高三数学一轮复习： 第7章 第5节 课时分层训练42

这是一份高三数学一轮复习： 第7章 第5节 课时分层训练42，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·西安六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
A．α⊥β且m⊂α
B．α⊥β且m∥α
C．m∥n且n⊥β
D．m⊥n且α∥β
C [由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．]
2．(2017·天津河西模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
B [A中，α∥β或α与β相交，不正确．B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，
由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确．
C中，l∥β或l⊂β，C不正确．
对于D中，l与β的位置关系不确定．]
3．如图7­5­10，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )
【导学号：01772260】
图7­5­10
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
D [因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，
BC⊄平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故选项A正确．
在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，
所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．]
4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( )
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
C [A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；
B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；
C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；
D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．]
5．如图7­5­11，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )
图7­5­11
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
C [因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]
二、填空题
6．如图7­5­12所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
【导学号：01772261】
图7­5­12
DM⊥PC(或BM⊥PC等) [由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.
又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]
7．如图7­5­13，在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．
【导学号：01772262】
图7­5­13
eq \f(π,3) [取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C.
所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．
设三棱柱的所有棱长为a，
在Rt△AED中，
AE＝eq \f(\r(3),2)a，DE＝eq \f(a,2).
所以tan∠ADE＝eq \f(AE,DE)＝eq \r(3)，则∠ADE＝eq \f(π,3).
故AD与平面BB1C1C所成的角为eq \f(π,3).]
8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
②③④ [对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．
对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．
对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．
对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]
三、解答题
9. (2015·北京高考)在三棱锥V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq \r(2)，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥V­ABC的体积．
图7­5­14
[解] (1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB.3分
又因为VB⊂/平面MOC，所以VB∥平面MOC.5分
(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.
又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，
所以OC⊥平面VAB.
所以平面MOC⊥平面VAB.8分
(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq \r(2)，
所以AB＝2，OC＝1.
所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝eq \r(3).9分
又因为OC⊥平面VAB，
所以三棱锥C­VAB的体积等于eq \f(1,3)OC·S△VAB＝eq \f(\r(3),3).
又因为三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，所以三棱锥V­ABC的体积为eq \f(\r(3),3).12分
10．⊙O的直径AB＝4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，F为eq \x\t(BC)的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图7­5­15②)．
① ②
图7­5­15
(1)求证：OF∥平面ACD；
(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，1分
又因为F为eq \x\t(BC)的中点，
所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，3分
又AC⊂平面ACD，OF⊄平面ACD，
所以OF∥平面ACD.5分
(2)存在，E为AD中点，
因为OA＝OD，所以OE⊥AD.7分
又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．
所以OC⊥平面OAD.9分
又AD⊂平面OAD，所以AD⊥OC，
由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，
所以AD⊥平面OCE.
又AD⊂平面ACD，
所以平面OCE⊥平面ACD.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·贵州贵阳二模)如图7­5­16，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是( )
图7­5­16
A．O是△AEF的垂心
B．O是△AEF的内心
C．O是△AEF的外心
D．O是△AEF的重心
A [由题意可知PA，PE，PF两两垂直，
所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，
而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，
所以EF⊥平面PAO，
所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，
所以O为△AEF的垂心．]
2．如图7­5­17，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
【导学号：01772263】
图7­5­17
a或2a [∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.
为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．
设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，
∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.]
3．(2016·四川高考)如图7­5­18，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq \f(1,2)AD.
图7­5­18
(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.
[解] (1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．
理由如下：连接CM，
因为AD∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，
所以BC∥AM，且BC＝AM.2分
所以四边形AMCB是平行四边形，
所以CM∥AB.
又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)5分
(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，
因为AD∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，所以直线AB与CD相交，
所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.8分
因为AD∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，M为AD的中点，连接BM，
所以BC∥MD，且BC＝MD，
所以四边形BCDM是平行四边形，
所以BM＝CD＝eq \f(1,2)AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.
又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.12分