还剩21页未读，
继续阅读
2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学综合测试试卷（一）
展开
这是一份2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学综合测试试卷（一），共24页。
2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学综合测试试卷（一）
一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8 B．a6÷a2＝a3
C．（2ab2）2＝4a2b⁴ D．（a3）2＝a5
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若不等式组无解，则a的取值范围为（ ）
A．a＞4 B．a≤4 C．0＜a＜4 D．a≥4
7．（3分）一件商品按成本价提高30%后标价，又以8折销售，售价为416元，这件商品卖出后获得利润（ ）元．
A．16 B．18 C．24 D．32
8．（3分）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100）海里的港口B出发．沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）
A．：2 B．：1 C．：2 D．：1
9．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB边上、DF∥AB，交AC边于点H，EF∥BC，交AC边于点G．则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）
A．两车到第3秒时行驶的路程相等
B．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
C．乙前4秒行驶的路程为48米
D．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
二．填空题（满分30分，每小题3分）
11．（3分）人的血管首尾相连的长度大约可达96000千米，96000千米用科学记数法表示为 米．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）两个最简二次根式与相加得6，则a+b+c＝ ．
14．（3分）分解因式：2x2﹣8x+8＝ ．
15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为 ．
16．（3分）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 cm．
17．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 个．
18．（3分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，如果AB＝8cm，小圆直径为6cm，那么大圆半径为 cm．
19．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE＝ ．
20．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，DB＝2，则S△ADE：S△ABC＝ ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）先化简，再求代数式（）的值，其中a＝2sin45°tan30°．
22．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）在图①中以线段AB为一腰画一个等腰锐角三角形ABP；
（2）在图②中以线段CD为底画一个等腰直角三角形CDM；
（3）在图③中画等腰钝角三角形EFN．
23．（8分）校文学社在全校范围内随机抽取一部分读者对社刊中最感兴趣的文学栏目进行了投票．每人一张选票，每张选票只能投给一个栏目，经统计无弃权票，根据投票结果绘制的条形统计图如下：
（1）这次参加投票的总人数为 ．
（2）若全校有3000名读者，估计其中对“写作指导”最感兴趣的人数．
（3）在全校3000名读者中，若对某个栏目最感兴趣的人数少于300人将会影响社刊的销售，这个栏目就需要被撤换．请通过计算判断，“新书上架”栏目是否需要被撤换．
24．（8分）菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．
（1）如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；
（2）如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．
25．（10分）某县要修筑一条长为6000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？
26．（10分）如图1，扇形AOB的半径为6，弧长为2π．
（1）求圆心角∠AOB的度数；
（2）如图2，将扇形AOB绕点O逆时针旋转60°，连接AB，BC．
①判断四边形OABC的形状并证明：
②如图3，若∠POQ＝60°，将∠POQ绕点O旋转，与AB，BC分别交于点M，N（点M，N与点A，B，C均不重合），判断MB+NB的值是否为定值．如果是定值请求出；如果不是，请说明理由
27．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求△BCE面积的最大值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学综合测试试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数为相反数．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8 B．a6÷a2＝a3
C．（2ab2）2＝4a2b⁴ D．（a3）2＝a5
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a4•a2＝a6，故本选项不合题意；
B．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
C．（2ab2）2＝4a2b4，正确；
D．（a3）2＝a6，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
4．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：该立体图形主视图的第1列有1个正方形、第2列有1个正方形、第3列有2个正方形，
故选：C．
5．（3分）若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先设出反比例函数解析式，再把（﹣1，2）代入解析式可得k的值，进而得到答案．
【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点（﹣1，2），
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
故选：B．
6．（3分）若不等式组无解，则a的取值范围为（ ）
A．a＞4 B．a≤4 C．0＜a＜4 D．a≥4
【分析】不等式组整理后，根据不等式组无解确定出a的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到a≥4．
