高考数学一轮复习 第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积

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1．多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )
(2)球的体积之比等于半径比的平方．( )
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝eq \f(\r(3),2)a.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cmD.eq \f(3,2) cm
B [S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．]
3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图7­2­1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
图7­2­1
A．14斛B．22斛
C．36斛D．66斛
B [设米堆的底面半径为r尺，则eq \f(π,2)r＝8，所以r＝eq \f(16,π)，所以米堆的体积为V＝eq \f(1,4)×eq \f(1,3)π·r2·5＝eq \f(π,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,π)))2×5≈eq \f(320,9)(立方尺)．故堆放的米约有eq \f(320,9)÷1.62≈22(斛)．故选B.]
4．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．12πB.eq \f(32,3)π
C．8πD．4π
A [设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.
所以正方体的体对角线长为2eq \r(3)，所以正方体外接球的半径为eq \r(3)，所以球的表面积为4π·(eq \r(3))2＝12π，故选A.]
5．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图7­2­2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm3.
图7­2­2
eq \f(32,3) [由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm的正方体与底面为边长为2 cm的正方形、高为2 cm的四棱锥组成，V＝V正方体＋V四棱锥＝8 cm3＋eq \f(8,3) cm3＝eq \f(32,3) cm3.]
(1)某几何体的三视图如图7­2­3所示，则该几何体的表面积等于
( )
图7­2­3
A．8＋2eq \r(2) B．11＋2eq \r(2)
C．14＋2eq \r(2)D．15
(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图7­2­4，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是eq \f(28π,3)，则它的表面积是( )
图7­2­4
A．17πB．18π
C．20πD．28π
(1)B (2)A [(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．
直角梯形斜腰长为eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，所以底面周长为4＋eq \r(2)，侧面积为4＋2eq \r(2)＋2＋2＝8＋2eq \r(2)，两底面的面积和为2×eq \f(1,2)×1×(1＋2)＝3.
所以该几何体的表面积为8＋2eq \r(2)＋3＝11＋2eq \r(2).
(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的eq \f(1,4)，得到的几何体如图．设球的半径为R，则eq \f(4,3)πR3－eq \f(1,8)×eq \f(4,3)πR3＝eq \f(28,3)π，解得R＝2.因此它的表面积为eq \f(7,8)×4πR2＋eq \f(3,4)πR2＝17π.故选A.]
[规律方法] 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．
2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
[变式训练1] (2016·全国卷Ⅲ)如图7­2­5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
【导学号：31222245】
图7­2­5
A．18＋36eq \r(5)B．54＋18eq \r(5)
C．90D．81
B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3eq \r(5))×2＝54＋18eq \r(5).故选B.]
(1)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
( )
A.eq \f(2π,3)B.eq \f(4π,3)
C.eq \f(5π,3)D．2π
(2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图7­2­6所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
图7­2­6
(1)C (2)2 [(1)过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示．
由于V圆柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π，
V圆锥＝eq \f(1,3)π·CE2·DE＝eq \f(1,3)π·12×(2－1)＝eq \f(π,3)，
所以该几何体的体积V＝V圆柱－V圆锥＝2π－eq \f(π,3)＝eq \f(5π,3).
(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×2×1×3＝2.]
[规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．
3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
[变式训练2] 一个几何体的三视图如图7­2­7所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
图7­2­7
eq \f(8,3)π [由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为
V＝eq \f(1,3)π×12×1×2＋π×12×2＝eq \f(8,3)π.]
(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4πB.eq \f(9π,2)
C．6πD.eq \f(32π,3)
B [由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则eq \f(1,2)×6×8＝eq \f(1,2)×(6＋8＋10)·r，则r＝2.
此时2r＝4＞3，不合题意．
因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．
由2R＝3，即R＝eq \f(3,2).
故球的最大体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(9,2)π.]
[迁移探究1] 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．
[解] 将直三棱柱补形为长方体ABEC­A′B′E′C′，
则球O是长方体ABEC­A′B′E′C′的外接球，
∴体对角线BC′的长为球O的直径．
因此2R＝eq \r(32＋42＋122)＝13，
故S球＝4πR2＝169π.
[迁移探究2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．
[解] 如图，设球心为O，半径为r，
则在Rt△AOF中，(4－r)2＋(eq \r(2))2＝r2，
解得r＝eq \f(9,4)，
则球O的体积V球＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))3＝eq \f(243π,16).
[规律方法] 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
[变式训练3] (2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36πB．64π
C．144πD．256π
C [如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝eq \f(1,2)R2.
∵VO­ABC＝VC­AOB，而△AOB面积为定值，
∴当点C到平面AOB的距离最大时，VO­ABC最大，
∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO­ABC最大为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)R2×R＝36，
∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.]
