高考数学一轮复习 第7章 第1节 空间几何体的结构及其三视图和直观图

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[五年考情]
[重点关注]
综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：
1．从考查题型、题量两个方面来看：一般是1～2个客观题，一个解答题；从考查分值看，该部分大约占17～22分．
2．从考查知识点看：主要考查简单几何体的三视图及其表面积、体积、空间中线线、线面、面面的平行和垂直的关系，突出对空间想象能力、逻辑推理能力和正确迅速运算的能力，以及转化与化归思想的考查．
3．从命题思路上看：
(1)空间几何体的三视图及其表面积、体积的计算，主要以小题的形式考查．
(2)空间点、线、面之间位置关系的判断与证明，特别是线线、线面、面面的平行与垂直，主要以解答题的形式考查．
(3)根据近5年的高考试题，我们发现两大热点：①空间几何体的三视图及其表面积、体积的计算，空间位置关系有关命题的辨别．②空间平行、垂直关系的证明．
[导学心语]
根据近5年全国卷高考命题特点和规律，复习本章时，要注意以下几个方面：
1．深刻理解以下概念、性质、定理及公式．
简单几何体的结构特征；三视图及其表面积、体积公式；三个公理及线面、面面平行和垂直的八个判定定理与性质定理．
2．抓住空间位置关系中平行、垂直这一核心内容强化训练，不仅要注意平行与平行、垂直与垂直间的转化，而且要重视平行与垂直间的化归转化．在推理证明中加强规范严谨性训练，避免因条件缺失、步骤混乱导致失分．
3．把握命题的新动向，在保持命题连续性的同时，力求创新，空间的折叠与探索开放性问题的命题趋向值得重视．
第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图
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[考纲传真] 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
1．简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；
(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
2．旋转体的形成
3.空间几何体的三视图
(1)三视图的名称
几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．
(2)三视图的画法
①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．
4．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝90°.( )
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)如图7­1­1，长方体ABCD­A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是( )
图7­1­1
A．棱台B．四棱柱
C．五棱柱D．简单组合体
C [由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．]
3．(2014·全国卷Ⅰ)如图7­1­2，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
图7­1­2
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
B [由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，
经分析可知该几何体为如图所示的三棱柱．]
4．(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图7­1­3所示，则该几何体的侧(左)视图为( )
图7­1­3
B [由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，
故其侧(左)视图为图②.]
5．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．
2π [由题意得圆柱的底面半径r＝1，母线l＝1，
所以圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π.]
(1)下列说法正确的是( )
【导学号：31222239】
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
(2)以下命题：
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2D．3
(1)B (2)B [(1)如图①所示，可知A错．如图②，当PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为矩形时，则四个侧面均为直角三角形，B正确．
① ②
根据棱台的定义，可知C，D不正确．
(2)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．]
[规律方法] 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．
2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
3．因为棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
[变式训练1] 下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
D [如图①知，A不正确．如图②，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．
① ②
C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．
由母线的概念知，选项D正确．]
eq \a\vs4\al(☞)角度1 由空间几何体的直观图判断三视图
一几何体的直观图如图7­1­4，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
A B C D
图7­1­4
B [该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合．]
eq \a\vs4\al(☞)角度2 已知三视图，判断几何体
(1)某四棱锥的三视图如图7­1­5所示，该四棱锥最长棱棱长为
( )
图7­1­5
A．1B.eq \r(2)
C.eq \r(3)D．2
(2)(2016·全国卷Ⅱ)如图7­1­6是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
图7­1­6
A．20π
B．24π
C．28π
D．32π
(1)C (2)C [(1)由三视图知，该四棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABCD.
又PA＝AD＝AB＝1，且底面ABCD是正方形，
所以PC为最长棱．
连接AC，则PC＝eq \r(AC2＋PA2)＝eq \r(\r(2)2＋1)＝eq \r(3).
(2)由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为2eq \r(3)，所以圆锥的母线长为eq \r(2\r(3)2＋22)＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S＝16π＋4π＋8π＝28π.]
[规律方法] 1.由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认．
2．根据三视图还原几何体．
(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．
(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．
(3)根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
易错警示：对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同.
(2017·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
【导学号：31222240】
A.eq \f(\r(3),4)a2 B.eq \f(\r(3),8)a2
C.eq \f(\r(6),8)a2 D.eq \f(\r(6),16)a2
D [如图①②所示的实际图形和直观图，
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(\r(3),4)a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，
则C′D′＝eq \f(\r(2),2)O′C′＝eq \f(\r(6),8)a，
所以S△A′B′C′＝eq \f(1,2)A′B′·C′D′＝eq \f(1,2)×a×eq \f(\r(6),8)a＝eq \f(\r(6),16)a2.]