故选：D．
7．（3分）一件商品按成本价提高30%后标价，又以8折销售，售价为416元，这件商品卖出后获得利润（ ）元．
A．16 B．18 C．24 D．32
【分析】此题可设原价为x元，提高30%后标价，实际上是按原价的130%标价，又以8折销售是以原价的80%销售，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设原价为x元，根据题意列方程得：
x×（1+30%）×80%＝416
解得x＝400，
416﹣400＝16（元）．
答：这件商品卖出后获得利润16元．
故选：A．
8．（3分）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100）海里的港口B出发．沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）
A．：2 B．：1 C．：2 D．：1
【分析】过C作CD⊥AB于D，设AD＝x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
设AD＝x，
由题意得∠CAD＝45°，∠NBC＝60°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴CD＝AD＝x，
∴AC＝＝x，
在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD＝＝x，
∵AB＝100+100，
∴AD+BD＝x+x＝100+100，
∴（1+）x＝100（1+），
∴x＝100，
即AD＝100海里，
∴AC＝100海里，BC＝200海里，
∵时间一定时速度与路程成正比，
∴客轮与补给船的速度之比为100：200＝：2，
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB边上、DF∥AB，交AC边于点H，EF∥BC，交AC边于点G．则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例即可得到答案．
【解答】解：∵DF∥AB，EF∥BC，
∴四边形EBDF是平行四边形，BE＝DF，EF＝BD，
A、∵EF∥BC，
∴，
故A不符合题意，
B、∵DF∥AB，
∴，
故B不符合题意，
C、∵DF∥AB，
∴，
故C不符合题意，
D、∵DF∥AB，
∴＝，
∴，
∴，
故D符合题意，
故选：D．
10．（3分）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）
A．两车到第3秒时行驶的路程相等
B．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
C．乙前4秒行驶的路程为48米
D．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
【分析】结合速度与时间的变化图象，作出判断即可．
【解答】解：A、由于甲的图象是过原点的直线，所以可得v＝4t（v、t分别表示速度、时间），
将v＝12m/s代入v＝4t得t＝3s，则t＝3s前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，符合题意；
B、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，不符合题意；
C、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×4＝48米，不符合题意；
D、根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，则每秒增加（32÷8）＝4（米/秒），不符合题意，
故选：A．
二．填空题（满分30分，每小题3分）
11．（3分）人的血管首尾相连的长度大约可达96000千米，96000千米用科学记数法表示为 9.6×107 米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：96000千米＝96000000＝9.6×107（米）．
故答案为：9.6×107．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x＜2 ．
【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，2﹣x＞0，
解得，x＜2，
故答案为：x＜2．
13．（3分）两个最简二次根式与相加得6，则a+b+c＝ 11 ．
【分析】两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，根据合并的结果即可得出答案．
【解答】解：由题意得，与是同类二次根式，
∵与相加得6，
∴a+c＝6，b＝5，
则a+b+c＝11．
故答案为：11．
14．（3分）分解因式：2x2﹣8x+8＝ 2（x﹣2）2 ．
【分析】先提公因式2，再用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝2（x2﹣4x+4）
＝2（x﹣2）2．
故答案为2（x﹣2）2．
15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为 9 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，
∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，
∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，
∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，
故答案为：9．
16．（3分）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 （） cm．
【分析】A点滚动到D点其圆心所经过的路线在点B处少走了一段，在点C处又多求了一段弧长，所以A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+＝（cm）．
【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+
＝（cm）．
故答案为：（）．
17．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 4 个．
【分析】根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案．
【解答】解：∵在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，
设黄球有x个，根据题意得出：
∴＝，
解得：x＝4．
故答案为：4．
18．（3分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，如果AB＝8cm，小圆直径为6cm，那么大圆半径为 5 cm．
【分析】连接OA，由切线的性质可知OP⊥AB，由垂径定理可知AP＝PB，在Rt△OAP中，利用勾股定理可求得OA的长．
【解答】解：如图，连接OP，AO，
∵AB是小圆的切线，
∴OP⊥AB，
∵OP过圆心，
∴AP＝BP＝AB＝4cm，
∵小圆直径径为6cm，
∴OP＝3cm，
在Rt△AOP中，由勾股定理可得OA＝＝5（cm），
即大圆的半径为5cm，
故答案为：5．
