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2021年江苏省常州市溧阳市中考数学一模试卷
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这是一份2021年江苏省常州市溧阳市中考数学一模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省常州市溧阳市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在毎小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（2分）下列计算结果正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝a9 B．a2+a3＝a5 C．a2•a3＝a6 D．a5÷a3＝a2
3．（2分）下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．82.5°
5．（2分）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠B＝34°，则∠APD的度数是（ ）
A．66° B．76° C．75° D．67°
6．（2分）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（ ）
A．4×1013千米 B．4×1012千米
C．9.5×1013千米 D．9.5×1012千米
7．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，沿图中虚线EF翻折，使得点B落在AC上的点D处，则∠1+∠2等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．110°
8．（2分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
二.填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）3﹣|﹣2|＝ ．
10．（2分）＝ ．
11．（2分）分解因式：x3﹣4xy2＝ ．
12．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
13．（2分）已知关于x的方程2x2﹣mx﹣6＝0的一个根是2，则m＝ ．
14．（2分）用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是 ．
15．（2分）在某公司的面试中，李明的得分情况为：个人形象85分，工作能力90分，交际能力80分，已知个人形象、工作能力和交际能力的权重为1：2：2，则李明的最终成绩是 ．
16．（2分）如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则tan∠BAC的值为 ．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D是BC上一点，∠ADC＝60°，若BD＝DC，则∠ACD＝ ．
18．（2分）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与y＝（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线AC∥y轴，且BD⊥AC．已知点A的横坐标为4，当四边形ABCD是正方形时，请写出m、n之间的数量关系 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）计算：﹣2tan45°+（1+π）0．
20．（8分）解方程和不等式组：
（1）；
（2）．
21．（8分）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
22．（8分）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表、图）．
血型统计表：
血型
A
B
AB
O
人数
10
5
血型统计图：
（1）本次随机抽取献血者人数为 人，图中m＝ ；
（2）补全表中的数据；
（3）若这次活动中该单位有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？
23．（8分）四张扑克牌的点数分别是2、3、4、8，将它们洗匀后背面朝上放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌，则这张牌的点数是偶数的概率是 ；
（2）从中先随机抽取一张牌，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率．
24．（8分）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．
（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；
（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．
25．（8分）如图，将△ABO放在平面直角坐标系中，AB＝OB＝2，AB⊥OB，反比例函数y＝经过点A．在反比例函数的图象上取一点C，使得AC＝2AO，过点C作AB的垂线，交AB于点D，连接OD，并延长OD交AC于点E．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当点E刚好是AC的中点时，求∠DOB的度数．
26．（10分）如图，在直角坐标系中，点A（﹣1，0），C（5，0），BC⊥AC，∠BAC＝30°．
（1）求出点B的坐标；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△A1B1C，旋转后，
①当点A1落在y轴上时，直接写出此时点B1的坐标；
②当直线A1B1经过点B时，求直线A1B1的函数表达式．
27．（10分）在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．
（1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是 ；
（2）如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD＝AB，点E、F分别在AC、BC边上，满足△BDF和△EDF为“共边全等”，求CF的长；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+12分别与直线y＝x、x轴相交于A、B两点，点C是OB的中点，P、Q在△AOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PCB“共边全等”时，请直接写出点Q的坐标．
28．（10分）如图所示，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）当a＝﹣时，
①求点A、B、C的坐标；
②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；
（2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a的值．
2021年江苏省常州市溧阳市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在毎小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故选：B．
2．（2分）下列计算结果正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝a9 B．a2+a3＝a5 C．a2•a3＝a6 D．a5÷a3＝a2
【分析】直接根据同底数幂的乘除运算法则计算判断即可．
【解答】解：A．（﹣a3）2＝a6，计算错误；
B．a2+a3，不是同类项，不能合并；
C．a2•a3＝a5，计算错误；
D．a5÷a3＝a2，计算正确．
故选：D．
3．（2分）下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据圆锥的特征进行判断即可，圆锥有2个面，一个曲面和一个平面．
