高考数学一轮复习讲义第14章第1节第2课时坐标系与参数方程

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1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt))就是曲线的参数方程．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
1．直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋t，,y＝2－3t))(t为参数)，求直线l的斜率．
解 将直线l的参数方程化为普通方程为y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.
2．已知直线l1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－2t，,y＝2＋kt))(t为参数)与直线l2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝s，,y＝1－2s))(s为参数)垂直，求k的值．
解 直线l1的方程为y＝－eq \f(k,2)x＋eq \f(4＋k,2)，斜率为－eq \f(k,2)；
直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.
∵l1与l2垂直，
∴(－eq \f(k,2))×(－2)＝－1⇒k＝－1.
3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4t2，,y＝4t))(t为参数)上，求|PF|的值．
解 将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|＝3－(－1)＝4.
4．(2016·北京东城区模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋4t，,y＝3t))(t为参数)，求直线l与曲线C相交所截的弦长．
解 曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1，
直线l的普通方程为3x－4y＋3＝0.
圆心到直线的距离d＝eq \f(|3×0－4×0＋3|,\r(32＋42))＝eq \f(3,5).
∴直线l与曲线C相交所截的弦长为2eq \r(1－\f(3,5)2)＝eq \f(8,5).
题型一 参数方程与普通方程的互化
例1 (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．
(2)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋s，,y＝1－s))(s为参数)，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋2，,y＝t2))(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，求|AB|的长．
解 (1)圆的半径为eq \f(1,2)，记圆心为C(eq \f(1,2)，0)，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cs2θ＝cs2θ，
yP＝eq \f(1,2)sin2θ＝sinθcsθ(θ为参数)．
所以圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs2θ，,y＝sinθcsθ))(θ为参数)．
(2)直线l的普通方程为x＋y＝2，曲线C的普通方程为y＝(x－2)2(y≥0)，联立两方程得x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB|＝eq \r(2).
思维升华 消去参数的方法一般有三种：
(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数；
(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．
将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
(1)求直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝－1－t))(t为参数)与曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3csα，,y＝3sinα))(α为参数)的交点个数．
(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝t－a))(t为参数)过椭圆C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3csφ，,y＝2sinφ))(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．
解 (1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝－1－t))消去参数t得直线x＋y－1＝0；
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3csα，,y＝3sinα))消去参数α得圆x2＋y2＝9.
又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq \f(\r(2),2)<3.
因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．
(2)直线l的普通方程为x－y－a＝0，
椭圆C的普通方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，
则3－a＝0，∴a＝3.
题型二 参数方程的应用
例2 已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a－2t，,y＝－4t))(t为参数)，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4csθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
解 (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝eq \f(|－2a|,\r(5))≤4，
解得－2eq \r(5)≤a≤2eq \r(5).
思维升华 已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(5)csθ，,y＝\r(5)sinθ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ为参数，0≤θ≤\f(π,2)))和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝－\f(\r(2),2)t))(t为参数)，求曲线C1与C2的交点坐标．
解 曲线C1的普通方程为x2＋y2＝5(x≥0，y≥0)．
曲线C2的普通方程为x－y－1＝0.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y－1＝0，,x2＋y2＝5x≥0，y≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))
∴曲线C1与C2的交点坐标为(2,1)．
题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用
例3 (2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcsα，,y＝tsinα))(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝2eq \r(3)csθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2eq \r(3)x＝0.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2eq \r(3)csα，α)．
所以|AB|＝|2sinα－2eq \r(3)csα|＝4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3))))).
当α＝eq \f(5π,6)时，|AB|取得最大值，最大值为4.
思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2eq \r(2)cs(θ＋eq \f(π,4))，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝－1＋2\r(2)t))(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．
(1)求圆心的极坐标；
(2)求△PAB面积的最大值．
解 (1)由圆C的极坐标方程为
ρ＝2eq \r(2)cs(θ＋eq \f(π,4))，得
ρ2＝2eq \r(2)(eq \f(\r(2),2)ρcsθ－eq \f(\r(2),2)ρsinθ)，
把eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ))代入可得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
∴圆心坐标为(1，－1)，
∴圆心的极坐标为(eq \r(2)，eq \f(7π,4))．
(2)由题意，得直线l的直角坐标方程为2eq \r(2)x－y－1＝0.
∴圆心(1，－1)到直线l的距离d＝eq \f(|2\r(2)＋1－1|,\r(2\r(2)2＋－12))＝eq \f(2\r(2),3)，∴|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2－\f(8,9))＝eq \f(2\r(10),3).
点P到直线l的距离的最大值为r＋d＝eq \r(2)＋eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(5\r(2),3)，
∴Smax＝eq \f(1,2)×eq \f(2\r(10),3)×eq \f(5\r(2),3)＝eq \f(10\r(5),9).
