高三数学一轮复习： 第8章 第3节 课时分层训练47

这是一份高三数学一轮复习： 第8章 第3节 课时分层训练47，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·福建漳州模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝1
A [(1,2)关于直线y＝x对称的点为(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.]
2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A．2 B.eq \f(\r(2),2)
C.1 D.eq \r(2)
D [圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，则圆心坐标为(1，－2)．
故圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝eq \f(|1＋2－1|,\r(2))＝eq \r(2).]
3．(2017·山西运城二模)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )
A．3x＋y－5＝0 B.x－2y＝0
C．x－2y＋4＝0 D.2x＋y－3＝0
D [易知圆心坐标为(2，－1)．
由于直线x－2y＋3＝0的斜率为eq \f(1,2)，
∴该直径所在直线的斜率k＝－2.
故所求直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.]
4．经过原点并且与直线x＋y－2＝0相切于点(2,0)的圆的标准方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y－1)2＝2
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y－1)2＝4
A [设所求圆的圆心为(a，b)．
依题意(a－2)2＋b2＝a2＋b2，①
eq \f(b,a－2)＝1，②
解①②得a＝1，b＝－1，
则半径r＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(2)，
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]
5．(2017·重庆四校模拟)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B.4
C.3 D.2
B [如图所示，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]
二、填空题
6．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋eq \f(5,2)＝0，配方得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋1)2＝－eq \f(5,4)<0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.]
7．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．
【导学号：01772294】
x＋y－1＝0 [圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，
则kCM＝eq \f(1－0,2－1)＝1.
∵过点M的最短弦与CM垂直，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.]
8．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________.
【导学号：01772295】
(x－1)2＋y2＝2 [因为直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝eq \r(2－12＋－1－02)＝eq \r(2)，所以半径最大时的半径r＝eq \r(2)，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]
三、解答题
9．已知直线l：y＝x＋m，m∈R，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．
【导学号：01772296】
[解] 法一：依题意，点P的坐标为(0，m)，2分
因为MP⊥l，所以eq \f(0－m,2－0)×1＝－1，5分
解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)，8分
圆的半径r＝|MP|＝eq \r(2－02＋0－22)＝2eq \r(2)，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.12分
法二：设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2，2分
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＋m2＝r2，,\f(|2－0＋m|,\r(2))＝r，))6分
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,r＝2\r(2)，))10分
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.12分
10．(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
[解] (1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，2分
所以圆C1的圆心坐标为(3,0).5分
(2)设M(x，y)，依题意eq \(C1M,\s\up13(→))·eq \(OM,\s\up13(→))＝0，
所以(x－3，y)·(x，y)＝0，则x2－3x＋y2＝0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(9,4).7分
又原点O(0,0)在圆C1外，
因此中点M的轨迹是圆C与圆C1相交落在圆C1内的一段圆弧．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－3x＋y2＝0，,x2＋y2－6x＋5＝0，))消去y2得x＝eq \f(5,3)，
因此eq \f(5,3)＜x≤3.10分
所以线段AB的中点M的轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(9,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)＜x≤3)).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·佛山模拟)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．6 B.25
C.26 D.36
D [(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d＝eq \r(5－22＋－42)＝5.
则点P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.]
2．已知平面区域eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,y≥0，,x＋2y－4≤0))恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．
(x－2)2＋(y－1)2＝5 [由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
∵△OPQ为直角三角形，
∴圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r＝eq \f(|PQ|,2)＝eq \r(5)，
因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.]
3．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
【导学号：01772297】
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求eq \(PQ,\s\up13(→))·eq \(MQ,\s\up13(→))的最小值．
[解] (1)设圆心C(a，b)，
由已知得M(－2，－2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－2,2)＋\f(b－2,2)＋2＝0，,\f(b＋2,a＋2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0，))2分
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，
故圆C的方程为x2＋y2＝2.5分
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，
eq \(PQ,\s\up13(→))·eq \(MQ,\s\up13(→))＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)
＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2. 8分
令x＝eq \r(2)cs θ，y＝eq \r(2)sin θ，
所以eq \(PQ,\s\up13(→))·eq \(MQ,\s\up13(→))＝x＋y－2
＝eq \r(2)(sin θ＋cs θ)－2
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－2，
所以eq \(PQ,\s\up13(→))·eq \(MQ,\s\up13(→))的最小值为－4. 12分