2021年湖南省娄底市初中毕业学业水平考试数学模拟试卷（二）（word版 含答案）

这是一份2021年湖南省娄底市初中毕业学业水平考试数学模拟试卷（二）（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省娄底市初中毕业学业水平考试数学模拟试卷（二）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．2021 B． C． D．1
2．下列计算正确的是（　　　）
A． B． C． D．
3．如图，将直尺与含60°角的三角尺叠放在一起，60°角的顶点落在直尺的一边上，其两边与直尺相交，若∠2＝70°，则∠1的度数是（ ）

A．40° B．45° C．50° D．55°
4．袁隆平院士于2021年5月在长沙逝世，作为世界上在杂交水稻研究方面的顶尖科学家，他研究出来的高产量杂交水稻让世界上近20亿人免于挨饿，将20亿用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．某市6月份某周气温（单位：℃）为23、25、28、25、28、31、28，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．25、25 B．28、28 C．25、28 D．28、31
6．如图是由个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
7．下列各命题是真命题的是（ ）
A．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线 B．平行四边形一定是中心对称图形
C．有一个内角为的平行四边形是菱形 D．三角形的外角等于它的两个内角之和
8．如图所示，入射光线与平面锐成30°角，下列说法正确的是（ ）

A．入射角是30° B．反射角是60°
C．反射光线与镜面的夹角是60° D．入射角减小时，反射角不变
9．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）

A．4 B． C．10 D．
10．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，……，则第2021次输出的结果是（ ）

A． B． C． D．
11．对于一个函数自变量取时，函数值为0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，，关于的方程有两个不相等的非零实数根和，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．规定：，，例如，，下列结论中，正确的是（ ）
①若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是9．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
13．若二次根式成立，则x的取值范围是_______．
14．已知是方程的一个根，则该方程的另一个根为______．
15．小明已有两根长度分别是cm和cm的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm、4cm、5cm、7cm的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率等于______．
16．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为______．

17．一块直角三角板的30°角的顶点落在⊙O上，两边分别交⊙O于、两点，若弦，则⊙O的半径为______．

18．定义一种新运算：，例如：，若，则______．

三、解答题
19．计算：
20．先化简，再求值：其中．
21．“校园安全”受到全社会的广泛关注，信丰县某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题
（1）接受问卷调查的学生共有　　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形圆心角是　　度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．

22．约鱼岛历来就是我们中国的固有领土，是神圣不可侵犯的！如图是钓鱼岛中某个岛礁上的斜坡，我海监船在海面上与点距离200米的处，测得岛礁顶端的仰角为26.6°，以及该斜坡坡度是1：1，求该岛礁的高．（结果取整数，参考数据：，，）

23．为庆祝建党100周年，某书城准备购进甲，乙两种党史读本进行销售，它们的进价和售价如下表．现计划用不超过3750元购进这两种党史读本共100本．
（1）求甲种党史读本最多购进多少本？
（2）如果这100本党史读本都可售完，那么该书城如何进货才能获得最大利润？
党史读物
进价（元/本）
售价（元/本）
甲
40
60
乙
30
45

24．如图，四边形为菱形，延长使得，延长使得，延长使得，延长使得，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）猜想：四边形是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．

25．如图，在中，且点为的中点，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点．
（1）求证：为⊙O的切线；
（2）当，时，求圆⊙O的半径；
（3）试探究线段、和之间的数量关系．

26．如图，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点位于抛物线图象上第四象限内的动点，连接交于点，记的面积为，的面积为．试求的最大值；
（3）如图2，点在轴上，若点为线段上的一个动点，试求的最小值．



参考答案
1．A
【分析】
根据相反数的定义即可求解．
【详解】
的相反数是2021
故选A．
【点睛】
此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义．
2．B
【分析】
由合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂除法、以及完全平方公式，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂除法、以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行判断．
3．C
【分析】
如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可得．
【详解】
如图，由题意得：，，

