高考数学一轮复习讲义第5章第3节平面向量的数量积

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1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积

3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cosθ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝||＝.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝＝.

【知识拓展】
1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．
2．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　√　)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)
(5)两个向量的夹角的范围是[0，]．(　×　)

1．(教材改编)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于(　　)
A．－12 B．6
C．－6 D．12
答案　D
解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，
由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，
∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．(2017·南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|等于(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　由题意可得a·b＝|b|cos30°＝|b|,4a2－4a·b＋b2＝1，即4－2|b|＋b2＝1，由此求得|b|＝，故选C.
3．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·等于(　　)
A．5B．4C．3D．2
答案　A
解析　∵四边形ABCD为平行四边形，
∴＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．
∴·＝2×3＋(－1)×1＝5.
4．(2016·北京)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．
答案　
解析　设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝，
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
5．(2016·厦门模拟)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________.
答案　
解析　∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，
∴x＝2，∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5，
∴|a＋b|＝＝
＝＝.

题型一　平面向量数量积的运算
例1　(1)(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)
A．－ B.
C. D.
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
答案　(1)B　(2)1　1
解析　(1)如图，由条件可知＝－，

＝＋＝＋
＝＋，
所以·
＝(－)·(＋)
＝2－·－2.
因为△ABC是边长为1的等边三角形，
所以||＝||＝1，∠BAC＝60°，
所以·＝－－＝.
(2)方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设
E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，
故·的最大值为1.
方法二　由图知，

无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝||·1＝1，
当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1，
∴(·)max＝||·1＝1.
思维升华　平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
　(1)(2016·全国丙卷)已知向量＝，＝，则∠ABC等于(　　)
A．30°B．45°C．60°D．120°
(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．
答案　(1)A　(2)
解析　(1)∵||＝1，||＝1，
cos∠ABC＝＝，
又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.
(2)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，
∠ABC＝60°，∴CD＝1，＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴·＝·＝·＋·＋·＋·＝2×1×cos60°＋2×＋×12×cos60°＋××12×cos120°＝.
题型二　平面向量数量积的应用
命题点1　求向量的模
例2　(1)(2016·西安模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.
(2)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．
答案　(1)2　(2)＋1
解析　(1)因为＝(＋)
＝(2a＋2b＋2a－6b)
＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)
＝4×(3－2×2××cos＋4)＝4，
所以||＝2.
(2)设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1，
知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．
又O＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)
＝(x－1，y＋)，
∴|＋＋|＝.
问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．
∵圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为＝，
故的最大值为＋1.
即|＋＋|的最大值是＋1.
命题点2　求向量的夹角
例3　(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________________．
答案　(1)　(2)∪
解析　(1)因为a2＝(3e1－2e2)2
＝9－2×3×2×12×cosα＋4＝9，
所以|a|＝3，
因为b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×12×cosα＋1＝8，
所以|b|＝2，
a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)
＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，
所以cosβ＝＝＝.
(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，
∴(2a－3b)·c＜0，
即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，
∴4k－6－6＜0，
∴k＜3.
又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.
当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
即2a－3b与c反向．
综上，k的取值范围为∪.
思维升华　平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
②|a±b|＝＝.
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
　(1)(2015·湖北)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.
(2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　　)
A. B．2
C. D．6
答案　(1)9　(2)C
解析　(1)因为⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.
(2)∵·＝－1，
∴||·||·cos120°＝－1，
即||·||＝2，
∴||2＝|－|2＝2－2·＋2
≥2||·||－2·＝6，
∴||min＝.
题型三　平面向量与三角函数
例4　(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.
(1)若m⊥n，求tanx的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解　(1)因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，
所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
即sinx－cosx＝，
所以sin＝，
因为0 所以x－＝，即x＝.
思维升华　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
　(1)已知O为坐标原点，向量＝(3sinα，cosα)，＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈，且⊥，则tanα的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
(2)已知向量a＝(－，)，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．
答案　(1)A　(2)1
解析　(1)由题意知6sin2α＋cosα·(5sinα－4cosα)＝0，即6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tanα－4＝0，由于α∈，
则tanα＜0，解得tanα＝－，故选A.
(2)由题意得，|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，||＝||.由⊥得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，
由||＝||得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0.
所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，
所以||＝||＝，故S△OAB＝××＝1.


