C、D.
又x＝1时，|f(x)|min＝1，排除A.
故选B.
3．已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，则( )
A．a>b>cB．a>c>b
C．c>a>bD．b>c>a
答案 A
解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y＝0.4x在R上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b>c.
又a＝40.2>40＝1，b＝0.40.2<1，
所以a>b.综上，a>b>c.
4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A．[9,81]B．[3,9]
C．[1,9]D．[1，＋∞)
答案 C
解析 由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，
因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，
所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.
故选C.
5．(2015·山东)若函数f(x)＝eq \f(2x＋1,2x－a)是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即eq \f(2－x＋1,2－x－a)＝－eq \f(2x＋1,2x－a)，整理得(a－1)(2x＋1)＝0，
∴a＝1，∴f(x)＞3即为eq \f(2x＋1,2x－1)＞3，
当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0当x<0时，2x－1<0，∴2x＋1<3·2x－3，无解．
∴x的取值范围为(0,1)．
*6.(2016·六安综合训练)已知函数F(x)＝ex满足F(x)＝g(x)＋h(x)，且g(x)，h(x)分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈(0,2]使得不等式g(2x)－ah(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2eq \r(2)) B．(－∞，2eq \r(2)]
C．(0,2eq \r(2)] D．(2eq \r(2)，＋∞)
答案 B
解析 因为F(x)＝g(x)＋h(x), 且g(x)，h(x)分别是R上的偶函数和奇函数，所以g(x)＋h(x)＝ex，g(－x)＋h(－x)＝e－x，即g(x)－h(x)＝e－x，解得g(x)＝eq \f(ex＋e－x,2)，h(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，对∀x∈(0,2]使得不等式g(2x)－ah(x)≥0恒成立等价于eq \f(e2x＋e－2x,2)－a·eq \f(ex－e－x,2)≥0，即a≤eq \f(e2x＋e－2x,ex－e－x)＝eq \f(ex－e－x2＋2,ex－e－x)＝ex－e－x＋eq \f(2,ex－e－x)，设t＝ex－e－x，则函数t＝ex－e－x在区间(0,2]上单调递增，所以0所以a≤2eq \r(2)，实数a的取值范围是(－∞，2eq \r(2) ]，故选B.
7．(2017·合肥质检)不等式的解集为________．
答案 (－1,4)
解析 原不等式等价为
又函数y＝2x为增函数，∴－x2＋2x>－x－4，
即x2－3x－4<0，∴－18．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
答案 (0，eq \f(1,2))
解析 (数形结合法)
由图象可知0<2a<1，∴09．(2016·武汉模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝－eq \f(1,4x)＋eq \f(1,2x)，则此函数的值域为________．
答案 [－eq \f(1,4)，eq \f(1,4)]
解析 设t＝eq \f(1,2x)，当x≥0时，2x≥1，∴0f(t)＝－t2＋t＝－(t－eq \f(1,2))2＋eq \f(1,4).
∴0≤f(t)≤eq \f(1,4)，故当x≥0时，f(x)∈[0，eq \f(1,4)]．
∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
∴当x≤0时，f(x)∈[－eq \f(1,4)，0]．
故函数的值域为[－eq \f(1,4)，eq \f(1,4)]．
10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－1,2)
解析 原不等式变形为m2－m因为函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在(－∞，－1]上是减函数，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m11．已知函数f(x)＝(eq \f(2,3))|x|－a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于eq \f(9,4)，求a的值．
解 (1)令t＝|x|－a，则f(x)＝(eq \f(2,3))t，
不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，
在[0，＋∞)上单调递增，
又y＝(eq \f(2,3))t是单调递减的，
因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，
单调递减区间是[0，＋∞)．
(2)由于f(x)的最大值是eq \f(9,4)，且eq \f(9,4)＝(eq \f(2,3))－2，
所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，即g(0)＝－2，
从而a＝2.
12．已知函数
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解 (1)当a＝－1时，
令t＝－x2－4x＋3，
由于函数t＝－x2－4x＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，
单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(3a－4,a)＝－1，))解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
*13.已知函数f(x)＝eq \f(1,4x)－eq \f(λ,2x－1)＋3(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝eq \f(3,2)，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．
解 (1)f(x)＝eq \f(1,4x)－eq \f(λ,2x－1)＋3
＝(eq \f(1,2))2x－2λ·(eq \f(1,2))x＋3(－1≤x≤2)．
设t＝(eq \f(1,2))x，得g(t)＝t2－2λt＋3(eq \f(1,4)≤t≤2)．
当λ＝eq \f(3,2)时，g(t)＝t2－3t＋3
＝(t－eq \f(3,2))2＋eq \f(3,4)(eq \f(1,4)≤t≤2)．
所以g(t)max＝g(eq \f(1,4))＝eq \f(37,16)，g(t)min＝g(eq \f(3,2))＝eq \f(3,4).
所以f(x)max＝eq \f(37,16)，f(x)min＝eq \f(3,4)，
故函数f(x)的值域为[eq \f(3,4)，eq \f(37,16)]．
(2)由(1)得g(t)＝t2－2λt＋3
＝(t－λ)2＋3－λ2(eq \f(1,4)≤t≤2)，
①当λ≤eq \f(1,4)时，g(t)min＝g(eq \f(1,4))＝－eq \f(λ,2)＋eq \f(49,16)，
令－eq \f(λ,2)＋eq \f(49,16)＝1，得λ＝eq \f(33,8)>eq \f(1,4)，
不符合舍去；
②当eq \f(1,4)<λ≤2时，g(t)min＝g(λ)＝－λ2＋3，
令－λ2＋3＝1，得λ＝eq \r(2)(λ＝－eq \r(2)③当λ>2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，
令－4λ＋7＝1，得λ＝eq \f(3,2)<2，不符合舍去．
综上所述，实数λ的值为eq \r(2).y＝ax
a>1
0图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0,1)
(4)当x>0时，y>1；
当x<0时，0(5)当x>0时，0当x<0时，y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数