，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
4．B
【分析】
根据科学记数法可直接进行求解．
【详解】
解：将将20亿用科学记数法可表示为；
故选B．
【点睛】
本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
5．B
【分析】
根据中位数和众数的定义进行分析.
【详解】
将这组数据按从小到大的顺序排列23，25，25，28，28，28，31，
在这一组数据中28是出现次数最多的，故众数是28℃．
处于中间位置的那个数是28，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是28℃；
故选B．
【点睛】
考点：1．众数；2．中位数．
6．B
【分析】
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】
解：从上边看共有两层，底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：B．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
7．B
【分析】
根据矩形的性质、轴对称图形和中心对称图形的概念、三角形的外角性质判断即可．
【详解】
解：A、矩形的对称轴是任意一边的垂直平分线，两条对角线所在的直线不一定是矩形的对称轴，本选项是假命题；
B、平行四边形一定是中心对称图形，本选项是真命题；
C、有一个内角为60°的平行四边形不一定是菱形，本选项是假命题；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，本选项是假命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．B
【分析】
根据光的反射定律可知：入射角指入射光线与法线的夹角，反射角指反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角，逐一判断选项，即可．
【详解】
解：A、已知入射光线与平面镜的夹角是30°，所以入射角=90°−30°＝60°，故A错误；
B、根据光的反射定律：反射角等于入射角，所以反射角也为60°，故B正确；
C、反射光线与镜面的夹角：90°−60°＝30°，故C错误；
D、因为反射角等于入射角，所以入射角减小，反射角也随之减小，故D错误。
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了入射角和反射角的概念，并且要会利用光的反射定律的内容进行有关的计算．
9．D
【分析】
设A（t，0），利用两点间的距离公式得到（t+2）2+32=52，解方程得到A（2，0），设C（0，m），根据矩形的性质通过点的平移得到B（4，m-3），则利用AC=BD得到22+m2=（4+2）2+（m-3-3）2，解方程得B点坐标，然后把B点坐标代入y=中可得到k的值．
【详解】
解：设A（t，0），
∵D（﹣2，3），AD＝5，
∴（t+2）2+32＝52，解得t＝2，
∴A（2，0），
设C（0，m），
∵D点向右平移2个单位，向上平移（m﹣3）个单位得到C点，
∴A点向右平移2个单位，向上平移（m﹣3）个单位得到B点，
∴B（4，m﹣3），
∵AC＝BD，
∴22+m2＝（4+2）2+（m﹣3﹣3）2，解得m＝，
∴B（4，），
把B（4，）代入y＝得k＝4×＝．
故选：D．

【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了矩形的性质．
10．C
【分析】
根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点，从而可以得到第2021次输出的结果，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，
第一次输出的结果为1，
第二次输出的结果为−4，
第三次输出的结果为−2，
第四次输出的结果为−1，
第五次输出的结果为−6，
第六次输出的结果为−3，
第七次输出的结果为−8，
第八次输出的结果为−4，
第九次输出的结果为−2，
…，
由上可得，从第二次输出结果开始，以−4，−2，−1，−6，−3，8依次循环出现，
∵（2021−1）÷6＝336…4，
∴第2021次输出的结果是−6，
故选：C．
【点睛】
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点，写出所求次数的输出结果．
11．D
【分析】
根据题意画出关于x的二次函数的图象以及直线y＝−2，根据图象即可判断．
【详解】
解：关于的方程有两个不相等的非零实数根和，
就是关于x的二次函数与直线y＝−2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：

∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴3＜x4＜x2，
由图象可知：一定成立，
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．
12．B
【分析】
根据非负数和为0的性质可判定①，由可以化简绝对值，进而可判断②；由两数绝对值相等得出两数相等或互为相反数可判断③；分三种情况讨论化简绝对值，利用一次函数的性质可判断④．
【详解】
解：①若，即，解得：，则；故①正确；
②若，则，故错误；
③若，则，即或，
解得：，所以能使成立的的值存在；故错误；
④式子，当时，，则的值随x的增大而减小，所以当x=-5时有最小值9；当时，；当时，，则的值随x的增大而增大，所以当x=4时有最小值9；综上所述：的最小值是9，故正确；
∴正确的有①④，共2个；
故选B．
【点睛】
本题主要考查一次函数的性质及绝对值，熟练掌握一次函数的性质及绝对值是解题的关键．
13．
【分析】
根据二次根式中的被开方数是非负数，可计算得出x的取值范围．
【详解】
解：∵二次根式有意义，
∴，解得：
故答案为：．．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握：二次根式有意义，被开方数为非负数．
14．
【分析】
由于已知方程的一根，根据一元二次方程根与系数的关系，即可以求出方程的另一根．
【详解】
解：设方程的另一根为x1，由x1＋＝，得x1=，
故答案是：．
【点睛】
根据方程中各系数的已知情况，合理选择根与系数的关系式是解决此类题目的关键．
15．
【分析】
设第三边长为xcm，则根据三角形的三边关系可得，然后符合题意的只有5cm、7cm两种情况，进而问题可求解．
【详解】
解：设第三边长为xcm，由题意及三角形的三边关系可得，
∴能构成三角形的边长只有5cm、7cm两种情况，
∴恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率为；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查概率及三角形三边关系，熟练掌握概率的求法及三角形三边关系是解题的关键．
16．3
【分析】
过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DF＝DC，2AD＋DC＝2（AD＋DC）＝2（AD＋DF）当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD＋DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长．
【详解】
解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：

在Rt△DFC中，∠DCF=30°，
∴DF=DC，
∵2AD＋DC=2（AD＋DC）=2（AD＋DF），
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD＋DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，
此时，∠B＝∠ADB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝2，
在Rt△ABC中，
∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝1，
∴BC＝2，
∴DC＝1，
∴DF＝DC＝，
∴AF＝AD＋DF＝1＋＝，
∴2（AD＋DF）＝2AF＝3，
∴2AD＋DC的最小值为3，
故答案是：3．
【点睛】
本题考查垂线段最短、含30°角直角三角形的性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造“胡不归”模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．2
【分析】
连接OB、OC，由题意易得∠BOC=60°，则有△BOC是等边三角形，然后问题可求解．
【详解】
解：连接OB、OC，如图所示：

∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∵，
∴，即⊙O的半径为2；
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
18．
【分析】
根据新运算列等式为m−1−（5m）−1＝−2，解出即可．
【详解】
解：由题意得：m−1−（5m）−1＝−2，即：，
解得：m＝，
经检验：m＝是方程的解，
故答案是：
【点睛】
本题考查了负整数指数幂和解分式方程，理解新定义，并根据新定义进行计算是本题的关键．
19．
【分析】
先算零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数和绝对值，再算加减法，即可求解．
【详解】
解：原式=
=
=
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数是解题的关键．
20．
【分析】
先把除法化为乘法，再约分，再算减法，最后代入求值，进而求解．
【详解】
解：原式=
=
=
=
=，
当时，原式=．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的约分和加减法法则，是解题的关键．
21．（1）60，90；（2）补图见解析；（3）400人．
【分析】
（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【详解】
（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；
∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°=90°；
故答案为60，90；
（2）60﹣15﹣30﹣10=5；
补全条形统计图得：