19．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE＝ 2 ．
【分析】过点E作EF⊥AD于点F，根据矩形性质和角平分线定义证明矩形ABEF是正方形，再根据勾股定理即可求出DE的长．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥AD于点F，
在矩形ABCD中，∠B＝∠BAD＝90°，
∵EA是∠BAD的平分线，
∴∠DAB＝∠EAF＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴AB＝BE，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AB＝BE＝EF＝AF＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝6﹣4＝2，
∴DE＝＝＝2．
故答案为：2．
20．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，DB＝2，则S△ADE：S△ABC＝ 9：25 ．
【分析】由线段的和差，已知AD＝3，DB＝2的长度，求出AB＝5，相似三角形的判定与性质得△ADE∽△ABC，其性质相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求出S△ADE：S△ABC的值为9：25．
【解答】解：如图所示：
∵AD+DB＝AB，AD＝3，DB＝2，
∴AB＝5，
又∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴＝，
故答案为9：25．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）先化简，再求代数式（）的值，其中a＝2sin45°tan30°．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝（﹣）•
＝•
＝，
当a＝2×+2×＝+2时，原式＝＝．
22．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）在图①中以线段AB为一腰画一个等腰锐角三角形ABP；
（2）在图②中以线段CD为底画一个等腰直角三角形CDM；
（3）在图③中画等腰钝角三角形EFN．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可．
（2）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可．
（3）根据等腰钝角三角形的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图①中，△ABP或△ABP′即为所求作．
（2）如图②中，△CDM或△CDM′即为所求作．
（3）如图③中，△EFN即为所求作．
23．（8分）校文学社在全校范围内随机抽取一部分读者对社刊中最感兴趣的文学栏目进行了投票．每人一张选票，每张选票只能投给一个栏目，经统计无弃权票，根据投票结果绘制的条形统计图如下：
（1）这次参加投票的总人数为 500 ．
（2）若全校有3000名读者，估计其中对“写作指导”最感兴趣的人数．
（3）在全校3000名读者中，若对某个栏目最感兴趣的人数少于300人将会影响社刊的销售，这个栏目就需要被撤换．请通过计算判断，“新书上架”栏目是否需要被撤换．
【分析】（1）将统计图中所有数据相加即可得到总人数；
（2）用总人数乘以写作感兴趣的比例即可得到答案；
（3）求出新书上架的人数与300比较即可得到答案．
【解答】解：（1）投票总人数＝76+88+97+42+60+111+26＝500人；
（2）3000×＝360人；
（3）∵3000×＝252＜300
∴这个栏目将被撤换．
24．（8分）菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．
（1）如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；
（2）如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．
【分析】（1）先由菱形的性质得BC＝AD＝6，AD∥BC，再证△AOE∽△COB，即可得出答案；
（2）先证△ABC是等边三角形，得AC＝BC，∠ACB＝60°，再证△ACE≌△BCF（SAS），得CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，然后证∠ECF＝∠ACB＝60°，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝6，AD∥BC，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝AD＝3，
∵AD∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∴＝＝＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB，△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°＝∠B，
∵AE+DE＝AD＝6，BF+DE＝6，
∴AE＝BF，
在△ACE和△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，
∴∠ACE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝60°，
即∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
25．（10分）某县要修筑一条长为6000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？
【分析】（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米．由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲筑路t天，则乙筑路天数为（150﹣2t）天，由题意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米．
依题意，得：，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原分式方程的解，
则2x＝80
答：甲每天筑路80米，乙每天筑路40米；
（2）设甲筑路t天，则乙筑路天数为＝（150﹣2t）天，
依题意：1.5t+0.9（150﹣2t）≤120，
解得：t≥50，
∴甲至少要筑路50天．
26．（10分）如图1，扇形AOB的半径为6，弧长为2π．
（1）求圆心角∠AOB的度数；
（2）如图2，将扇形AOB绕点O逆时针旋转60°，连接AB，BC．
①判断四边形OABC的形状并证明：
②如图3，若∠POQ＝60°，将∠POQ绕点O旋转，与AB，BC分别交于点M，N（点M，N与点A，B，C均不重合），判断MB+NB的值是否为定值．如果是定值请求出；如果不是，请说明理由
【分析】（1）根据弧长公式即可得到答案；
（2）①证明△OAB与△OBC是等边三角形，可得四边形OABC得四边相等，从而证明四边形OABC是菱形；
②证明△OMA≌△ONB得MA＝NB，从而可得MB+NB＝AB，是定值6．
【解答】解：（1）∵扇形AOB的半径为6，弧长为2π．