【解答】解：A．属于长方体（四棱柱），不合题意；
B．属于三棱锥，不合题意；
C．属于圆柱，不合题意；
D．属于圆锥，符合题意；
故选：D．
4．（2分）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．82.5°
【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案．
【解答】解：作直线l平行于直角三角板的斜边，
可得：∠2＝∠3＝45°，∠5＝∠4＝30°，
故∠1的度数是：45°+30°＝75°．
故选：C．
5．（2分）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠B＝34°，则∠APD的度数是（ ）
A．66° B．76° C．75° D．67°
【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A＝∠D＝42°，再根据三角形的外角性质即可得出结果．
【解答】解：∵∠D＝∠A＝42°，
∴∠APD＝∠B+∠D＝34°+42°＝76°，
故选：B．
6．（2分）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（ ）
A．4×1013千米 B．4×1012千米
C．9.5×1013千米 D．9.5×1012千米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：依题意得：4.2光年＝4.2×9.5×1012≈4×1013．
故选：A．
7．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，沿图中虚线EF翻折，使得点B落在AC上的点D处，则∠1+∠2等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．110°
【分析】由∠B＝70°得∠BEF+∠BFE＝110°，再根据翻折知∠BEF＝∠DEF，∠BFE＝∠DFE，即可求出∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠B＝70°，
∴∠BEF+∠BFE＝110°，
∵翻折，
∴∠BEF＝∠DEF，∠BFE＝∠DFE，
∴∠BED+∠BFD＝2（∠BEF+∠BFE）＝2×110°＝220°，
∴∠1+∠2＝180°×2﹣220°＝140°，
故选：C．
8．（2分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
【分析】此题可通过证△EAC≌△OAB，得AE＝OA，从而求出EA的长；
△EAC和△OAB中，已知的条件只有AB＝AC；由AB＝BD，得＝，可得∠AED＝∠AOB；
四边形ABDE内角于⊙O，则∠EAB+∠D＝180°，即∠EAC＝180°﹣60°﹣∠D＝120°﹣∠D；而∠ECA＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝120°﹣∠BCD，上述两个式子中，由BD＝AB＝BC，易证得∠D＝∠BCD，则∠ECA＝∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而两个等腰三角形的顶角相等，且底边AC＝AB，易证得两个三角形全等，由此得解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝BD＝a，∠CAB＝∠ACB＝60°；
∵AB＝BD，
∴，
∴∠AED＝∠AOB；
∵BC＝AB＝BD，
∴∠D＝∠BCD；
∵四边形EABD内接于⊙O，
∴∠EAB+∠D＝180°，即∠EAC+60°+∠D＝180°；
又∵∠ECA+60°+∠BCD＝180°，
∴∠ECA＝∠EAC，即△EAC是等腰三角形；
在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC＝∠AOB，
∵AC＝AB，
∴△EAC≌△OAB；
∴AE＝OA＝1．
故选：B．
二.填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）3﹣|﹣2|＝ 1 ．
【分析】先算|﹣2|，再求3与它的差得结果．
【解答】解：3﹣|﹣2|
＝3﹣2
＝1
故答案为：1
10．（2分）＝ 3 ．
【分析】根据二次根式的加减运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝2+，
＝（2+1），
＝3，
故答案为：3．
11．（2分）分解因式：x3﹣4xy2＝ x（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣4y2）＝x（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：x（x+2y）（x﹣2y）
12．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
13．（2分）已知关于x的方程2x2﹣mx﹣6＝0的一个根是2，则m＝ 1 ．
【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝2，代入原方程，然后解出m的值即可．
【解答】解：由题意得：x＝2，
将x＝2，代入方程2x2﹣mx﹣6＝0得：
2×22﹣2m﹣6＝0，
解得：m＝1．
故答案为：1．
14．（2分）用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是 1cm ．
【分析】首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求得半径．
【解答】解：圆锥的底面周长是：2πcm，
设圆锥的底面半径是r，则2πr＝2π，
解得：r＝1．
故答案是：1cm．
15．（2分）在某公司的面试中，李明的得分情况为：个人形象85分，工作能力90分，交际能力80分，已知个人形象、工作能力和交际能力的权重为1：2：2，则李明的最终成绩是 85分 ．
【分析】将李明的各项成绩分别乘以其权，再除以权的和，求出加权平均数即可．
【解答】解：根据题意得：
＝85，
故答案为：85分．
16．（2分）如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则tan∠BAC的值为 ．
【分析】根据已知图形去添加合适得辅助线，从而得出∠CHA＝90°，再求解即可．
【解答】解：连接CH，由图可知∠CHA＝90°，
设小方格的边长为a，则AH＝＝3a，CH＝＝4a，
故tan∠BAC＝＝＝，
故答案为：．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D是BC上一点，∠ADC＝60°，若BD＝DC，则∠ACD＝ 75° ．
【分析】作CE⊥AD于点E，连结BE，作DF⊥BE于点F，则∠DCE＝30°，CE＝DE，根据三角形的外角定理得到∠ABE＝∠EAB，从而得出BD＝DE，BE＝AE＝DE＝CE，根据等腰直角三角形的性质可求出∠ACE＝45°，最后得到∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝45°+30°＝75°．
【解答】解：作CE⊥AD于点E，连结BE，作DF⊥BE于点F，
设DE＝a，
在Rt△CDE中，∠EDC＝60°，
∴∠ECD＝30°，
∴CD＝2DE＝2a，
∴CE＝＝a，
∵CD＝2BD，
∴BD＝DE＝a，
∴∠DBE＝∠DEB，
∵∠ADC＝∠DBE+∠DEB＝60°，
∴∠DBE＝∠DEB＝30°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBE＝15°，∠EAB＝∠ADC﹣∠ABD＝15°，
∴∠ABE＝∠EAB＝15°，
∴BE＝AE，
在Rt△BDF中，BD＝a，∠DBE＝30°，
∴DF＝，
∴BF＝＝a，
∵BD＝DE，DF⊥BE，
∴BE＝2BF＝a，
∴AE＝BE＝a＝CE，
∴∠ACE＝∠CAE＝（180°﹣90°）＝45°，
∴∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝45°+30°＝75°，