[规律方法] 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．
2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形．
[变式训练2] 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq \r(2)，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．
eq \f(\r(2),2) [如图所示：
因为OE＝eq \r(\r(2)2－1)＝1，所以O′E′＝eq \f(1,2)，E′F＝eq \f(\r(2),4)，
则直观图A′B′C′D′的面积S′＝eq \f(1＋3,2)×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(\r(2),2).]
[思想与方法]
1．画三视图的三个原则：
(1)画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”．
(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方．
(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出．
2．棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想．
[易错与防范]
1．确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．
2．对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画其三视图，易忽视交线的位置，实线与虚线的不同致误．
课时分层训练(三十八)
空间几何体的结构及其三视图和直观图
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱锥的侧棱长都相等
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
B [根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．]
2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A．圆柱B．圆锥
C．四面体D．三棱柱
A [由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．]
3．(2017·云南玉溪一中月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图7­1­7所示，则该几何体的侧视图为( )
图7­1­7
A B C D
D [易知侧视图的投影面为矩形．
又AF的投影线为虚线，
∴该几何体的侧视图为选项D.]
4．一个几何体的三视图如图7­1­8所示，则该几何体的表面积为( )
【导学号：31222241】
图7­1­8
A．3πB．4π
C．2π＋4D．3π＋4
D [由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．
表面积为2×2＋2×eq \f(1,2)×π×12＋π×1×2＝4＋3π.]
5．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图7­1­9，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
图7­1­9
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,7)
C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,5)
D [由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为
V1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×1＝eq \f(1,6)，
剩余部分的体积V2＝13－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6).
所以eq \f(V1,V2)＝eq \f(\f(1,6),\f(5,6))＝eq \f(1,5)，故选D.]
二、填空题
6．(2017·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图7­1­10所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________．
【导学号：31222242】
图7­1­10
2eq \r(2) [因为直观图的面积是原图形面积的eq \f(\r(2),4)倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2eq \r(2).]
7．如图7­1­11所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P­ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________.
【导学号：31222243】
图7­1­11
1 [三棱锥P­ABC的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.]
8．某三棱锥的三视图如图7­1­12所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．
图7­1­12
2eq \r(2) [由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABC，M为AC的中点，且BM⊥AC，故该三棱锥的最长棱为PC.
在Rt△PAC中，
PC＝eq \r(PA2＋AC2)＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2).]
三、解答题
9．某几何体的三视图如图7­1­13所示．
图7­1­13
(1)判断该几何体是什么几何体？
(2)画出该几何体的直观图．
[解] (1)该几何体是一个正方体切掉两个eq \f(1,4)圆柱后的几何体.5分
(2)直观图如图所示.12分
10．如图7­1­14，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，如图7­1­15为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．
图7­1­14
图7­1­15
(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
(2)求PA.
[解] (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.5分
(2)由侧视图可求得PD＝eq \r(PC2＋CD2)＝eq \r(62＋62)＝6eq \r(2).8分
由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq \r(PD2＋AD2)＝eq \r(6\r(2)2＋62)＝6eq \r(3) cm.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．在如图7­1­16所示的空间直角坐标系O­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
图7­1­16
A．①和②B．③和①
C．④和③D．④和②
D [如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④，俯视图为②.
]
2．(2017·长郡中学质检)如图7­1­17是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( ) 【导学号：31222244】
图7­1­17
A．4B．5
C．3eq \r(2)D．3eq \r(3)
D [由三视图作出几何体的直观图(如图所示)，计算可知AF最长，且AF＝eq \r(BF2＋AB2)＝3eq \r(3).]
3．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图7­1­18所示，则该四棱柱的体积为________．
图7­1­18
eq \f(3,2) [由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD­A′B′C′D′.
故该四棱柱的体积V＝Sh＝eq \f(1,2)×(1＋2)×1×1＝eq \f(3,2).]
考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
三视图、空间几何体的表面积和体积
全国卷Ⅰ·T7
全国卷Ⅱ·T4
全国卷Ⅱ·T7
全国卷Ⅲ·T10
全国卷Ⅲ·T11
全国卷Ⅰ·T6
全国卷Ⅰ·T11
全国卷Ⅱ·T6
全国卷Ⅱ·T10
全国卷Ⅰ·T8
全国卷Ⅱ·T6
全国卷Ⅱ·T7
全国卷Ⅰ·T11
全国卷Ⅰ·T15
全国卷Ⅱ·T9
全国卷Ⅱ·T15
全国卷·T7
全国卷·T8
点、线、面的位置关系
全国卷Ⅰ·T11
全国卷Ⅰ·T18
全国卷Ⅱ·T19
全国卷Ⅲ·T19
全国卷Ⅰ·T18
全国卷Ⅱ·T19
全国卷Ⅰ·T19
全国卷Ⅱ·T18
全国卷Ⅰ·T19
全国卷Ⅱ·T18
全国卷·T19
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
任一直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
空间几何体的结构特征
空间几何体的三视图
空间几何体的直观图