高三数学一轮复习： 第10章 第9节 课时分层训练66

这是一份高三数学一轮复习： 第10章 第9节 课时分层训练66，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为( )
A.5 B.6
C．7 D.8
C [由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4，
∴E(X)＝4×0.5＋a·0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.]
2．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为( )
A．1＋a,4 B.1＋a,4＋a
C．1,4 D.1,4＋a
A [E(y)＝E(x)＋a＝1＋a，D(y)＝D(x)＝4.]
3．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,4)))，则E(2X＋1)＝( )
A.eq \f(5,4) B.eq \f(5,2)
C．3 D.eq \f(7,2)
D [因为X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,4)))，所以E(X)＝eq \f(5,4)，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×eq \f(5,4)＋1＝eq \f(7,2).]
4．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为( )
A．n＝4，p＝0.6 B.n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D.n＝24，p＝0.1
B [由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，
解得n＝6，p＝0.4.]
5．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为( )
A.eq \f(12,5) B.eq \f(24,25)
C.eq \f(8,5) D.eq \f(2\r(6),5)
B [因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为eq \f(3,5)，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(3,5)))，
∴D(X)＝4×eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))＝eq \f(24,25).]
二、填空题
6．(2015·广东高考)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.
eq \f(1,3) [由E(X)＝30，D(X)＝20，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(np＝30，,np1－p＝20，))解得p＝eq \f(1,3).]
7．(2017·唐山调研)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的均值E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)．
eq \f(4,7) [随机变量ξ只能取0,1,2三个数，
因为P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,7))＝eq \f(10,21)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,2),C\\al(2,7))＝eq \f(10,21)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,7))＝eq \f(1,21).
故E(ξ)＝1×eq \f(10,21)＋2×eq \f(1,21)＝eq \f(4,7).]
8．设X为随机变量，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(1,3)))，若随机变量X的均值E(X)＝2，则P(X＝2)等于________．
【导学号：01772426】
eq \f(80,243) [由X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(1,3)))，E(X)＝2，得
np＝eq \f(1,3)n＝2，∴n＝6，
则P(X＝2)＝Ceq \\al(2,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))4＝eq \f(80,243).]
三、解答题
9．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图10­9­3所示．
图10­9­3
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
【导学号：01772427】
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、均值E(X)及方差D(X)．
[解] (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.5分
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)·0.63＝0.216.8分
因此随机变量X的分布列为
因为X～B(3,0.6)，所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8，
方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝分
10．(2017·广东深圳质检)某校高二年级开设a，b，c，d，e五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选a课程，不选b课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．
(1)求甲同学选中c课程且乙同学未选中c课程的概率；
(2)用X表示甲、乙、丙选中c课程的人数之和，求X的分布列和数学期望.
【导学号：01772428】
[解] (1)设“甲同学选中c课程”为事件A，“乙同学选中c课程”为事件B，依题意P(A)＝eq \f(C\\al(1,2),C\\al(2,3))＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5).2分
(1)因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中c课程且乙同学未选中c课程的概率为
P(Aeq \(B,\s\up13(－)))＝P(A)P(eq \(B,\s\up13(－)))＝P(A)[1－P(B)]＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,15).4分
(2)设事件C为“丙同学选中c课程”．
则P(C)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5).5分
X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝P(eq \(A,\s\up13(－))eq \(B,\s\up13(－))eq \(C,\s\up13(－)))＝eq \f(1,3)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,75)，
P(X＝1)＝P(Aeq \(B,\s\up13(－))eq \(C,\s\up13(－)))＋P(eq \(A,\s\up13(－))Beq \(C,\s\up13(－)))＋P(eq \(A,\s\up13(－))eq \(B,\s\up13(－))C)
＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(20,75)＝eq \f(4,15)，
P(X＝2)＝P(ABeq \(C,\s\up13(－)))＋P(Aeq \(B,\s\up13(－))C)＋P(eq \(A,\s\up13(－))BC)
＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(2,3)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(33,75)＝eq \f(11,25)，
P(X＝3)＝P(ABC)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(18,75)＝eq \f(6,25)，8分
随机变量X的分布列为
所以E(X)＝0×eq \f(4,75)＋1×eq \f(4,15)＋2×eq \f(11,25)＋3×eq \f(6,25)＝eq \f(28,15).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝( )
A.eq \f(8,5) B.eq \f(6,5)
C.eq \f(4,5) D.eq \f(2,5)
B [由题意，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(3,m＋3))).
又E(X)＝eq \f(5×3,m＋3)＝3，∴m＝2.
则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(3,5)))，故D(X)＝5×eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))＝eq \f(6,5).]
2．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq \f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
【导学号：01772429】
eq \f(2,5) [设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))
所以D(ξ)＝eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)×0＋eq \f(1,5)×1＝eq \f(2,5).]
3．(2017·泉州模拟)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为eq \f(2,3)，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为eq \f(2,5)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
[解] (1)由已知得，小明中奖的概率为eq \f(2,3)，小红中奖的概率为eq \f(2,5)，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X≤3”为事件A，
则事件A的对立事件为“X＝5”.2分
因为P(X＝5)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,15)，
所以P(A)＝1－P(X＝5)＝eq \f(11,15)，
即这2人的累计得分X≤3的概率为eq \f(11,15).5分
(2)法一：设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，得分为Y1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，累计得分为Y2，则Y1＝2X1，Y2＝3X2.
由已知可得，X1～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2,3)))，X2～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2,5)))，6分
所以E(X1)＝2×eq \f(2,3)＝eq \f(4,3)，
E(X2)＝2×eq \f(2,5)＝eq \f(4,5)，
因此E(Y1)＝2E(X1)＝eq \f(8,3)，
E(Y2)＝3E(X2)＝eq \f(12,5).8分
因为E(2X1)＞E(3X2)，即E(Y1)>E(Y2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大.12分
法二：依题意，累计得分Y1，Y2的分布列为：

所以E(Y1)＝0×eq \f(1,9)＋2×eq \f(4,9)＋4×eq \f(4,9)＝eq \f(8,3)，
E(Y2)＝0×eq \f(9,25)＋3×eq \f(12,25)＋6×eq \f(4,25)＝eq \f(12,5).8分
因为E(Y1)>E(Y2)，
所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的均值较大.12分
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
X
0
1
2
3
P
eq \f(4,75)
eq \f(4,15)
eq \f(11,25)
eq \f(6,25)
Y1
0
2
4
P
eq \f(1,9)
eq \f(4,9)
eq \f(4,9)
Y2
0
3
6
P
eq \f(9,25)
eq \f(12,25)
eq \f(4,25)