故答案为：75°．
18．（2分）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与y＝（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线AC∥y轴，且BD⊥AC．已知点A的横坐标为4，当四边形ABCD是正方形时，请写出m、n之间的数量关系 m+n＝32 ．
【分析】设AC＝BD＝2t（t≠0），先确定出点A的坐标为（4，），C（4，），进而得出点D的坐标为（4﹣t，+t），代入y＝求得t＝4﹣，即可得到点C的坐标为（4，8﹣），从而得到8﹣＝，整理得到m+n＝32．
【解答】解：当四边形ABCD为正方形时，设AC＝BD＝2t（t≠0）．
∵点A的横坐标为4，
∴点A的坐标为（4，），C（4，），
∴点D的坐标为（4﹣t，+t），
∵点D在反比例函数y＝的图象上，
∴（4﹣t）（+t）＝m，化简得：t＝4﹣，
∴点C的纵坐标为+2t＝+2（4﹣）＝8﹣，
∴点C的坐标为（4，8﹣），
∴8﹣＝，整理，得：m+n＝32．
∴四边形ABCD是正方形时，m+n＝32，
故答案为m+n＝32．
三、解答题（本大题共10小题，共84分请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）计算：﹣2tan45°+（1+π）0．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、算术平方根分别化简得出答案．
【解答】解原式＝2﹣2×1+1
＝2﹣2+1
＝1．
20．（8分）解方程和不等式组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）方程两边都乘以（x﹣2）（x﹣3）得：x﹣3＝2（x﹣2），
去括号得：x﹣3＝2x﹣4，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣2）（x﹣3）≠0，
∴x＝1是原方程的解；
（2），
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜﹣，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜﹣．
21．（8分）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
【分析】（1）在证明△BEC≌△DEC时，根据题意知，运用SAS公理就行；
（2）根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC＝∠DEC＝∠BED，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得∠EFD＝∠BEC+∠CAD．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°．
∴在△BEC与△DEC中，
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED．
∵∠BED＝120°，∴∠BEC＝60°＝∠AEF．
∴∠EFD＝60°+45°＝105°．
22．（8分）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表、图）．
血型统计表：
血型
A
B
AB
O
人数
12
10
5
23
血型统计图：
（1）本次随机抽取献血者人数为 50 人，图中m＝ 20 ；
（2）补全表中的数据；
（3）若这次活动中该单位有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？
【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；
（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；
（3）用总人数乘以样本中A型血人数所占比例．
【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%＝50（人），
所以m＝×100＝20；
故答案为50，20；
（2）O型献血的人数为46%×50＝23（人），
A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23＝12（人），
血型
A
B
AB
O
人数
12
10
5
23
故答案为12，23；
（3）1300××100%＝312（人），
答：估计有312人是A型血．
23．（8分）四张扑克牌的点数分别是2、3、4、8，将它们洗匀后背面朝上放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌，则这张牌的点数是偶数的概率是 ；
（2）从中先随机抽取一张牌，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出这两张牌的点数都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从中随机抽取一张牌，这张牌的点数是偶数的概率＝；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中这两张牌的点数都是偶数的结果数为6，
所以这两张牌的点数都是偶数的概率＝＝．
24．（8分）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．
（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；
（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．
【分析】（1）用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合适的等量关系．本问中两个等量关系是：1支钢笔的价钱+3本笔记本的价钱＝18，2支钢笔的价钱+5本笔记本的价钱＝31，根据这两个等量关系可以列出方程组．
（2）本问可以列出一元一次不等式组解决．用笔记本本数＝48﹣钢笔支数代入下列不等关系，购买钢笔钱数+购买笔记本钱数≤200，笔记本数≥钢笔数，可以列出一元一次不等式组，求出其解集，再根据笔记本数，钢笔数必须是整数，确定购买方案．
【解答】解：（1）设每支钢笔x元，每本笔记本y元．
依题意得：，
解得：，
答：每支钢笔3元，每本笔记本5元．
（2）设买a支钢笔，则买笔记本（48﹣a）本，
依题意得：，
解得：20≤a≤24，
∴一共有5种方案．
方案一：购买钢笔20支，则购买笔记本28本；
方案二：购买钢笔21支，则购买笔记本27本；
方案三：购买钢笔22支，则购买笔记本26本；
方案四：购买钢笔23支，则购买笔记本25本；
方案五：购买钢笔24支，则购买笔记本24本．
25．（8分）如图，将△ABO放在平面直角坐标系中，AB＝OB＝2，AB⊥OB，反比例函数y＝经过点A．在反比例函数的图象上取一点C，使得AC＝2AO，过点C作AB的垂线，交AB于点D，连接OD，并延长OD交AC于点E．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当点E刚好是AC的中点时，求∠DOB的度数．
【分析】（1）确定点A的坐标，再代入确定k的值即可；
（2）利用直角三角形、等腰三角形的性质，得出∠DOB＝∠AOB即可．
【解答】解：（1）∵AB＝OB＝2，
∴A（2，2），
∵反比例函数y＝过点A，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）∵CD⊥AB，AB⊥OB，
∴CD∥OB，
在Rt△ADC中，点C是AC的中点，
∴DE＝AE＝CE＝AC，
∵AC＝2OA，
∴OA＝AE，
∴∠AOE＝∠AEO，∠EDC＝∠ECD，
∴∠AOE＝∠AEO＝2∠EDC＝2∠DOB，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AOD+∠DOB＝45°
∴∠DOB＝∠AOB＝×45°＝15°．
26．（10分）如图，在直角坐标系中，点A（﹣1，0），C（5，0），BC⊥AC，∠BAC＝30°．
