高考数学一轮复习 第6章 第3节 课时分层训练34

这是一份高考数学一轮复习 第6章 第3节 课时分层训练34，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知x>－1，则函数y＝x＋eq \f(1,x＋1)的最小值为( )
【导学号：31222211】
A．－1 B．0
C．1D．2
C [由于x>－1，则x＋1>0，所以y＝x＋eq \f(1,x＋1)＝(x＋1)＋eq \f(1,x＋1)－1≥2eq \r(x＋1·\f(1,x＋1))－1＝1，当且仅当x＋1＝eq \f(1,x＋1)，由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．]
2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2”成立的( )
【导学号：31222212】
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
B [因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2⇔ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2”的必要不充分条件．]
3．(2016·吉林东北师大附中等校联考)函数f(x)＝ax－1－2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx－ny－1＝0上，其中m>0，n>0，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为( ) 【导学号：31222213】
A．4B．5
C．6D．3＋2eq \r(2)
D [由题意知A(1，－1)，因为点A在直线mx－ny－1＝0上，所以m＋n＝1，所以eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(m＋n)＝3＋eq \f(n,m)＋eq \f(2m,n)，
因为m>0，n>0，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝3＋eq \f(n,m)＋eq \f(2m,n)≥3＋2eq \r(\f(n,m)·\f(2m,n))
＝3＋2eq \r(2).
当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(2m,n)时，取等号，故选D.]
4．(2016·安徽安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．4B．2eq \r(2)
C．8D．16
B [由a>0，b>0，a＋b＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)，
得ab＝1，
则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2eq \r(\f(1,a)·\f(2,b))＝2eq \r(2).当且仅当eq \f(1,a)＝eq \f(2,b)，即a＝eq \f(\r(2),2)，b＝eq \r(2)时等号成立．故选B.]
5．(2016·郑州外国语学校月考)若a>b>1，P＝eq \r(lg a·lg b)，Q＝eq \f(1,2)(lg a＋lg b)，R＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))，则( )
A．RC．PC [∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，
eq \f(1,2)(lg a＋lg b)>eq \r(lg a·lg b)，
即Q>P.∵eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)，∴lgeq \f(a＋b,2)>lgeq \r(ab)＝eq \f(1,2)(lg a＋lg b)＝Q，即R>Q，∴P二、填空题
6．(2016·湖北华师一附中3月联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是__________．
2 [因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2eq \r(2x×22y)＝2eq \r(2x＋2y)，
所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，
当且仅当2x＝22y＝2，
即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.]
7．已知函数f(x)＝x＋eq \f(p,x－1)(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为__________．
eq \f(9,4) [由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋eq \f(p,x－1)＋1≥2eq \r(p)＋1，当且仅当x＝eq \r(p)＋1时取等号，所以2eq \r(p)＋1＝4，
解得p＝eq \f(9,4).]
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．
20 [每次都购买x吨，则需要购买eq \f(400,x)次．
∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，
∴一年的总运费与总存储费用之和为4×eq \f(400,x)＋4x万元．
∵4×eq \f(400,x)＋4x≥160，当且仅当4x＝eq \f(4×400,x)时取等号，
∴x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]
三、解答题
9．(1)当x(2)设0[解] (1)y＝eq \f(1,2)(2x－3)＋eq \f(8,2x－3)＋eq \f(3,2)
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋eq \f(3,2).2分
当x0，
∴eq \f(3－2x,2)＋eq \f(8,3－2x)≥2eq \r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，4分
当且仅当eq \f(3－2x,2)＝eq \f(8,3－2x)，即x＝－eq \f(1,2)时取等号．
于是y≤－4＋eq \f(3,2)＝－eq \f(5,2)，故函数的最大值为－eq \f(5,2).6分
(2)∵0∴2－x>0，
∴y＝eq \r(x4－2x)＝eq \r(2)·eq \r(x2－x)≤eq \r(2)·eq \f(x＋2－x,2)＝eq \r(2)，8分
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝eq \r(x4－2x)的最大值为eq \r(2).12分
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
[解] (1)由2x＋8y－xy＝0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，2分
又x>0，y>0，
则1＝eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)≥2 eq \r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq \f(8,\r(xy))，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.5分
(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，
则x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))·(x＋y)＝10＋eq \f(2x,y)＋eq \f(8y,x)
≥10＋2 eq \r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.8分
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．要制作一个容积为4 m3 ，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
【导学号：31222214】
A．80元B．120元
C．160元D．240元
C [由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，
所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是eq \f(4,x) m．又设总造价是y元，则
y＝20×4＋10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(8,x)))≥80＋20eq \r(2x·\f(8,x))＝160.
当且仅当2x＝eq \f(8,x)，即x＝2时取得等号．]
2．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x⊗y＝eq \f(x2－y2,xy)(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
eq \r(2) [因为xy＝eq \f(x2－y2,xy)，所以(2y)x＝eq \f(4y2－x2,2xy).又x>0，y>0.故xy＋(2y)x＝eq \f(x2－y2,xy)＋eq \f(4y2－x2,2xy)＝eq \f(x2＋2y2,2xy)≥eq \f(2\r(2)xy,2xy)＝eq \r(2)，当且仅当x＝eq \r(2)y时，等号成立．]
3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋eq \f(1,t)，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.
(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值．
[解] (1)W(t)＝f(t)g(t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(1,t)))(120－|t－20|)
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(401＋4t＋\f(100,t)，1≤t≤20，,559＋\f(140,t)－4t，20(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋eq \f(100,t)≥401＋2eq \r(4t·\f(100,t))＝441(t＝5时取最小值).7分
当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋eq \f(140,t)－4t递减，
所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443eq \f(2,3)，10分
所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.12分