高考数学一轮复习 第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词0

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第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．
(2)命题p∧q，p∨q， 的真假判断
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．
(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．
3．含有一个量词的命题的否定
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )
(2)命题¬ (p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )
(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( )
[解析] (1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．
(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．
(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．
(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题，，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A．1 B.2
C.3 D.4
B [p和q显然都是真命题，所以，都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]
3．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则为( )
A．∀n∈N，n2＞2n B.∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2＝2n
C [因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.]
4．(2017·西安模拟)下列命题中的假命题是( ) 【导学号：31222011】
A．∃x0∈R，lg x0＝0B．∃x0∈R，tan x0＝1
C．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R,2x>0
C [对于A，当x0＝1时，lg x0＝0，正确；对于B，当x0＝eq \f(π,4)时，tan x0＝1，正确；对于C，当x<0时，x3<0，错误；对于D，∀x∈R,2x>0，正确．]
5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[－8,0] [当a＝0时，不等式显然成立．
当a≠0时，依题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,Δ＝a2＋8a≤0，))
解得－8≤a＜0.
综上可知－8≤a≤0.]
设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B.p∧q
C．()∧() D.p∧()
A [取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．
a，b，c是非零向量，
由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．
综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．
又∵为真命题，为假命题，
∴()∧()，p∧()都是假命题．]
[规律方法] 1.“p∨q”“p∧q”“ ”形式的命题真假判断的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“ ”形式的命题的真假．
2．p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”．
[变式训练1] (2017·石家庄一模)命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( ) 【导学号：31222012】
A．p∨qB．p∧q
C．qD．
B [取x＝eq \f(π,3)，y＝eq \f(5π,6)，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确．
故¬p为真命题，p∨q是真命题，p∧q是假命题．]
eq \a\vs4\al(☞)角度1 含有一个量词的命题的否定
(2015·湖北高考)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是
( )
A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
A [改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A.]
eq \a\vs4\al(☞)角度2 全称命题、特称命题的真假判断
(2014·全国卷Ⅰ)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥1，,x－2y≤4))的解集记为D，有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；
p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；
p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是( )
A．p2，p3B．p1，p4
C．p1，p2D．p1，p3
C [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,x－2y＝4，))
得交点A(2，－1)．
目标函数的斜率k＝－eq \f(1,2)>－1，
观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0y＝－eq \f(x,2)＋eq \f(u,2)，eq \f(u,2)表示纵截距．结合题意知p1，p2正确．]
[规律方法] 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．
2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．只要找到一个反例，则该命题为假命题.
(1)已知命题“∃x0∈R，使2xeq \\al(2,0)＋(a－1)x0＋eq \f(1,2)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)B．(－1,3)
C．(－3，＋∞)D．(－3,1)
(2)已知p：∃x0∈R，mxeq \\al(2,0)＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2
(1)B (2)A [(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋eq \f(1,2)＞0，由题意知，为真命题，
则Δ＝(a－1)2－4×2×eq \f(1,2)＜0，
则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3.
(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.
因此，由p，q均为假命题得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥0，,m≤－2或m≥2，))即m≥2.]
[规律方法] 1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤：
(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围．
(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
2．全称命题可转化为恒成立问题．
[变式训练2] (2017·济南调研)若“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________. 【导学号：31222013】
1 [∵0≤x≤eq \f(π,4)，∴0≤tan x≤1，
由“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，tan x≤m”是真命题，得m≥1.
故实数m的最小值为1.]
[思想与方法]
1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．
2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与¬p→真假相反．
3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．
[易错与防范]
1．正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“¬p”，只否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假相反，即两者中有且只有一个为真．
2．几点注意
(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；
(3)由逻辑联结词构成的新命题的否定．
①¬(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q)；②¬(p∨q)⇔(¬p)∧(¬p)．
课时分层训练(三)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为eq \f(π,2)；命题q：函数y＝cs x的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真B．¬p为假
C．p∧q为假D．p∧q为真
C [p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．]
2．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( ) 【导学号：31222014】
A．p∨qB．p∨(¬q)
C．(¬p)∧(¬q)D．(¬p)∨(¬q)
D [“至少有一位队员落地没有站稳”的否定是“两位队员落地都站稳”，故为
p∧q，而p∧q的否定是(¬p)∨(¬q)．]
3．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，xeq \\al(3,0)＋x0<0¬
D．∃x0∈[0，＋∞)，xeq \\al(3,0)＋x0≥0
C [全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：∃x0∈[0，＋∞)，xeq \\al(3,0)＋x0<0.]
