高考数学一轮复习讲义第12章第4节离散型变量随机分布及其分布列

这是一份高考数学一轮复习讲义第12章第4节离散型变量随机分布及其分布列，共15页。学案主要包含了思考辨析等内容，欢迎下载使用。

1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②eq \i\su(i＝1,n,p)i＝1.
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有下表形式，
则称随机变量X服从超几何分布．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )
(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ )
(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．( × )
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )
(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × )
(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
1．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是( )
A．一颗是3点，一颗是1点
B．两颗都是2点
C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点
D．以上答案都不对
答案 C
解析 根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，C正确．
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
A．0B.eq \f(1,2)C.eq \f(1,3)D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 设X的分布列为
即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝eq \f(1,3)，故选C.
3．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有( )
A．17个B．18个C．19个D．20个
答案 A
解析 X可能取得的值有3,4,5，…，19，共17个．
4．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为
答案 0.1 0.6 0.3
解析 ∵X的所有可能取值为0,1,2，
∴P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝0.1，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(1,2),C\\al(2,5))＝eq \f(6,10)＝0.6，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,5))＝0.3.
∴X的分布列为
5.(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______．
答案 eq \f(27,220)
解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，
故P(X＝4)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,9),C\\al(3,12))＝eq \f(27,220).
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
例1 (1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q等于( )
A．1B.eq \f(3,2)±eq \f(\r(33),6)
C.eq \f(3,2)－eq \f(\r(33),6)D.eq \f(3,2)＋eq \f(\r(33),6)
答案 C
解析 ∵eq \f(1,3)＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋eq \f(4,3)＝0，解得q＝eq \f(3,2)±eq \f(\r(33),6).又由题意知0