高考数学一轮复习讲义第9章第1节直线的方程

这是一份高考数学一轮复习讲义第9章第1节直线的方程，共15页。学案主要包含了思考辨析等内容，欢迎下载使用。


1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．
2．斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tanα.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3．直线方程的五种形式
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ )
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × )
(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × )
(4)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.( × )
(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )
(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )
1．(2016·天津模拟)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1B．4
C．1或3D．1或4
答案 A
解析 依题意得eq \f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.
2．(2016·合肥一六八中学检测)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，eq \f(π,4)] B．[eq \f(3π,4)，π)
C．[0，eq \f(π,4)]∪(eq \f(π,2)，π) D．[eq \f(π,4)，eq \f(π,2))∪[eq \f(3π,4)，π)
答案 B
解析 由直线方程可得该直线的斜率为－eq \f(1,a2＋1)，
又－1≤－eq \f(1,a2＋1)<0，
所以倾斜角的取值范围是[eq \f(3π,4)，π)．
3．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案 C
解析 由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－eq \f(C,A)>0，在y轴上的截距－eq \f(C,B)>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
4．(教材改编)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝.
答案 1或－2
解析 令x＝0，得直线l在y轴上的截距为2＋a；
令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋eq \f(2,a)，
依题意2＋a＝1＋eq \f(2,a)，解得a＝1或a＝－2.
5．过点A(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为．
答案 3x＋2y＝0或x－y－5＝0
解析 ①当直线过原点时，直线方程为y＝－eq \f(3,2)x，即3x＋2y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)－eq \f(y,a)＝1，即x－y＝a，将点A(2，－3)代入，得a＝5，即直线方程为x－y－5＝0.故所求直线的方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)(2016·北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>eq \f(π,3)”是“k>eq \r(3)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为．
答案 (1)B (2)(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)
解析 (1)当eq \f(π,2)<α<π时，k<0；
当k>eq \r(3)时，eq \f(π,3)<α所以“α>eq \f(π,3)”是“k>eq \r(3)”的必要不充分条件，故选B.
(2)如图，
∵kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1，
kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)，
∴k∈(－∞，－eq \r(3) ]∪[1，＋∞)．
引申探究
1．若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，eq \r(3))，
∴kAP＝eq \f(1－0,2－－1)＝eq \f(1,3)，
kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－－1)＝eq \r(3).
如图可知，直线l斜率的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\r(3))).
2．若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．
解 如图，直线PA的倾斜角为45°，
直线PB的倾斜角为135°，
由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．
思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝eq \f(π,2)时，斜率不存在；当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，斜率k∈(－∞，0)．
(2017·南昌月考)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝eq \r(2－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为( )
A．150°B．135°C．120°D．不存在
答案 A
解析 由y＝eq \r(2－x2)得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以eq \r(2)为半径的圆的一部分，其图象如图所示．
显然直线l的斜率存在，
设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝eq \f(|2k|,\r(1＋k2))，
弦长|AB|＝2eq \r(2－\f(|2k|,\r(1＋k2))2)＝2eq \r(\f(2－2k2,1＋k2))，
所以S△AOB＝eq \f(1,2)×eq \f(|2k|,\r(1＋k2))×2eq \r(\f(2－2k2,1＋k2))
≤eq \f(2k2＋2－2k2,21＋k2)＝1，
当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝eq \f(1,3)时等号成立，
由图可得k＝－eq \f(\r(3),3)(k＝eq \f(\r(3),3)舍去)，故直线l的倾斜角为150°.
题型二 求直线的方程
例2 根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为eq \f(\r(10),10)；
(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.
解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sinα＝eq \f(\r(10),10)(0<α<π)，
从而csα＝±eq \f(3\r(10),10)，则k＝tanα＝±eq \f(1,3).
故所求直线方程为y＝±eq \f(1,3)(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.
若a＝0，即l过点(0,0)及(4,1)，
∴l的方程为y＝eq \f(1,4)x，即x－4y＝0.
若a≠0，则设l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
∵l过点(4,1)，∴eq \f(4,a)＋eq \f(1,a)＝1，
∴a＝5，
∴l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式，得eq \f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq \f(3,4).