（1）求出点B的坐标；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△A1B1C，旋转后，
①当点A1落在y轴上时，直接写出此时点B1的坐标；
②当直线A1B1经过点B时，求直线A1B1的函数表达式．
【分析】（1）在Rt△ABC中，BC＝ACtan∠BAC＝6×＝2，即可求解；
（2）①证明∠A1CO＝∠CB1H，则sin∠A1CO＝sin∠CB1H，进而求解，当A1落在y轴负半轴时，同理可解；
②如图2，当直线A1B1经过点B时，则△BB1C为等边三角形，得到∠BCH＝30°，进而求解．
【解答】解：（1）由点A、C的坐标得，AC＝5+1＝6，
在Rt△ABC中，BC＝ACtan∠BAC＝6×＝2，
故点B的坐标为（5，2）；
（2）①当A1落在y轴正半轴时，
如图1，过点B1作B1H⊥x轴于点H，
∵∠A1CO+∠B1CH＝90°，∠B1CH+∠CB1H＝90°，
∴∠A1CO＝∠CB1H，
∴sin∠A1CO＝sin∠CB1H，
∴，
即，解得B1H＝，
则CH＝＝＝，
故点B1的坐标为（5+，）；
当A1落在y轴负半轴时，
同理可得，点B1的坐标为（5﹣，）；
综上，点B1的坐标为（5+，）或（5﹣，）；
②如图2，当直线A1B1经过点B时，则BC＝B1C，
而∠AB1C＝∠ABC＝60°，
故△BB1C为等边三角形，
延长A1B1交x轴于点H，
则∠BB1C＝∠B1CH+∠B1HC＝30°+∠B1HC＝60°，
∴∠BCH＝30°，
而直线A1B1过点B（5，2），
故直线A1B1的表达式为y＝﹣（x﹣5）+2＝﹣x+．
27．（10分）在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．
（1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是 ③ ；
（2）如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD＝AB，点E、F分别在AC、BC边上，满足△BDF和△EDF为“共边全等”，求CF的长；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+12分别与直线y＝x、x轴相交于A、B两点，点C是OB的中点，P、Q在△AOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PCB“共边全等”时，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）由于第③个图不符合共边要求，所以图③即为答案；
（2）DF为两个全等三角形的公共边，由于F点在BC边上，E在AC边上，两个三角形的位置可以如图②，在公共边异侧，构成一个轴对称图形，也可以构成一个平行四边形（将图③的两条最长边重合形成），分两类讨论，画出图形，按照图②构图，会得到一个一线三等角模型，利用相似，列出方程来解决，按照平行四边形构图，直接得到△ADE为等边三角形，计算边长即可求得；
（3）由题目要求，可以知道两个全等三角形的公共边为PB边，由于要构成△PCB，所以P点只能在OA和OB边上，当P在OA边上，两个三角形可以在PB同侧，也可以在PB异侧，当在PB异侧构图时，可以得到图3和图4，在图3中，当在PB同侧构图时，可以得到图6，当P在OB边上时，Q只能落在OA上，得到图7，利用已知条件，解三角形，即可求出Q点坐标．
【解答】解：（1）①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件，
∴答案是③；
（2）①如图1，当△BDF≌△EFD，且是共边全等时，
∠BFD＝∠EDF，
∴DE∥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD＝，
∴DE＝AE＝BF＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝4，
②如图2，当△BDF≌△EDF，且是共边全等时，
BD＝DE＝6﹣AD＝4，
∠DEF＝∠B＝60°，EF＝BF，
∴∠AED+∠FEC＝120°，
又∠AED+∠EDA＝120°，
∴∠FEC＝∠EDA，
又∠C＝∠A＝60°，
∴△FEC∽△EDA，
∴∴，
设CE＝a，则EF＝2a，
∴，
解得a＝，
∴，EF＝，
∴CF＝6﹣（10﹣2）＝2﹣4，
综上所述，CF＝4或；
（3）联立，解得，
∴A（3，3），
令y＝﹣3x+12＝0，得x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∵C为OB中点，
∴OC＝2，
∴C（2，0），
由题可得，P点只能在边OA和OB上，
①P在OA上时，如图3，△PBC≌△BPQ，
∴∠CPB＝∠QBP，CP＝QB，
∴CP∥QB，
∴四边形PCBQ为平行四边形，
∵C为OB中点，
∴P为OB中点，
又PQ∥OB，
∴Q为AB中点，
∴Q（），
②当P在OA边上，如图4，△PBC≌△PBQ，
∴BQ＝BC＝2，
如图5，过A作AD⊥OB于D，则AD＝3，OD＝3，
∴BD＝OB﹣OB＝1，
∴tan∠ABO＝，
过Q作QE⊥OB于E，
∵tan∠ABO＝，
∴设BE＝a，则QE＝3a，
∵BE2+QE2＝QB2，
∴a＝，
∴，
OE＝4﹣a＝4，
∴，
③当P在OA边上，Q在OA边上时，如图6，△PBQ≌BPC，
∴PA＝BC＝2，OP＝PB＝4，
过P作PF⊥OB于F，
∵∠AOB＝45°，OP＝4，
∴PF＝OP＝2，
∴，
设Q（b，b），
∵PQ＝2，
∴，
∴，
∴，
④当P在OB上，Q在OA上时，△PBC≌BPQ，如图7，
∴S△PBC＝S△BPQ，
过C，Q分别作AB得垂线，垂足分别为M，N，
∴，CM∥QN，
∴CM＝QN，
∴四边形CMNQ是平行四边形，
∵C为OB中点，
∴Q为AO中点，
∴Q（），
综上所述，Q（）或（）或（）或（）．
28．（10分）如图所示，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）当a＝﹣时，
①求点A、B、C的坐标；
②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；
（2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a的值．
【分析】（1）①当a＝﹣时，函数的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），即可求解；
②证明△PFM≌△OEP（AAS），则PE＝MF，则﹣（x+1）（x﹣5）＝x﹣2，解得x＝﹣或4，即可求解；
（2）当四边形OBDC是圆的内接四边形时，则BC的中点为该圆的圆心，故OQ＝DQ，即可求解．
【解答】解：对于y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0），令y＝a（x+1）（x﹣5）＝0，解得x＝5或﹣1，令x＝0，则y＝﹣5a，
故点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（﹣1，0）、（0，﹣5a），
当x＝2时，y＝a（x+1）（x﹣5）＝﹣9a，顶点的坐标为（2，﹣9a）．
（1）①当a＝﹣时，函数的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），
则点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（﹣1，0）、（0，2）；
②过点P作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点F，交x轴于点E，
设点P的坐标为（x，﹣（x+1）（x﹣5）），
∵∠MPO＝90°，
∴∠MPF+∠OPE＝90°，
∵∠OPE+∠POE＝90°，
∴∠POE＝∠MPF，
∵∠PFM＝∠OEP＝90°，PM＝PO，
∴△PFM≌△OEP（AAS），
∴PE＝MF，
则﹣（x+1）（x﹣5）＝x﹣2，解得x＝﹣或4，
故点P的坐标为（﹣，﹣）或（4，2）；
（2）点B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣5a），顶点D的坐标为（2，﹣9a）．
当四边形OBDC是圆的内接四边形时，则BC的中点为该圆的圆心，