∴＝2π，
∴n＝60，
∴圆心角∠AOB＝60°；
（2）①四边形OABC是菱形，理由如下：
在扇形AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB，
∵扇形AOB绕点O逆时针旋转60°，
∴△COB是等边三角形，
∴OA＝AB＝BC＝OC，
∴四边形OABC是菱形；
②MB+NB是定值，
由①知△OAB与△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OAB＝∠AOB＝60°，
∵∠POQ＝60°，
∴∠AOB＝∠POQ，
∴∠AOB﹣∠BOM＝∠POQ﹣∠BOM，即∠AOM＝∠BON，
又OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝60°，
∴△OMA≌△ONB（ASA），
∴MA＝NB，
∴MB+NB＝MB+MA＝AB＝6，
∴MB+NB为定值6．
27．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求△BCE面积的最大值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），可得EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，根据S△BEC＝S四边形BOCE﹣S△BOC，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（﹣1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N＝PM＝|m|，PN＝AM＝2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵OC＝OB，
∴OC＝3，
∴c＝3，
∴，
解得：，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，C（0，3）．
（2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，
∴S△BEC＝S四边形BOCE﹣S△BOC＝BF•EF+（OC+EF）•OF﹣•OB•OC
＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）﹣
＝﹣a2﹣a
＝﹣（a+）2+，
∴当a＝﹣时，S△BEC最大，且最大值为．
（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（﹣1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，
①当m≥0时，
∴PA＝PA′，∠APA′＝90°，
如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，
∴∠NPA′+∠MPA＝∠NA′P+∠NPA′＝90°，
∴∠NA′P＝∠NPA，
在△A′NP与△PMA中，
，
∴△A′NP≌△PMA（AAS），
∴A′N＝PM＝m，PN＝AM＝2，
∴A′（m﹣1，m+2），
代入y＝﹣x2﹣2x+3得：m+2＝﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，
解得：m＝1，m＝﹣2（舍去），
②当m＜0时，要使P2A＝P2A2，由图可知A2点与B点重合，
∵∠AP2A2＝90°，
∴MP2＝MA＝2，
∴P2（﹣1，﹣2）．
∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．
2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学综合测试试卷（一）
一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8 B．a6÷a2＝a3
C．（2ab2）2＝4a2b⁴ D．（a3）2＝a5
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若不等式组无解，则a的取值范围为（ ）
A．a＞4 B．a≤4 C．0＜a＜4 D．a≥4
7．（3分）一件商品按成本价提高30%后标价，又以8折销售，售价为416元，这件商品卖出后获得利润（ ）元．
A．16 B．18 C．24 D．32
8．（3分）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100）海里的港口B出发．沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）
A．：2 B．：1 C．：2 D．：1
9．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB边上、DF∥AB，交AC边于点H，EF∥BC，交AC边于点G．则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）
A．两车到第3秒时行驶的路程相等
B．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
C．乙前4秒行驶的路程为48米
D．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
二．填空题（满分30分，每小题3分）
11．（3分）人的血管首尾相连的长度大约可达96000千米，96000千米用科学记数法表示为 米．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）两个最简二次根式与相加得6，则a+b+c＝ ．
14．（3分）分解因式：2x2﹣8x+8＝ ．
15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为 ．
16．（3分）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 cm．
17．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 个．
18．（3分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，如果AB＝8cm，小圆直径为6cm，那么大圆半径为 cm．
19．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE＝ ．
20．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，DB＝2，则S△ADE：S△ABC＝ ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）先化简，再求代数式（）的值，其中a＝2sin45°tan30°．
22．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）在图①中以线段AB为一腰画一个等腰锐角三角形ABP；
（2）在图②中以线段CD为底画一个等腰直角三角形CDM；
（3）在图③中画等腰钝角三角形EFN．
23．（8分）校文学社在全校范围内随机抽取一部分读者对社刊中最感兴趣的文学栏目进行了投票．每人一张选票，每张选票只能投给一个栏目，经统计无弃权票，根据投票结果绘制的条形统计图如下：
（1）这次参加投票的总人数为 ．
（2）若全校有3000名读者，估计其中对“写作指导”最感兴趣的人数．