6．利用数量积求向量夹角

典例　已知直线y＝2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(－1,1)，B(3,3)．求使向量与夹角为钝角的充要条件．
错解展示

现场纠错
解　错解中，cosθ<0包含了θ＝π，
即，反向的情况，此时a＝1，
故，夹角为钝角的充要条件是0 纠错心得　利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况．

1．(2016·北师大附中模拟)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(　　)
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝5 D．x＝0
答案　D
2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|等于(　　)
A．2 B．2
C．4 D．12
答案　B
解析　|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos60°
＝4＋4＋2×2×2×＝12，|a＋b|＝2.
3．(2016·山西四校二联)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为(　　)
A．－B．－C.D.
答案　D
解析　∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，
∴cos〈a，b〉＝－，
又〈a，b〉∈[0，π]，
∴sin〈a，b〉＝＝.
4.如图，在△ABC中，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则·等于(　　)

A.B.C.D.
答案　B
解析　若|＋|＝|－|，则2＋2＋2·＝2＋2－2·，即有·＝0.E，F为BC边的三等分点，则·＝(＋)·(＋)＝·＝·＝2＋2＋·＝×(1＋4)＋0＝.故选B.
5．(2017·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案　C
解析　因为(－)·(＋－2)＝0，
即·(＋)＝0，因为－＝，
所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，
所以△ABC是等腰三角形，故选C.
6.若△ABC外接圆的圆心为O，半径为4，＋2＋2＝0，则在方向上的投影为(　　)
A．4 B.
C. D．1
答案　C
解析　如图所示，取BC的中点D，连接AD，OD，

则由平面向量的加法的几何意义得
＋＝2.
又由条件得，
＋＝－＝，
所以2＝，即4＝，所以A，O，D共线．
所以OA⊥BC，所以CD为在方向上的投影．
因为||＝||＝4，所以||＝3，
所以||＝＝.
7．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2，则·(＋)的值为________．
答案　－4
解析　由题意得，AP＝2，PM＝1，
所以·(＋)＝·2
＝2×2×1×cos180°＝－4.
8．在△ABC中，·＝3，△ABC的面积S∈[，]，则与夹角的取值范围是________．
答案　[，]
解析　由三角形面积公式及已知条件知
≤S△ABC＝AB·BCsinB≤，
所以≤AB·BCsinB≤3，①
由·＝3，知AB·BCcos(π－B)＝3，
所以AB·BC＝－，
代入①得，≤－≤3，
所以－1≤tanB≤－，所以≤B≤，
而与的夹角为π－B，其取值范围为[，]．
9．(2016·江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________.
答案　4
解析　由题意可建立如图所示的坐标系，

可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0，0)，则·＋·＝·(＋)＝22＝4.
10．(2015·福建改编)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于________．
答案　13
解析　建立如图所示坐标系，

则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，
＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，
∴P(1,4)，·＝·(－1，t－4)
＝17－≤17－2＝13.
11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，
所以cosθ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝π.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝π，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝||||·sin∠ABC
＝×4×3×＝3.
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－.
(1)求sinA的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
解　(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，所以cosA＝－.
因为0＜A＜π，
所以sinA＝＝＝.
(2)由正弦定理，得＝，
则sinB＝＝＝，
因为a＞b，所以A＞B，则B＝.
由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1，
故向量在方向上的投影为
||cosB＝ccosB＝1×＝.
*13.(2016·青岛模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksinθ，t)(0≤θ≤)．
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsinθ取最大值4时，求·.
解　(1)由题设知＝(n－8，t)，
∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵||＝||，
∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，
∴＝(24,8)或＝(－8，－8)．
(2)由题设知＝(ksinθ－8，t)，
∵与a共线，∴t＝－2ksinθ＋16，
tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ
＝－2k(sinθ－)2＋.
∵k>4，∴0<<1，
∴当sinθ＝时，tsinθ取得最大值.
由＝4，得k＝8，
此时θ＝，＝(4,8)，
∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.