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－eq \f(1,4)倍；
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.
解 (1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝eq \f(2,3)x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
∵l过点(3,2)，∴eq \f(3,a)＋eq \f(2,a)＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－eq \f(1,4)×3＝－eq \f(3,4).
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,2x＋y－6＝0，))
求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，
即x＝1为所求．
设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为
y＋1＝k(x－1)，
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－6＝0，,y＋1＝kx－1.))
得两直线交点为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k＋7,k＋2)，,y＝\f(4k－2,k＋2)))(k≠－2，否则与已知直线平行)，
则B点坐标为(eq \f(k＋7,k＋2)，eq \f(4k－2,k＋2))．
∴(eq \f(k＋7,k＋2)－1)2＋(eq \f(4k－2,k＋2)＋1)2＝52，
解得k＝－eq \f(3,4)，∴y＋1＝－eq \f(3,4)(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
题型三 直线方程的综合应用
命题点1 与基本不等式相结合求最值问题
例3 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
解 方法一 设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，
把点P(3,2)代入得eq \f(3,a)＋eq \f(2,b)＝1≥2eq \r(\f(6,ab))，得ab≥24，
从而S△AOB＝eq \f(1,2)ab≥12，当且仅当eq \f(3,a)＝eq \f(2,b)时等号成立，这时k＝－eq \f(b,a)＝－eq \f(2,3)，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
方法二 依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.
则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，
且有Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,k)，0))，B(0,2－3k)，
∴S△ABO＝eq \f(1,2)(2－3k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,k)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12＋－9k＋\f(4,－k)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12＋2 \r(－9k·\f(4,－k))))
＝eq \f(1,2)×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝eq \f(4,－k)，即k＝－eq \f(2,3)时，等号成立．
即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
命题点2 由直线方程解决参数问题
例4 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．
解 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq \f(1,2)×2×(2－a)＋eq \f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(15,4)，当a＝eq \f(1,2)时，面积最小．
思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
(2016·潍坊模拟)直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求直线l的方程．
解 依题意，直线l的斜率存在且斜率为负，
设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得A(1－eq \f(4,k)，0)；
令x＝0，可得B(0,4－k)．
|OA|＋|OB|＝(1－eq \f(4,k))＋(4－k)
＝5－(k＋eq \f(4,k))
＝5＋(－k＋eq \f(4,－k))≥5＋4＝9.
∴当且仅当－k＝eq \f(4,－k)且k<0，
即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．
这时直线l的方程为2x＋y－6＝0.
11．求与截距有关的直线方程
典例 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.
错解展示
现场纠错
解 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.
∴eq \f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1.
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)由eq \f(a－2,a＋1)＝－(a－2)得a－2＝0或a＋1＝－1，
∴a＝2或a＝－2.
纠错心得 在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.
1．(2016·北京顺义区检测)若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是( )
A．－6C．k<－6D．k>－2
答案 A
解析 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－2x＋3k＋14，,x－4y＝－3k－2))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝k＋6，,y＝k＋2，))
因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，
所以k＋6>0且k＋2<0，所以－62．(2016·威海模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小eq \f(π,4)的直线方程是( )
A．x＝2B．y＝1
C．x＝1D．y＝2
答案 A
解析 ∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为eq \f(3π,4)，
依题意，所求直线的倾斜角为eq \f(3π,4)－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，
∴斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x＝2.
3．(2016·合肥检测)已知点A在直线x＋2y－1＝0上，点B在直线x＋2y＋3＝0上，线段AB的中点为P(x0，y0)，且满足y0>x0＋2，则eq \f(y0,x0)的取值范围为( )
A．(－eq \f(1,2)，－eq \f(1,5)) B．(－∞，－eq \f(1,5)]
C．(－eq \f(1,2)，－eq \f(1,5)] D．(－eq \f(1,2)，0)
答案 A
解析 设A(x1，y1)，eq \f(y0,x0)＝k，则y0＝kx0，
∵AB的中点为P(x0，y0)，∴B(2x0－x1,2y0－y1)．
∵A，B分别在直线x＋2y－1＝0和x＋2y＋3＝0上，
∴x1＋2y1－1＝0,2x0－x1＋2(2y0－y1)＋3＝0，
∴2x0＋4y0＋2＝0，即x0＋2y0＋1＝0.