（3）在全校3000名读者中，若对某个栏目最感兴趣的人数少于300人将会影响社刊的销售，这个栏目就需要被撤换．请通过计算判断，“新书上架”栏目是否需要被撤换．
24．（8分）菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．
（1）如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；
（2）如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．
25．（10分）某县要修筑一条长为6000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？
26．（10分）如图1，扇形AOB的半径为6，弧长为2π．
（1）求圆心角∠AOB的度数；
（2）如图2，将扇形AOB绕点O逆时针旋转60°，连接AB，BC．
①判断四边形OABC的形状并证明：
②如图3，若∠POQ＝60°，将∠POQ绕点O旋转，与AB，BC分别交于点M，N（点M，N与点A，B，C均不重合），判断MB+NB的值是否为定值．如果是定值请求出；如果不是，请说明理由
27．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求△BCE面积的最大值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学综合测试试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数为相反数．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8 B．a6÷a2＝a3
C．（2ab2）2＝4a2b⁴ D．（a3）2＝a5
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a4•a2＝a6，故本选项不合题意；
B．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
C．（2ab2）2＝4a2b4，正确；
D．（a3）2＝a6，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
4．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：该立体图形主视图的第1列有1个正方形、第2列有1个正方形、第3列有2个正方形，
故选：C．
5．（3分）若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先设出反比例函数解析式，再把（﹣1，2）代入解析式可得k的值，进而得到答案．
【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点（﹣1，2），
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
故选：B．
6．（3分）若不等式组无解，则a的取值范围为（ ）
A．a＞4 B．a≤4 C．0＜a＜4 D．a≥4
【分析】不等式组整理后，根据不等式组无解确定出a的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到a≥4．
故选：D．
7．（3分）一件商品按成本价提高30%后标价，又以8折销售，售价为416元，这件商品卖出后获得利润（ ）元．
A．16 B．18 C．24 D．32
【分析】此题可设原价为x元，提高30%后标价，实际上是按原价的130%标价，又以8折销售是以原价的80%销售，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设原价为x元，根据题意列方程得：
x×（1+30%）×80%＝416
解得x＝400，
416﹣400＝16（元）．
答：这件商品卖出后获得利润16元．
故选：A．
8．（3分）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100）海里的港口B出发．沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）
A．：2 B．：1 C．：2 D．：1
【分析】过C作CD⊥AB于D，设AD＝x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
设AD＝x，
由题意得∠CAD＝45°，∠NBC＝60°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴CD＝AD＝x，
∴AC＝＝x，
在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD＝＝x，
∵AB＝100+100，
∴AD+BD＝x+x＝100+100，
∴（1+）x＝100（1+），
∴x＝100，
即AD＝100海里，
∴AC＝100海里，BC＝200海里，
∵时间一定时速度与路程成正比，
∴客轮与补给船的速度之比为100：200＝：2，
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB边上、DF∥AB，交AC边于点H，EF∥BC，交AC边于点G．则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例即可得到答案．
【解答】解：∵DF∥AB，EF∥BC，
∴四边形EBDF是平行四边形，BE＝DF，EF＝BD，
A、∵EF∥BC，
∴，
故A不符合题意，
B、∵DF∥AB，
∴，
故B不符合题意，
C、∵DF∥AB，
∴，
故C不符合题意，
D、∵DF∥AB，
∴＝，
∴，
∴，
故D符合题意，
故选：D．
10．（3分）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）
A．两车到第3秒时行驶的路程相等
B．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
C．乙前4秒行驶的路程为48米
D．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
【分析】结合速度与时间的变化图象，作出判断即可．
【解答】解：A、由于甲的图象是过原点的直线，所以可得v＝4t（v、t分别表示速度、时间），
将v＝12m/s代入v＝4t得t＝3s，则t＝3s前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，符合题意；
B、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，不符合题意；
C、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×4＝48米，不符合题意；
D、根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，则每秒增加（32÷8）＝4（米/秒），不符合题意，
故选：A．
二．填空题（满分30分，每小题3分）
11．（3分）人的血管首尾相连的长度大约可达96000千米，96000千米用科学记数法表示为 9.6×107 米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：96000千米＝96000000＝9.6×107（米）．