设BC的中点为点Q，由中点坐标公式得，点Q（，﹣a），
则OQ＝DQ，
即（）2+（﹣）2＝（2﹣）2+（﹣9a+a）2，
解得a＝±．
2021年江苏省常州市溧阳市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在毎小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（2分）下列计算结果正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝a9 B．a2+a3＝a5 C．a2•a3＝a6 D．a5÷a3＝a2
3．（2分）下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．82.5°
5．（2分）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠B＝34°，则∠APD的度数是（ ）
A．66° B．76° C．75° D．67°
6．（2分）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（ ）
A．4×1013千米 B．4×1012千米
C．9.5×1013千米 D．9.5×1012千米
7．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，沿图中虚线EF翻折，使得点B落在AC上的点D处，则∠1+∠2等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．110°
8．（2分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
二.填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）3﹣|﹣2|＝ ．
10．（2分）＝ ．
11．（2分）分解因式：x3﹣4xy2＝ ．
12．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
13．（2分）已知关于x的方程2x2﹣mx﹣6＝0的一个根是2，则m＝ ．
14．（2分）用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是 ．
15．（2分）在某公司的面试中，李明的得分情况为：个人形象85分，工作能力90分，交际能力80分，已知个人形象、工作能力和交际能力的权重为1：2：2，则李明的最终成绩是 ．
16．（2分）如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则tan∠BAC的值为 ．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D是BC上一点，∠ADC＝60°，若BD＝DC，则∠ACD＝ ．
18．（2分）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与y＝（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线AC∥y轴，且BD⊥AC．已知点A的横坐标为4，当四边形ABCD是正方形时，请写出m、n之间的数量关系 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）计算：﹣2tan45°+（1+π）0．
20．（8分）解方程和不等式组：
（1）；
（2）．
21．（8分）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
22．（8分）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表、图）．
血型统计表：
血型
A
B
AB
O
人数
10
5
血型统计图：
（1）本次随机抽取献血者人数为 人，图中m＝ ；
（2）补全表中的数据；
（3）若这次活动中该单位有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？
23．（8分）四张扑克牌的点数分别是2、3、4、8，将它们洗匀后背面朝上放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌，则这张牌的点数是偶数的概率是 ；
（2）从中先随机抽取一张牌，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率．
24．（8分）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．
（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；
（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．
25．（8分）如图，将△ABO放在平面直角坐标系中，AB＝OB＝2，AB⊥OB，反比例函数y＝经过点A．在反比例函数的图象上取一点C，使得AC＝2AO，过点C作AB的垂线，交AB于点D，连接OD，并延长OD交AC于点E．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当点E刚好是AC的中点时，求∠DOB的度数．
26．（10分）如图，在直角坐标系中，点A（﹣1，0），C（5，0），BC⊥AC，∠BAC＝30°．
（1）求出点B的坐标；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△A1B1C，旋转后，
①当点A1落在y轴上时，直接写出此时点B1的坐标；
②当直线A1B1经过点B时，求直线A1B1的函数表达式．
27．（10分）在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．
（1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是 ；
（2）如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD＝AB，点E、F分别在AC、BC边上，满足△BDF和△EDF为“共边全等”，求CF的长；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+12分别与直线y＝x、x轴相交于A、B两点，点C是OB的中点，P、Q在△AOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PCB“共边全等”时，请直接写出点Q的坐标．
28．（10分）如图所示，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）当a＝﹣时，
①求点A、B、C的坐标；
②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；
（2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a的值．
2021年江苏省常州市溧阳市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在毎小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故选：B．
2．（2分）下列计算结果正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝a9 B．a2+a3＝a5 C．a2•a3＝a6 D．a5÷a3＝a2
【分析】直接根据同底数幂的乘除运算法则计算判断即可．
【解答】解：A．（﹣a3）2＝a6，计算错误；
B．a2+a3，不是同类项，不能合并；
C．a2•a3＝a5，计算错误；
D．a5÷a3＝a2，计算正确．
故选：D．
3．（2分）下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据圆锥的特征进行判断即可，圆锥有2个面，一个曲面和一个平面．
【解答】解：A．属于长方体（四棱柱），不合题意；
B．属于三棱锥，不合题意；
C．属于圆柱，不合题意；
D．属于圆锥，符合题意；
故选：D．