1．求直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)被曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝csθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ为参数)所截得的弦长．
解 直线方程可化为eq \r(3)x＋y－eq \r(3)＝0，
曲线方程可化为x2＋eq \f(y2,3)＝1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\r(3)x＋\r(3)，,x2＋\f(y2,3)＝1，))得x2－x＝0，
∴x＝0或x＝1.
可得交点为A(0，eq \r(3))，B(1,0)．
∴AB＝eq \r(1＋3)＝2.
∴所截得的弦长为2.
2．直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4＋at，,y＝bt))(t为参数)与圆eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\r(3)csθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ为参数)相切，求切线的倾斜角．
解 直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为eq \r(3)，从而有eq \r(3)＝eq \f(|2b－a·0－4b|,\r(a2＋b2))，即3a2＋3b2＝4b2，∴b＝±eq \r(3)a，而直线的倾斜角的正切值为tanα＝eq \f(b,a)，∴tanα＝±eq \r(3)，因此切线的倾斜角为eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
3．已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t－\r(2)，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程．
解 ∵直线l的直角坐标方程为x－y＋eq \r(2)＝0.
∴原点到直线的距离r＝eq \f(\r(2),\r(2))＝1.
∴以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.
4．(2015·湖北)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3csθ)＝0，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t－\f(1,t)，,y＝t＋\f(1,t))) (t为参数)，l与C相交于A，B两点，求|AB|的长．
解 直线l的极坐标方程ρ(sinθ－3csθ)＝0化为直角坐标方程为3x－y＝0，曲线C的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t－\f(1,t)，,y＝t＋\f(1,t)))两式经过平方相减，化为普通方程为y2－x2＝4，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y＝0，,y2－x2＝4))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(\r(2),2)，,y＝－\f(3\r(2),2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(3\r(2),2).))
所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(3\r(2),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2))).
所以|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(2),2)－\f(3\r(2),2)))2)＝2eq \r(5).
5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2t，,y＝2t2))
(t为参数)，在以O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为ρsin(θ＋eq \f(π,4))＝2eq \r(2)，求曲线C1与曲线C2的交点个数．
解 曲线C1，C2化为普通方程和直角坐标方程分别为x2＝2y，x＋y－4＝0，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝2y，,x＋y－4＝0，))消去y得x2＋2x－8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线C1与曲线C2的交点个数为2.
6．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcsα，,y＝tsinα))(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|＝eq \r(10)，求l的斜率．
解 (1)由x＝ρcsθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcsθ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcsα＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12csα，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝eq \r(ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2)＝eq \r(144cs2α－44).
由|AB|＝eq \r(10)得cs2α＝eq \f(3,8)，tanα＝±eq \f(\r(15),3).
所以l的斜率为eq \f(\r(15),3)或－eq \f(\r(15),3).
7．(2015·陕西)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2eq \r(3)sinθ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
解 (1)由ρ＝2eq \r(3)sinθ，得ρ2＝2eq \r(3)ρsinθ，
从而有x2＋y2＝2eq \r(3)y，
所以x2＋(y－eq \r(3))2＝3.
(2)设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(1,2)t，\f(\r(3),2)t))，又C(0，eq \r(3))，
则|PC|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(1,2)t))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)t－\r(3)))2)＝eq \r(t2＋12)，
故当t＝0时，PC取得最小值，
此时，P点的直角坐标为(3,0)．
8．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acst，,y＝1＋asint))(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4csθ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcsθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，,ρ＝4csθ.))
若ρ≠0，由方程组得16cs2θ－8sinθcsθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cs2θ－8sinθcsθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．
所以a＝1.
9．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t，))(t为参数)，椭圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝csθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段|AB|的长．
解 直线l的方程化为普通方程为eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0，
椭圆C的方程化为普通方程为x2＋eq \f(y2,4)＝1，
联立方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)x－y－\r(3)＝0，,x2＋\f(y2,4)＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝1,y1＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝－\f(1,7)，,y2＝－\f(8\r(3),7)，))
∴A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7)，－\f(8\r(3),7))).
故|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,7)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(8\r(3),7)))2)＝eq \f(16,7).
10．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)csα，,y＝sinα)) (α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2eq \r(2).
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
解 (1)C1的普通方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(eq \r(3)csα，sinα)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，
d(α)＝eq \f(|\r(3)csα＋sinα－4|,\r(2))＝eq \r(2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－2)).
当且仅当α＝2kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为eq \r(2)，此时P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2))).点的
轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tanα(x－x0)
eq \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcsα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
eq \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c1(x＝rcsθ，,y＝rsinθ))(θ为参数)
椭圆
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c1(x＝acsφ，,y＝bsinφ))(φ为参数)
抛物线
y2＝2px (p>0)
eq \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)