故答案为：9.6×107．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x＜2 ．
【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，2﹣x＞0，
解得，x＜2，
故答案为：x＜2．
13．（3分）两个最简二次根式与相加得6，则a+b+c＝ 11 ．
【分析】两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，根据合并的结果即可得出答案．
【解答】解：由题意得，与是同类二次根式，
∵与相加得6，
∴a+c＝6，b＝5，
则a+b+c＝11．
故答案为：11．
14．（3分）分解因式：2x2﹣8x+8＝ 2（x﹣2）2 ．
【分析】先提公因式2，再用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝2（x2﹣4x+4）
＝2（x﹣2）2．
故答案为2（x﹣2）2．
15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为 9 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，
∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，
∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，
∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，
故答案为：9．
16．（3分）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 （） cm．
【分析】A点滚动到D点其圆心所经过的路线在点B处少走了一段，在点C处又多求了一段弧长，所以A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+＝（cm）．
【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+
＝（cm）．
故答案为：（）．
17．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 4 个．
【分析】根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案．
【解答】解：∵在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，
设黄球有x个，根据题意得出：
∴＝，
解得：x＝4．
故答案为：4．
18．（3分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，如果AB＝8cm，小圆直径为6cm，那么大圆半径为 5 cm．
【分析】连接OA，由切线的性质可知OP⊥AB，由垂径定理可知AP＝PB，在Rt△OAP中，利用勾股定理可求得OA的长．
【解答】解：如图，连接OP，AO，
∵AB是小圆的切线，
∴OP⊥AB，
∵OP过圆心，
∴AP＝BP＝AB＝4cm，
∵小圆直径径为6cm，
∴OP＝3cm，
在Rt△AOP中，由勾股定理可得OA＝＝5（cm），
即大圆的半径为5cm，
故答案为：5．
19．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE＝ 2 ．
【分析】过点E作EF⊥AD于点F，根据矩形性质和角平分线定义证明矩形ABEF是正方形，再根据勾股定理即可求出DE的长．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥AD于点F，
在矩形ABCD中，∠B＝∠BAD＝90°，
∵EA是∠BAD的平分线，
∴∠DAB＝∠EAF＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴AB＝BE，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AB＝BE＝EF＝AF＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝6﹣4＝2，
∴DE＝＝＝2．
故答案为：2．
20．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，DB＝2，则S△ADE：S△ABC＝ 9：25 ．
【分析】由线段的和差，已知AD＝3，DB＝2的长度，求出AB＝5，相似三角形的判定与性质得△ADE∽△ABC，其性质相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求出S△ADE：S△ABC的值为9：25．
【解答】解：如图所示：
∵AD+DB＝AB，AD＝3，DB＝2，
∴AB＝5，
又∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴＝，
故答案为9：25．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）先化简，再求代数式（）的值，其中a＝2sin45°tan30°．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝（﹣）•
＝•
＝，
当a＝2×+2×＝+2时，原式＝＝．
22．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）在图①中以线段AB为一腰画一个等腰锐角三角形ABP；
（2）在图②中以线段CD为底画一个等腰直角三角形CDM；
（3）在图③中画等腰钝角三角形EFN．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可．
（2）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可．
（3）根据等腰钝角三角形的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图①中，△ABP或△ABP′即为所求作．
（2）如图②中，△CDM或△CDM′即为所求作．
（3）如图③中，△EFN即为所求作．
23．（8分）校文学社在全校范围内随机抽取一部分读者对社刊中最感兴趣的文学栏目进行了投票．每人一张选票，每张选票只能投给一个栏目，经统计无弃权票，根据投票结果绘制的条形统计图如下：
（1）这次参加投票的总人数为 500 ．
（2）若全校有3000名读者，估计其中对“写作指导”最感兴趣的人数．
（3）在全校3000名读者中，若对某个栏目最感兴趣的人数少于300人将会影响社刊的销售，这个栏目就需要被撤换．请通过计算判断，“新书上架”栏目是否需要被撤换．
【分析】（1）将统计图中所有数据相加即可得到总人数；
（2）用总人数乘以写作感兴趣的比例即可得到答案；
（3）求出新书上架的人数与300比较即可得到答案．
【解答】解：（1）投票总人数＝76+88+97+42+60+111+26＝500人；
（2）3000×＝360人；
（3）∵3000×＝252＜300
∴这个栏目将被撤换．
24．（8分）菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．
（1）如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；
（2）如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．
