高考数学一轮复习 第8章 第7节 抛物线

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第七节　抛物线
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[考纲传真]　1.了解抛物线的实际背影，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线方程).3.理解数形结合的思想.4.了解抛物线的简单应用．


1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0


焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径|PF|
x0＋
－x0＋
y0＋
－y0＋

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D．0
B　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，
设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]
3．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A．y＝－1　 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]
4．(2017·西安质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
B　[抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]
5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．
9　[设点M的横坐标为x0，则点M到准线x＝－1的距离为x0＋1，由抛物线的定义知x0＋1＝10，∴x0＝9，
∴点M到y轴的距离为9.]


抛物线的定义及应用
　(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)
A．1　 B．2
C．4 D．8
(2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．
(1)A　(2)2　[(1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝，
因此焦点F，准线l的方程为x＝－.
设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d＝|AF|.
从而x0＋＝x0，解得x0＝1.
(2)由y2＝4x，知p＝2，焦点F(1,0)，准线x＝－1.
根据抛物线的定义，|AF|＝|AC|＋1，|BF|＝|BD|＋1.
因此|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|－2＝|AB|－2.
所以|AC|＋|BD|取到最小值，当且仅当|AB|取得最小值，
又|AB|＝2p＝4为最小值．
故|AC|＋|BD|的最小值为4－2＝2.]
[规律方法]　1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．
2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出．
[变式训练1]　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为__________．
　[如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．
连接AF交抛物线于点P，此时最小值为
|AF|＝＝.]


抛物线的标准方程与几何性质
　(1)点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　)
【导学号：31222323】
A．x2＝y　　　　　 B．x2＝y或x2＝－y
C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y
(2)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)
A. B．1
C. D．2
(1)D　(2)D　[(1)将y＝ax2化为x2＝y.
当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝.
当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－.
∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y.
(2)由抛物线C：y2＝4x知p＝2.
∴焦点F(1,0)．
又曲线y＝(k>0)与曲线C交于点P，且PF⊥x轴．
∴P(1,2)，
将点P(1,2)代入y＝，得k＝2.]
[规律方法]　1.求抛物线的标准方程的方法：
(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．
[变式训练2]　(1)(2017·河南中原名校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为 (　　)
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝
(2)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．
(1)B　(2)x＝－2　[(1)设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，
所以|MF|＝2p，
由抛物线定义知x＋＝2p，
所以x＝p，所以y＝±p.
又△MFO的面积为4，
所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．
所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由椭圆＋＝1，知a＝3，b＝，
所以c2＝a2－b2＝4，所以c＝2.
因此椭圆的右焦点为(2,0)，
又抛物线y2＝2px的焦点为.
依题意，得＝2，
于是抛物线的准线x＝－2.]

直线与抛物线的位置关系
角度1　直线与抛物线的交点问题
　(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
[解]　(1)如图，由已知得M(0，t)，P.

又N为M关于点P的对称点，
故N，2分
故直线ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0,
解得x1＝0，x2＝.因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.5分
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t).8分
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点.12分
[规律方法]　1.(1)本题求解的关键是求出点N，H的坐标．(2)第(2)问将直线MH的方程与抛物线C的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断．
2．(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．
角度2　与抛物线弦长或中点有关的问题
　(2017·泰安模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8. 【导学号：31222324】
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1的垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．
[解]　(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，2分
∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.5分
(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.6分
由得y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，
∴x1x2＝＝m2.8分
由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，
∴m＝8或m＝0(舍)，
∴直线l2：x＝y＋8，M(8,0).10分
故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|
＝3＝24.12分
[规律方法]　1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等方法．
3．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．

[思想与方法]
1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．
2．抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思想在解题中有着重要作用．
3．抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝＝x1＋x2＋p.
[易错与防范]
1．认真区分四种形式的标准方程．
(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．
3．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切．
课时分层训练(五十一)　抛物线
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2016·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)
A．(0,2)　　 B．(0,1)
C．(2,0) D．(1,0)
D　[由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]
2．(2017·云南昆明一中模拟)已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
B　[由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为＝3.]
3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)
A. B.
C．1 D.
B　[由双曲线x2－＝1知其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，
又y2＝4x的焦点F(1,0)，
∴焦点F到直线的距离d＝＝.]
4．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
D　[因为双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．
设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，p＝2.
所以抛物线方程为y2＝±4x.]
5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)
【导学号：31222325】
A．2 B．2
C．2 D．4
C　[如图，设点P的坐标为(x0，y0)，

由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，
代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，
所以|y0|＝2，
所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.]
二、填空题
6．(2017·山西四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为__________. 【导学号：31222326】
8　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1.
联立消去y得x2－6x＋1＝0.
所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
7．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为__________．
－　[∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上．
∴－＝－2，∴p＝4，焦点F(2,0)．
因此kAF＝＝－.]
8．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为__________．
x2＝3y　[设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，
所以＝＝3，即a＝3，
因此所求的抛物线方程是x2＝3y.]
三、解答题
9．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．
[解]　由题意，设抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．
设公共弦MN交y轴于A，则|MA|＝|AN|，
且AN＝.3分
∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，
∴N(，±2).6分
∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，
故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.8分
抛物线x2＝y的焦点坐标为，
准线方程为y＝－.10分
抛物线x2＝－y的焦点坐标为，
准线方程为y＝.12分
10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1 (1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
[解]　(1)由题意得直线AB的方程为y＝2，
与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝.3分
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.5分
(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4).8分
设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2).10分
又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12分
B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A. B．6
C．12 D．7
C　[∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，
∴F，
∴AB的方程为y－0＝tan 30°，即y＝x－.
联立得x2－x＋＝0，
∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.
由于|AB|＝xA＋xB＋p，
∴|AB|＝＋＝12.]
2．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝__________.
2　[抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4.
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，
y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.
因为·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)
＝－＋4.
所以－＋4＝0，则k2－4k＋4＝0.
因此得k＝2.]
3．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
(1)若＝2 ，求直线AB的斜率；
(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
【导学号：31222328】
[解]　(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得
y2－4my－4＝0.2分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
因为＝2 ，所以y1＝－2y2.
联立上述三式，消去y1，y2得m＝±.
所以直线AB的斜率是±2.5分
(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，

从而点O与点C到直线AB的距离相等，
所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.8分
因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|
＝＝4，
所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.12分