4．（2分）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．82.5°
【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案．
【解答】解：作直线l平行于直角三角板的斜边，
可得：∠2＝∠3＝45°，∠5＝∠4＝30°，
故∠1的度数是：45°+30°＝75°．
故选：C．
5．（2分）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠B＝34°，则∠APD的度数是（ ）
A．66° B．76° C．75° D．67°
【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A＝∠D＝42°，再根据三角形的外角性质即可得出结果．
【解答】解：∵∠D＝∠A＝42°，
∴∠APD＝∠B+∠D＝34°+42°＝76°，
故选：B．
6．（2分）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（ ）
A．4×1013千米 B．4×1012千米
C．9.5×1013千米 D．9.5×1012千米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：依题意得：4.2光年＝4.2×9.5×1012≈4×1013．
故选：A．
7．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，沿图中虚线EF翻折，使得点B落在AC上的点D处，则∠1+∠2等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．110°
【分析】由∠B＝70°得∠BEF+∠BFE＝110°，再根据翻折知∠BEF＝∠DEF，∠BFE＝∠DFE，即可求出∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠B＝70°，
∴∠BEF+∠BFE＝110°，
∵翻折，
∴∠BEF＝∠DEF，∠BFE＝∠DFE，
∴∠BED+∠BFD＝2（∠BEF+∠BFE）＝2×110°＝220°，
∴∠1+∠2＝180°×2﹣220°＝140°，
故选：C．
8．（2分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
【分析】此题可通过证△EAC≌△OAB，得AE＝OA，从而求出EA的长；
△EAC和△OAB中，已知的条件只有AB＝AC；由AB＝BD，得＝，可得∠AED＝∠AOB；
四边形ABDE内角于⊙O，则∠EAB+∠D＝180°，即∠EAC＝180°﹣60°﹣∠D＝120°﹣∠D；而∠ECA＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝120°﹣∠BCD，上述两个式子中，由BD＝AB＝BC，易证得∠D＝∠BCD，则∠ECA＝∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而两个等腰三角形的顶角相等，且底边AC＝AB，易证得两个三角形全等，由此得解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝BD＝a，∠CAB＝∠ACB＝60°；
∵AB＝BD，
∴，
∴∠AED＝∠AOB；
∵BC＝AB＝BD，
∴∠D＝∠BCD；
∵四边形EABD内接于⊙O，
∴∠EAB+∠D＝180°，即∠EAC+60°+∠D＝180°；
又∵∠ECA+60°+∠BCD＝180°，
∴∠ECA＝∠EAC，即△EAC是等腰三角形；
在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC＝∠AOB，
∵AC＝AB，
∴△EAC≌△OAB；
∴AE＝OA＝1．
故选：B．
二.填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）3﹣|﹣2|＝ 1 ．
【分析】先算|﹣2|，再求3与它的差得结果．
【解答】解：3﹣|﹣2|
＝3﹣2
＝1
故答案为：1
10．（2分）＝ 3 ．
【分析】根据二次根式的加减运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝2+，
＝（2+1），
＝3，
故答案为：3．
11．（2分）分解因式：x3﹣4xy2＝ x（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣4y2）＝x（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：x（x+2y）（x﹣2y）
12．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
13．（2分）已知关于x的方程2x2﹣mx﹣6＝0的一个根是2，则m＝ 1 ．
【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝2，代入原方程，然后解出m的值即可．
【解答】解：由题意得：x＝2，
将x＝2，代入方程2x2﹣mx﹣6＝0得：
2×22﹣2m﹣6＝0，
解得：m＝1．
故答案为：1．
14．（2分）用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是 1cm ．
【分析】首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求得半径．
【解答】解：圆锥的底面周长是：2πcm，
设圆锥的底面半径是r，则2πr＝2π，
解得：r＝1．
故答案是：1cm．
15．（2分）在某公司的面试中，李明的得分情况为：个人形象85分，工作能力90分，交际能力80分，已知个人形象、工作能力和交际能力的权重为1：2：2，则李明的最终成绩是 85分 ．
【分析】将李明的各项成绩分别乘以其权，再除以权的和，求出加权平均数即可．
【解答】解：根据题意得：
＝85，
故答案为：85分．
16．（2分）如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则tan∠BAC的值为 ．
【分析】根据已知图形去添加合适得辅助线，从而得出∠CHA＝90°，再求解即可．
【解答】解：连接CH，由图可知∠CHA＝90°，
设小方格的边长为a，则AH＝＝3a，CH＝＝4a，
故tan∠BAC＝＝＝，
故答案为：．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D是BC上一点，∠ADC＝60°，若BD＝DC，则∠ACD＝ 75° ．
【分析】作CE⊥AD于点E，连结BE，作DF⊥BE于点F，则∠DCE＝30°，CE＝DE，根据三角形的外角定理得到∠ABE＝∠EAB，从而得出BD＝DE，BE＝AE＝DE＝CE，根据等腰直角三角形的性质可求出∠ACE＝45°，最后得到∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝45°+30°＝75°．
【解答】解：作CE⊥AD于点E，连结BE，作DF⊥BE于点F，
设DE＝a，
在Rt△CDE中，∠EDC＝60°，
∴∠ECD＝30°，
∴CD＝2DE＝2a，
∴CE＝＝a，
∵CD＝2BD，
∴BD＝DE＝a，
∴∠DBE＝∠DEB，
∵∠ADC＝∠DBE+∠DEB＝60°，
∴∠DBE＝∠DEB＝30°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBE＝15°，∠EAB＝∠ADC﹣∠ABD＝15°，
∴∠ABE＝∠EAB＝15°，
∴BE＝AE，
在Rt△BDF中，BD＝a，∠DBE＝30°，
∴DF＝，
∴BF＝＝a，
∵BD＝DE，DF⊥BE，
∴BE＝2BF＝a，
∴AE＝BE＝a＝CE，
∴∠ACE＝∠CAE＝（180°﹣90°）＝45°，
∴∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝45°+30°＝75°，
故答案为：75°．
18．（2分）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与y＝（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线AC∥y轴，且BD⊥AC．已知点A的横坐标为4，当四边形ABCD是正方形时，请写出m、n之间的数量关系 m+n＝32 ．