【分析】（1）先由菱形的性质得BC＝AD＝6，AD∥BC，再证△AOE∽△COB，即可得出答案；
（2）先证△ABC是等边三角形，得AC＝BC，∠ACB＝60°，再证△ACE≌△BCF（SAS），得CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，然后证∠ECF＝∠ACB＝60°，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝6，AD∥BC，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝AD＝3，
∵AD∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∴＝＝＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB，△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°＝∠B，
∵AE+DE＝AD＝6，BF+DE＝6，
∴AE＝BF，
在△ACE和△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，
∴∠ACE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝60°，
即∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
25．（10分）某县要修筑一条长为6000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？
【分析】（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米．由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲筑路t天，则乙筑路天数为（150﹣2t）天，由题意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米．
依题意，得：，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原分式方程的解，
则2x＝80
答：甲每天筑路80米，乙每天筑路40米；
（2）设甲筑路t天，则乙筑路天数为＝（150﹣2t）天，
依题意：1.5t+0.9（150﹣2t）≤120，
解得：t≥50，
∴甲至少要筑路50天．
26．（10分）如图1，扇形AOB的半径为6，弧长为2π．
（1）求圆心角∠AOB的度数；
（2）如图2，将扇形AOB绕点O逆时针旋转60°，连接AB，BC．
①判断四边形OABC的形状并证明：
②如图3，若∠POQ＝60°，将∠POQ绕点O旋转，与AB，BC分别交于点M，N（点M，N与点A，B，C均不重合），判断MB+NB的值是否为定值．如果是定值请求出；如果不是，请说明理由
【分析】（1）根据弧长公式即可得到答案；
（2）①证明△OAB与△OBC是等边三角形，可得四边形OABC得四边相等，从而证明四边形OABC是菱形；
②证明△OMA≌△ONB得MA＝NB，从而可得MB+NB＝AB，是定值6．
【解答】解：（1）∵扇形AOB的半径为6，弧长为2π．
∴＝2π，
∴n＝60，
∴圆心角∠AOB＝60°；
（2）①四边形OABC是菱形，理由如下：
在扇形AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB，
∵扇形AOB绕点O逆时针旋转60°，
∴△COB是等边三角形，
∴OA＝AB＝BC＝OC，
∴四边形OABC是菱形；
②MB+NB是定值，
由①知△OAB与△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OAB＝∠AOB＝60°，
∵∠POQ＝60°，
∴∠AOB＝∠POQ，
∴∠AOB﹣∠BOM＝∠POQ﹣∠BOM，即∠AOM＝∠BON，
又OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝60°，
∴△OMA≌△ONB（ASA），
∴MA＝NB，
∴MB+NB＝MB+MA＝AB＝6，
∴MB+NB为定值6．
27．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求△BCE面积的最大值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），可得EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，根据S△BEC＝S四边形BOCE﹣S△BOC，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（﹣1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N＝PM＝|m|，PN＝AM＝2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵OC＝OB，
∴OC＝3，
∴c＝3，
∴，
解得：，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，C（0，3）．
（2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，
∴S△BEC＝S四边形BOCE﹣S△BOC＝BF•EF+（OC+EF）•OF﹣•OB•OC
＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）﹣
＝﹣a2﹣a
＝﹣（a+）2+，
∴当a＝﹣时，S△BEC最大，且最大值为．
（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（﹣1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，
①当m≥0时，
∴PA＝PA′，∠APA′＝90°，
如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，
∴∠NPA′+∠MPA＝∠NA′P+∠NPA′＝90°，
∴∠NA′P＝∠NPA，
在△A′NP与△PMA中，
，
∴△A′NP≌△PMA（AAS），
∴A′N＝PM＝m，PN＝AM＝2，
∴A′（m﹣1，m+2），
代入y＝﹣x2﹣2x+3得：m+2＝﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，
解得：m＝1，m＝﹣2（舍去），
②当m＜0时，要使P2A＝P2A2，由图可知A2点与B点重合，
∵∠AP2A2＝90°，
∴MP2＝MA＝2，
∴P2（﹣1，﹣2）．
∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．
相关试卷
2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷： 这是一份2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷： 这是一份2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省哈尔滨市中考冲刺数学模拟试卷（一）： 这是一份2023年黑龙江省哈尔滨市中考冲刺数学模拟试卷（一），共6页。