[思想与方法]
1．转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．
2．求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高．
[易错与防范]
1．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算．
2．底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．
课时分层训练(三十九)
空间几何体的表面积与体积
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.eq \f(2\r(2)π,3) B.eq \f(4\r(2)π,3)
C．2eq \r(2)πD．4eq \r(2)π
B [依题意知，该几何体是以eq \r(2)为底面半径，eq \r(2)为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝eq \f(1,3)π(eq \r(2))2×2eq \r(2)＝eq \f(4\r(2),3)π.]
2．已知底面边长为1，侧棱长为eq \r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
【导学号：31222246】
A.eq \f(32π,3)B．4π
C．2πD.eq \f(4π,3)
D [依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝eq \r(12＋12＋\r(2)2)＝2，解得R＝1，所以V＝eq \f(4π,3)R3＝eq \f(4π,3).]
3．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图7­2­8所示，则该几何体的体积为( )
图7­2­8
A.eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)πB.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),3)π
C.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)πD．1＋eq \f(\r(2),6)π
C [由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为eq \f(\r(2),2)，从而该几何体的体积为eq \f(1,3)×12×1＋eq \f(1,2)×eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3＝eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π.故选C.]
4．某几何体的三视图如图7­2­9所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )
【导学号：31222247】
图7­2­9
A．2B.eq \f(9,2)
C.eq \f(3,2)D．3
D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝eq \f(1,2)×(1＋2)×2＝3，
∴V＝eq \f(1,3)x·3＝3，解得x＝3.]
5．(2016·江南名校联考)一个四面体的三视图如图7­2­10所示，则该四面体的表面积是( )
图7­2­10
A．1＋eq \r(3)B．2＋eq \r(3)
C．1＋2eq \r(2)D．2eq \r(2)
B [四面体的直观图如图所示．侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是eq \r(2)的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝eq \r(2)，AC＝2.
设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，
∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.
又OS＝OB＝1，∴SB＝eq \r(2)，
故△SAB与△SBC均是边长为eq \r(2)的正三角形，故该四面体的表面积为2×eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)＋2×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2＝2＋eq \r(3).]
二、填空题
6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．
【导学号：31222248】
eq \r(7) [设新的底面半径为r，由题意得
eq \f(1,3)×π×52×4＋π×22×8＝eq \f(1,3)×π×r2×4＋π×r2×8，
∴r2＝7，∴r＝eq \r(7).]
7．一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
12 [设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h′.
由题意，得eq \f(1,3)×6×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×h＝2eq \r(3)，∴h＝1，
∴斜高h′＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，∴S侧＝6×eq \f(1,2)×2×2＝12.]
8．某几何体的三视图如图7­2­11所示，则该几何体的体积为________．
图7­2­11
eq \f(13,6)π [由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)π×12×1＝eq \f(13,6)π.]
三、解答题
9．如图7­2­12，在三棱锥D­ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，求三棱锥D­ABC的体积的最大值．
图7­2­12
[解] 由题意知，线段AB＋BD与线段AC＋CD的长度是定值，∵棱AD与棱BC相互垂直，设d为AD到BC的距离，4分
则VD­ABC＝AD·BC×d×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝2d，
当d最大时，VD­ABC体积最大.8分
∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，
∴当AB＝BD＝AC＝CD＝5时，
d有最大值eq \r(42－1)＝eq \r(15).
此时V＝2eq \r(15).12分
10．四面体ABCD及其三视图如图7­2­13所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.

图7­2­13
(1)求四面体ABCD的体积；
(2)证明：四边形EFGH是矩形．
[解] (1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，
∴AD⊥平面BDC，3分
∴四面体ABCD的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×1＝eq \f(2,3).5分
(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，8分
∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.
同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG.
∴四边形EFGH是矩形.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图7­2­14所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
图7­2­14
A．1 B．2
C．4 D．8
B [如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝eq \f(1,2)×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.]
2．三棱锥P­ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D­ABE的体积为V1，P­ABC的体积为V2，则eq \f(V1,V2)＝________.
eq \f(1,4) [设点A到平面PBC的距离为h.
∵D，E分别为PB，PC的中点，∴S△BDE＝eq \f(1,4)S△PBC，
∴eq \f(V1,V2)＝eq \f(VA­DBE,VA­PBC)＝eq \f(\f(1,3)S△BDE·h,\f(1,3)S△PBC·h)＝eq \f(1,4).]
3．(2016·全国卷Ⅰ)如图7­2­15，已知正三棱锥P­ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
图7­2­15
(1)证明：G是AB的中点；
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．
[解] (1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，
所以AB⊥PD.
因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.3分
因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.
又由已知可得，PA＝PB，所以G是AB的中点.5分
(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.7分
理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．
连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝eq \f(2,3)CG.10分
由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝eq \f(2,3)PG，DE＝eq \f(1,3)PC.
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2eq \r(2).
在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，
所以四面体PDEF的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×2＝eq \f(4,3).12分
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
空间几何体的表面积
空间几何体的体积
多面体与球的切、接问题