（3）根据题意得：1200×=400（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为400人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．200
【分析】
根据斜坡坡度是1：1，可设AB＝BC＝x（米），继而表示出AB、BD的长度，再由tan26.6°≈0.50，可得关于x的方程，解出即可得出答案．
【详解】
解：在Rt△ABC中，斜坡坡度是1：1，
可设AB＝BC＝x（米），
在Rt△ADB中，∠D＝26.6°，BD＝200＋x（米），
∴tan26.6°＝＝0.50，
解得：x＝200，
答：该岛礁的高AB为200米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的定义，表示相关线段的长度．
23．（1）甲种党史读本最多购进75本；（2）甲种读本购进75本，乙种读本购进25本，才能获得最大利润．
【分析】
（1）设甲种读本购进m本，则乙种读本购进（100−m）本，然后根据购进这100本读本的费用不得超过3750元，列出不等式解答即可；
（2）首先求出总利润W的表达式，进而即可确定其进货方案．
【详解】
解：（1）设甲种读本购进m本，则乙种读本购进（100−m）本，
根据题意，得：，
解得：m≤75，
答：甲种党史读本最多购进75本；
（2）设这100本党史读本都售完，总利润为W元，
由题意得：W=(60-40)m+(45-30)( 100−m)=5m+1500，
∵k=5，
∴W随着m的增大而增大，
∴当m=75时，W最大=5×75+1500=1875，
100-m=100-75=25，
答：甲种读本购进75本，乙种读本购进25本，才能获得最大利润．
【点睛】
本题考查了不等式组的应用、以及一次函数的性质，正确列出不等式和一次函数表达式，是解题的关键．
24．（1）见详解；（2）四边形是矩形，理由见详解．
【分析】
（1）由题意易得PM=NQ，PMNQ，进而可得BM=ND，然后问题可求证；
（2）由题意易证△BNM≌△NCD，∠BNM=90°，进而可得∠C=90°，然后问题可求证．
【详解】
证明：（1）∵四边形为菱形，
∴PM=NQ，BMND，
∵，，
∴BM=ND，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴BMND，BM=ND，ADBC，
∴∠NBM=∠CND，
∵，
∴△BNM≌△NCD（SAS），
∴，
∵，DM=BN,
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴由三角形内角和可得，即，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】
本题主要考查矩形的判定、菱形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定、菱形的性质及平行四边形的判定是解题的关键．
25．（1）见详解；（2）3；（3）
【分析】
（1）连接OM，证明OM∥BC，进而即可得到结论；
（2）连接GF，先求出sin∠EAB＝，设OB＝OM＝r，则OA＝12−r，根据三角函数的定义，列出方程，即可求解；
（3）过点O作OH⊥BG，则BH=，由sin∠BFG=，sin∠BOH=，得=，结合勾股定理，即可得到结论．
【详解】
解：（1）连接OM，如图：

∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵OM＝OB，
∴∠ABM＝∠BMO，
∴∠BMO＝∠CBM，
∴BC∥OM，
∵AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）连接GF，如图：

∵且点为的中点，
∴BE＝CE＝BC，∠AEB＝90°，AB=AC，
∵，，
∴BE＝4，AB＝12，
∴sin∠EAB＝，
设OB＝OM＝r，则OA＝12−r，
∵AE是⊙O切线，
∴∠AMO＝90°，
∴sin∠EAB＝=，
∴=，解得r＝3，即：⊙O的半径为3；
（3）过点O作OH⊥BG，则BH=，
∵BF为⊙O直径，
∴∠BGF＝90°，
∴GF∥AE∥OH，
∴∠BFG＝∠EAB=∠BOH，
∵sin∠BFG=，sin∠BOH=，
∴=，
∵∠OHE=∠HEM=∠EMO=90°，
∴四边形OHEM是矩形，
∴EM=OH，
∴=，
∴．

【点睛】
本题考查圆的切线判定定理，垂径定理，锐角三角函数的定义，解题的关键是添加合适的辅助线，构造直角三角形．
26．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）设P(x，)，（0＜x＜3），过点P作PM∥AB，交BC于点M，可得，从而得关于x的二次函数，进而即可求解；
（3）以BE为底边，在x轴下方作等腰直角，则EN=，当D、E、N三点共线时，最小，进而即可求解．
【详解】
解：（1）∵、，，
∴C(0，-3)，
∴，解得：，
∴；
（2）设P(x，)，（0＜x＜3），
∵，C(0，-3)，
∴直线BC的解析式为：y=x-3，
过点P作PM∥AB，交BC于点M，则，
∴，M(，)，
∴，
∵的面积为，的面积为，
∴===，即：的最大值=；

（3）以BE为底边，在x轴下方作等腰直角，则EN=，
∴=DE+EN，即D、E、N三点共线时，最小，
此时，∠ODE=∠OED=∠NEB=45°，
∴OE=OD=2，BE=3-2=1，DE=2，
∴=2+×1=．

【点睛】
本题主要考查二次函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造相似三角形和等腰直角三角形，是解题的关键．