【分析】设AC＝BD＝2t（t≠0），先确定出点A的坐标为（4，），C（4，），进而得出点D的坐标为（4﹣t，+t），代入y＝求得t＝4﹣，即可得到点C的坐标为（4，8﹣），从而得到8﹣＝，整理得到m+n＝32．
【解答】解：当四边形ABCD为正方形时，设AC＝BD＝2t（t≠0）．
∵点A的横坐标为4，
∴点A的坐标为（4，），C（4，），
∴点D的坐标为（4﹣t，+t），
∵点D在反比例函数y＝的图象上，
∴（4﹣t）（+t）＝m，化简得：t＝4﹣，
∴点C的纵坐标为+2t＝+2（4﹣）＝8﹣，
∴点C的坐标为（4，8﹣），
∴8﹣＝，整理，得：m+n＝32．
∴四边形ABCD是正方形时，m+n＝32，
故答案为m+n＝32．
三、解答题（本大题共10小题，共84分请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）计算：﹣2tan45°+（1+π）0．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、算术平方根分别化简得出答案．
【解答】解原式＝2﹣2×1+1
＝2﹣2+1
＝1．
20．（8分）解方程和不等式组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）方程两边都乘以（x﹣2）（x﹣3）得：x﹣3＝2（x﹣2），
去括号得：x﹣3＝2x﹣4，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣2）（x﹣3）≠0，
∴x＝1是原方程的解；
（2），
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜﹣，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜﹣．
21．（8分）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
【分析】（1）在证明△BEC≌△DEC时，根据题意知，运用SAS公理就行；
（2）根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC＝∠DEC＝∠BED，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得∠EFD＝∠BEC+∠CAD．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°．
∴在△BEC与△DEC中，
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED．
∵∠BED＝120°，∴∠BEC＝60°＝∠AEF．
∴∠EFD＝60°+45°＝105°．
22．（8分）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表、图）．
血型统计表：
血型
A
B
AB
O
人数
12
10
5
23
血型统计图：
（1）本次随机抽取献血者人数为 50 人，图中m＝ 20 ；
（2）补全表中的数据；
（3）若这次活动中该单位有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？
【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；
（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；
（3）用总人数乘以样本中A型血人数所占比例．
【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%＝50（人），
所以m＝×100＝20；
故答案为50，20；
（2）O型献血的人数为46%×50＝23（人），
A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23＝12（人），
血型
A
B
AB
O
人数
12
10
5
23
故答案为12，23；
（3）1300××100%＝312（人），
答：估计有312人是A型血．
23．（8分）四张扑克牌的点数分别是2、3、4、8，将它们洗匀后背面朝上放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌，则这张牌的点数是偶数的概率是 ；
（2）从中先随机抽取一张牌，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出这两张牌的点数都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从中随机抽取一张牌，这张牌的点数是偶数的概率＝；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中这两张牌的点数都是偶数的结果数为6，
所以这两张牌的点数都是偶数的概率＝＝．
24．（8分）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．
（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；
（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．
【分析】（1）用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合适的等量关系．本问中两个等量关系是：1支钢笔的价钱+3本笔记本的价钱＝18，2支钢笔的价钱+5本笔记本的价钱＝31，根据这两个等量关系可以列出方程组．
（2）本问可以列出一元一次不等式组解决．用笔记本本数＝48﹣钢笔支数代入下列不等关系，购买钢笔钱数+购买笔记本钱数≤200，笔记本数≥钢笔数，可以列出一元一次不等式组，求出其解集，再根据笔记本数，钢笔数必须是整数，确定购买方案．
【解答】解：（1）设每支钢笔x元，每本笔记本y元．
依题意得：，
解得：，
答：每支钢笔3元，每本笔记本5元．
（2）设买a支钢笔，则买笔记本（48﹣a）本，
依题意得：，
解得：20≤a≤24，
∴一共有5种方案．
方案一：购买钢笔20支，则购买笔记本28本；
方案二：购买钢笔21支，则购买笔记本27本；
方案三：购买钢笔22支，则购买笔记本26本；
方案四：购买钢笔23支，则购买笔记本25本；
方案五：购买钢笔24支，则购买笔记本24本．
25．（8分）如图，将△ABO放在平面直角坐标系中，AB＝OB＝2，AB⊥OB，反比例函数y＝经过点A．在反比例函数的图象上取一点C，使得AC＝2AO，过点C作AB的垂线，交AB于点D，连接OD，并延长OD交AC于点E．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当点E刚好是AC的中点时，求∠DOB的度数．
【分析】（1）确定点A的坐标，再代入确定k的值即可；
（2）利用直角三角形、等腰三角形的性质，得出∠DOB＝∠AOB即可．
【解答】解：（1）∵AB＝OB＝2，
∴A（2，2），
∵反比例函数y＝过点A，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）∵CD⊥AB，AB⊥OB，
∴CD∥OB，
在Rt△ADC中，点C是AC的中点，
∴DE＝AE＝CE＝AC，
∵AC＝2OA，
∴OA＝AE，
∴∠AOE＝∠AEO，∠EDC＝∠ECD，
∴∠AOE＝∠AEO＝2∠EDC＝2∠DOB，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AOD+∠DOB＝45°
∴∠DOB＝∠AOB＝×45°＝15°．
26．（10分）如图，在直角坐标系中，点A（﹣1，0），C（5，0），BC⊥AC，∠BAC＝30°．
（1）求出点B的坐标；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△A1B1C，旋转后，
①当点A1落在y轴上时，直接写出此时点B1的坐标；
②当直线A1B1经过点B时，求直线A1B1的函数表达式．
