高考数学一轮复习 第2章 第12节 导数与函数的极值、最值

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1．函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
2．函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极大值一定比极小值大．( )
(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．( )
(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )
(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2­12­1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )
图2­12­1
A．1 B．2 C．3 D．4
A [导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]
3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
( )
A．13万件B．11万件
C．9万件D．7万件
C [y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．
当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，
则当x＝9时，y有最大值．
即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]
4．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4B．－2
C．4D．2
D [由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.]
5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．
8 [y′＝6x2－4x，令y′＝0，
得x＝0或x＝eq \f(2,3).
∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝－eq \f(8,27)，
f(2)＝8，∴最大值为8.]
eq \a\vs4\al(☞)角度1 根据函数图象判断极值
设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图2­12­2所示，则下列结论中一定成立的是( )
图2­12­2
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D [由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]
eq \a\vs4\al(☞)角度2 求函数的极值
求函数f(x)＝x－aln x(a∈R)的极值．
[解] 由f′(x)＝1－eq \f(a,x)＝eq \f(x－a,x)，x＞0知：
(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；5分
(2)当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，9分
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.12分
eq \a\vs4\al(☞)角度3 已知极值求参数
(1)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
【导学号：31222087】
A．(－∞，0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C．(0,1)D．(0，＋∞)
(2)(2016·广东肇庆三模)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________.
(1)B (2)5 [(1)∵f(x)＝x(ln x－ax)，
∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，
故f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，
令f′(x)＝0，则2a＝eq \f(ln x＋1,x)，
设g(x)＝eq \f(ln x＋1,x)，则g′(x)＝eq \f(－ln x,x2)，
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，
而g(x)max＝g(1)＝1，
∴只需0＜2a＜1⇒0＜a＜eq \f(1,2).
(2)f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知x＝－3为方程3x2＋2ax＋3＝0的根，∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.]
[规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程
(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
[解] (1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝k－1.2分
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).
5分
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，7分
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.10分
综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；
当1＜k＜2时，f(x)min＝－ek－1；
当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.12分
[规律方法] 求函数f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值．
[变式训练1] (2017·石家庄质检(二))若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．9
D [f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，a＋b＝6，又a＞0，b＞0，则t＝ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，故选D.]
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq \f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，所以eq \f(a,2)＋10＝11，a＝2.5分
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝eq \f(2,x－3)＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,x－3)＋10x－62))
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，9分
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分
[规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答．
[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝eq \f(1,3)x3－eq \f(39,2)x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________. 【导学号：31222088】
40 [由y′＝x2－39x－40＝0，
得x＝－1或x＝40，
由于0＜x＜40时，y′＜0；
x＞40时，y′＞0.
所以当x＝40时，y有最小值．]
[思想与方法]
1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．
3．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．
4．若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值，则：
(1)对任意x∈A，f(x)＞0⇔f(x)min＞0；
(2)存在x∈A，f(x)＞0⇔f(x)max＞0.
[易错与防范]
1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．
2．导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．
3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
4．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．
课时分层训练(十五)
导数与函数的极值、最值
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )
A．y＝x3 B．y＝ln(－x)
C．y＝xe－xD．y＝x＋eq \f(2,x)
D [由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．]
2．当函数y＝x·2x取极小值时，x等于( )
【导学号：31222089】
A.eq \f(1,ln 2)B．－eq \f(1,ln 2)
C．－ln 2D．ln 2
B [令y′＝2x＋x·2xln 2＝0，
∴x＝－eq \f(1,ln 2).
经验证，－eq \f(1,ln 2)为函数y＝x·2x的极小值点．]
3．函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为( )
A．e B．1
C．－1 D．－e
C [函数y＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)．
又y′＝eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)，令y′＝0得x＝1，
当x∈(0,1)时，y′＞0，函数单调递增；
当x∈(1，e]时，y′＜0，函数单调递减．
当x＝1时，函数取得最大值－1.]
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )
【导学号：31222090】
A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B [∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，
∴a＞6或a＜－3.]
5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是( )
A B C D
D [因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0.选项D中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.]
二、填空题
6．函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________.
【导学号：31222091】
－eq \f(17,3) [f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－eq \f(17,3)，f(2)＝－eq \f(10,3)，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－eq \f(17,3).]
7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1) [∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.]
8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．
30 23 000 [设该商品的利润为y元，由题意知，
y＝Q(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
则y′＝－3p2－300p＋11 700，
令y′＝0得p＝30或p＝－130(舍)，
当p∈(0,30)时，y′＞0，当p∈(30，＋∞)时，y′＜0，
因此当p＝30时，y有最大值，ymax＝23 000.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．
(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；
(2)当a<0时，若函数满足y极大＝1，y极小＝－3，试求y＝f(x)的解析式．
[解] (1)f′(x)＝－3x2＋2ax.
依题意f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，
即2ax≥3x2.∵x＞0，∴2a≥3x，∴2a≥6，∴a≥3，
即a的取值范围是[3，＋∞).5分
(2)∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝x(－3x＋2a)．
∵a＜0，当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,3)a))时，f′(x)≤0，f(x)递减．
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a，0))时，f′(x)＞0，f(x)递增．
当x∈[0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)递减.8分
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f极大0＝1，,f极小\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))＝－3))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝1.))
∴f(x)＝－x3－3x2＋1.12分
10．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．
(1)试将y表示为x的函数；
(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．
[解] (1)设点C受A污染源污染程度为eq \f(ka,x2)，点C受B污染源污染程度为eq \f(kb,18－x2)，其中k为比例系数，且k>0，从而点C处受污染程度y＝eq \f(ka,x2)＋eq \f(kb,18－x2).5分
(2)因为a＝1，所以y＝eq \f(k,x2)＋eq \f(kb,18－x2)，
y′＝keq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,x3)＋\f(2b,18－x3)))，8分
令y′＝0，得x＝eq \f(18,1＋\r(3,b))，
又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，
所以，污染源B的污染强度b的值为8.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·石家庄一模)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m≠0)，且f(x)的极大值为eq \f(1,2)，则m的值为( )
【导学号：31222092】
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(3,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,2)
D [由题意可得f(m)＝m3＋am2＋bm＝0，m≠0，则m2＋am＋b＝0 ①，且f′(m)＝3m2＋2am＋b＝0 ②，①－②化简得m＝－eq \f(a,2)，f′(x)＝3x2＋2ax＋b的两根为－eq \f(a,2)和－eq \f(a,6)，则b＝eq \f(a2,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,6)))＝eq \f(1,2)，解得a＝－3，m＝eq \f(3,2)，故选D.]
2．(2016·北京高考改编)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3－3x，x≤0，,－2x，x＞0，))则f(x)的最大值为________．
2 [当x＞0时，f(x)＝－2x＜0；当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x＜－1时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，当－1＜x＜0时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，∴f(x)≤f(－1)＝2，∴f(x)的最大值为2.]
3．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解] (1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，
故f′(x)＝3ax2＋b.2分
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′2＝0，,f2＝c－16，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12a＋b＝0，,8a＋2b＋c＝c－16，))
化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12a＋b＝0，,4a＋b＝－8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－12.))5分
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；7分
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，
故f(x)在(－2,2)上为减函数；8分
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值，
f(－2)＝16＋c，
f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.10分
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，
f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.12分
利用导数研究函数的极值问题
利用导数解决函数的最值问题
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
－ek－1
单调递增
利用导数研究生活中的优化问题
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减