∵y0＝kx0，∴x0＋2kx0＋1＝0，即x0＝－eq \f(1,1＋2k).
又y0>x0＋2，∴kx0>x0＋2，即(k－1)x0>2，
即(k－1)(－eq \f(1,1＋2k))>2，即eq \f(5k＋1,2k＋1)<0，
解得－eq \f(1,2)4．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥eq \f(3,4)或k≤－4
B．－4≤k≤eq \f(3,4)
C.eq \f(3,4)≤k≤4
D．－eq \f(3,4)≤k≤4
答案 A
解析 如图所示，
∵kPN＝eq \f(1－－2,1－－3)＝eq \f(3,4)，
kPM＝eq \f(1－－3,1－2)＝－4.
∴要使直线l与线段MN相交，
当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，
由已知得k≥eq \f(3,4)或k≤－4.
5．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab>0，bc<0
B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
答案 A
解析 由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，
所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b).
易知－eq \f(a,b)<0且－eq \f(c,b)>0，故ab>0，bc<0.
6.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ( )
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
答案 D
解析 直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.
7．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是．
答案 3
解析 直线AB的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，
∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－eq \f(3,4)y，
∴xy＝3y－eq \f(3,4)y2＝eq \f(3,4)(－y2＋4y)
＝eq \f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))时，xy取最大值3.
8．(2016·潍坊模拟)直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为．
答案 x＋y＝0或x－y＋4＝0
解析 若a＝b＝0，则直线l过点(0,0)与(－2,2)，
直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.
若a≠0，b≠0，则直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－2,a)＋\f(2,b)＝1，,|a|＝|b|，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，))
此时，直线l的方程为x－y＋4＝0.
9．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是．
答案 [－2,2]
解析 b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．
∴b的取值范围是[－2,2]．
10．(2016·山师大附中模拟)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为．
答案 4
解析 ∵函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)．
∴把A(1,1)代入直线方程得m＋n＝1(mn>0)．
∴eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝(eq \f(1,m)＋eq \f(1,n))·(m＋n)＝2＋eq \f(n,m)＋eq \f(m,n)≥4
(当且仅当m＝n＝eq \f(1,2)时取等号)，
∴eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为4.
11．(2016·太原模拟)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈[－eq \f(\r(3),3)－1，eq \r(3)－1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解 (1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝eq \f(1,m＋1)(x＋1)．
即x－(m＋1)y＋2m＋3＝0.
(2)①当m＝－1时，α＝eq \f(π,2)；
②当m≠－1时，m＋1∈[－eq \f(\r(3),3)，0)∪(0，eq \r(3)]，
∴k＝eq \f(1,m＋1)∈(－∞，－eq \r(3)]∪[eq \f(\r(3),3)，＋∞)，
∴α∈[eq \f(π,6)，eq \f(π,2))∪(eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)]．
综合①②知，直线AB的倾斜角α∈[eq \f(π,6)，eq \f(2π,3)]．
12．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时直线l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得eq \f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，
解得k＝eq \f(3,4).
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图所示．
由l⊥OP，得klkOP＝－1，
所以kl＝－eq \f(1,kOP)＝2.
由直线方程的点斜式，
得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为eq \f(|－5|,\r(5))＝eq \r(5).
(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过eq \r(5)的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．
*13.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq \f(1,2)x上时，求直线AB的方程．
解 由题意可得kOA＝tan45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－eq \f(\r(3),3)，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－eq \f(\r(3),3)x.
设A(m，m)，B(－eq \r(3)n，n)，
所以AB的中点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2)))，
由点C在直线y＝eq \f(1,2)x上，且A、P、B三点共线得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,\f(m－0,m－1)＝\f(n－0,－\r(3)n－1)，))解得m＝eq \r(3)，所以A(eq \r(3)，eq \r(3))．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝eq \f(\r(3),\r(3)－1)＝eq \f(3＋\r(3),2)，
所以lAB：y＝eq \f(3＋\r(3),2)(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋eq \r(3))x－2y－3－eq \r(3)＝0.名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用