【分析】（1）在Rt△ABC中，BC＝ACtan∠BAC＝6×＝2，即可求解；
（2）①证明∠A1CO＝∠CB1H，则sin∠A1CO＝sin∠CB1H，进而求解，当A1落在y轴负半轴时，同理可解；
②如图2，当直线A1B1经过点B时，则△BB1C为等边三角形，得到∠BCH＝30°，进而求解．
【解答】解：（1）由点A、C的坐标得，AC＝5+1＝6，
在Rt△ABC中，BC＝ACtan∠BAC＝6×＝2，
故点B的坐标为（5，2）；
（2）①当A1落在y轴正半轴时，
如图1，过点B1作B1H⊥x轴于点H，
∵∠A1CO+∠B1CH＝90°，∠B1CH+∠CB1H＝90°，
∴∠A1CO＝∠CB1H，
∴sin∠A1CO＝sin∠CB1H，
∴，
即，解得B1H＝，
则CH＝＝＝，
故点B1的坐标为（5+，）；
当A1落在y轴负半轴时，
同理可得，点B1的坐标为（5﹣，）；
综上，点B1的坐标为（5+，）或（5﹣，）；
②如图2，当直线A1B1经过点B时，则BC＝B1C，
而∠AB1C＝∠ABC＝60°，
故△BB1C为等边三角形，
延长A1B1交x轴于点H，
则∠BB1C＝∠B1CH+∠B1HC＝30°+∠B1HC＝60°，
∴∠BCH＝30°，
而直线A1B1过点B（5，2），
故直线A1B1的表达式为y＝﹣（x﹣5）+2＝﹣x+．
27．（10分）在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．
（1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是 ③ ；
（2）如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD＝AB，点E、F分别在AC、BC边上，满足△BDF和△EDF为“共边全等”，求CF的长；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+12分别与直线y＝x、x轴相交于A、B两点，点C是OB的中点，P、Q在△AOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PCB“共边全等”时，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）由于第③个图不符合共边要求，所以图③即为答案；
（2）DF为两个全等三角形的公共边，由于F点在BC边上，E在AC边上，两个三角形的位置可以如图②，在公共边异侧，构成一个轴对称图形，也可以构成一个平行四边形（将图③的两条最长边重合形成），分两类讨论，画出图形，按照图②构图，会得到一个一线三等角模型，利用相似，列出方程来解决，按照平行四边形构图，直接得到△ADE为等边三角形，计算边长即可求得；
（3）由题目要求，可以知道两个全等三角形的公共边为PB边，由于要构成△PCB，所以P点只能在OA和OB边上，当P在OA边上，两个三角形可以在PB同侧，也可以在PB异侧，当在PB异侧构图时，可以得到图3和图4，在图3中，当在PB同侧构图时，可以得到图6，当P在OB边上时，Q只能落在OA上，得到图7，利用已知条件，解三角形，即可求出Q点坐标．
【解答】解：（1）①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件，
∴答案是③；
（2）①如图1，当△BDF≌△EFD，且是共边全等时，
∠BFD＝∠EDF，
∴DE∥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD＝，
∴DE＝AE＝BF＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝4，
②如图2，当△BDF≌△EDF，且是共边全等时，
BD＝DE＝6﹣AD＝4，
∠DEF＝∠B＝60°，EF＝BF，
∴∠AED+∠FEC＝120°，
又∠AED+∠EDA＝120°，
∴∠FEC＝∠EDA，
又∠C＝∠A＝60°，
∴△FEC∽△EDA，
∴∴，
设CE＝a，则EF＝2a，
∴，
解得a＝，
∴，EF＝，
∴CF＝6﹣（10﹣2）＝2﹣4，
综上所述，CF＝4或；
（3）联立，解得，
∴A（3，3），
令y＝﹣3x+12＝0，得x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∵C为OB中点，
∴OC＝2，
∴C（2，0），
由题可得，P点只能在边OA和OB上，
①P在OA上时，如图3，△PBC≌△BPQ，
∴∠CPB＝∠QBP，CP＝QB，
∴CP∥QB，
∴四边形PCBQ为平行四边形，
∵C为OB中点，
∴P为OB中点，
又PQ∥OB，
∴Q为AB中点，
∴Q（），
②当P在OA边上，如图4，△PBC≌△PBQ，
∴BQ＝BC＝2，
如图5，过A作AD⊥OB于D，则AD＝3，OD＝3，
∴BD＝OB﹣OB＝1，
∴tan∠ABO＝，
过Q作QE⊥OB于E，
∵tan∠ABO＝，
∴设BE＝a，则QE＝3a，
∵BE2+QE2＝QB2，
∴a＝，
∴，
OE＝4﹣a＝4，
∴，
③当P在OA边上，Q在OA边上时，如图6，△PBQ≌BPC，
∴PA＝BC＝2，OP＝PB＝4，
过P作PF⊥OB于F，
∵∠AOB＝45°，OP＝4，
∴PF＝OP＝2，
∴，
设Q（b，b），
∵PQ＝2，
∴，
∴，
∴，
④当P在OB上，Q在OA上时，△PBC≌BPQ，如图7，
∴S△PBC＝S△BPQ，
过C，Q分别作AB得垂线，垂足分别为M，N，
∴，CM∥QN，
∴CM＝QN，
∴四边形CMNQ是平行四边形，
∵C为OB中点，
∴Q为AO中点，
∴Q（），
综上所述，Q（）或（）或（）或（）．
28．（10分）如图所示，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）当a＝﹣时，
①求点A、B、C的坐标；
②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；
（2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a的值．
【分析】（1）①当a＝﹣时，函数的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），即可求解；
②证明△PFM≌△OEP（AAS），则PE＝MF，则﹣（x+1）（x﹣5）＝x﹣2，解得x＝﹣或4，即可求解；
（2）当四边形OBDC是圆的内接四边形时，则BC的中点为该圆的圆心，故OQ＝DQ，即可求解．
【解答】解：对于y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0），令y＝a（x+1）（x﹣5）＝0，解得x＝5或﹣1，令x＝0，则y＝﹣5a，
故点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（﹣1，0）、（0，﹣5a），
当x＝2时，y＝a（x+1）（x﹣5）＝﹣9a，顶点的坐标为（2，﹣9a）．
（1）①当a＝﹣时，函数的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），
则点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（﹣1，0）、（0，2）；
②过点P作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点F，交x轴于点E，
设点P的坐标为（x，﹣（x+1）（x﹣5）），
∵∠MPO＝90°，
∴∠MPF+∠OPE＝90°，
∵∠OPE+∠POE＝90°，
∴∠POE＝∠MPF，
∵∠PFM＝∠OEP＝90°，PM＝PO，
∴△PFM≌△OEP（AAS），
∴PE＝MF，
则﹣（x+1）（x﹣5）＝x﹣2，解得x＝﹣或4，
故点P的坐标为（﹣，﹣）或（4，2）；
（2）点B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣5a），顶点D的坐标为（2，﹣9a）．
当四边形OBDC是圆的内接四边形时，则BC的中点为该圆的圆心，
设BC的中点为点Q，由中点坐标公式得，点Q（，﹣a），
则OQ＝DQ，
即（）2+（﹣）2＝（2﹣）2+（﹣9a+a）2，
解得a＝±．
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