4．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．
则下列命题为真命题的是( )
A．p∧¬q B．¬p∧q
C．¬p∧¬qD．p∧q
A [由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故¬p是假命题，¬q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧¬q是真命题．]
5．下列命题中为假命题的是( )
A．∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，x＞sin x
B．∃x0∈R，sin x0＋cs x0＝2
C．∀x∈R,3x＞0
D．∃x0∈R，lg x0＝0
B [对于A，令f(x)＝x－sin x，则f′(x)＝1－cs x，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f′(x)＞0.从而f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，则f(x)＞f(0)＝0，即x＞sin x，故A正确；对于B，由sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))≤eq \r(2)＜2知，不存在x0∈R，使得sin x0＋cs x0＝2，故B错误；对于C，易知3x＞0，故C正确；对于D，由lg 1＝0知，D正确．]
6．(2017·广州调研)命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若¬p是真命题，则
实数a的取值范围是( ) 【导学号：31222015】
A．(0,4]B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞)D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
D [因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，
所以命题¬p：∃x0∈R，axeq \\al(2,0)＋ax0＋1＜0，
则a＜0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝a2－4a＞0，))解得a＜0或a＞4.]
7．(2017·邯郸质检)已知命题p：“∀x∈R，x＋1≥0”的否定是“∀x∈R，x＋1＜0”；命题q：函数y＝x－3是幂函数．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧qB．p∨q
C．¬qD．p∧(¬q)
B [易知命题p为假命题，q为真命题．
因此p∨q为真命题，其余3个命题为假命题．]
二、填空题
8．命题“∃x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan x0＞sin x0”的否定是________.
【导学号：31222016】
∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan x≤sin x
9．已知命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧(¬q)”是假命题；
③命题“(¬p)∨q”是真命题；
④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题．
其中正确的是________(填序号)
①②③④ [命题p，q均为真命题，则¬p，¬q为假命题．从而结论①②
③④均正确．]
10．已知命题p：∀x∈[0,1]，a≥ex，命题q：∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋4x0＋a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[e,4] [由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4，综上知e≤a≤4.]
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题
①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是( )
A．①③B．①④
C．②③D．②④
C [由不等式的性质，得p真，q假．
由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(¬q)为真命题；④(¬p)∨q为假命题．]
2．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是
( ) 【导学号：31222017】
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得nB．∀x∈R，∀n∈N *，使得nC．∃x∈R，∃n∈N *，使得nD．∃x∈R，∀n∈N *，使得nD [由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N *，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N *，使得n3．(2017·长沙质检)已知下面四个命题：
①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”；
②“x＜1”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件；
③命题p：存在x0∈R，使得xeq \\al(2,0)＋x0＋1＜0，则¬p：任意x∈R，都有x2＋x
＋1≥0；
④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中为真命题的是________．(填序号)
①②③ [①正确．
②中，x2－3x＋2＞0⇔x＞2或x＜1，
所以“x＜1”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件，②正确．
由于特称命题的否定为全称命题，所以③正确．
若p且q为假命题，则p，q至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．]
4．已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递减，q：设函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2a，x≥2a，,2a，x＜2a，))函数y＞1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，则a的取值范围是________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜a≤\f(1,2)或a≥1)))) [若p是真命题，则0＜a＜1，
若q是真命题，则ymin＞1，又ymin＝2a，∴2a＞1，
∴q为真命题时，a＞eq \f(1,2).
又∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假．
若p真q假，则0＜a≤eq \f(1,2)；若p假q真，则a≥1.
故a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜a≤\f(1,2)或a≥1)))).]
p
q
p∧q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，(x)
含有逻辑联结词的命题的真假判断
全称命题、特称命题
由命题的真假求参数的取值范围