2021年江苏省连云港市赣榆区中考数学适应性试卷

这是一份2021年江苏省连云港市赣榆区中考数学适应性试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省连云港市赣榆区中考数学适应性试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）9的相反数是（　　）
A．﹣9 B．9 C． D．﹣
2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）二次根式中字母x的取值范围是（　　）
A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3
5．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+1＝2x B．x2+1＝0 C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0
6．（3分）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3
7．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
8．（3分）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）

A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）实数27的立方根是　 　．
10．（3分）2021年1月1日，“学习强国“平台全国上线，截至2021年5月5日，某市党员“学习强国”客户端注册人数约1290000．数据1290000科学记数法表示为　 　．
11．（3分）如果单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，那么m+n＝　 　．
12．（3分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：

甲
乙
丙

45
45
42
s2
1.8
2.3
1.8
明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是　 　．
13．（3分）在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠CAO的值为　 　．

14．（3分）如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝　 　．

15．（3分）如图，点E、F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线EF分别与x、y轴交于点A、B，且BE：BF＝1：3，则S△OEF＝　 　．

16．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，0），P为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是　 　．

三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）计算：（﹣4）2+（π﹣3）0﹣23﹣|﹣5|．
18．（6分）化简：．
19．（8分）解不等式组：．
20．（8分）在一个黑色的布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除了颜色之外没有其它区别，其中白球2只、红球1只、黑球1只．袋中的球已经搅匀．
（1）随机地从袋中摸出1只球，则摸出白球的概率是多少？
（2）随机地从袋中摸出1只球，放回搅匀再摸出第二个球．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次都摸出白球的概率．
21．（10分）某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过几封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项A：没有投过；选项B：一封；选项C：两封；选项D：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：

（1）此次抽样调查了　 　名学生，条形统计图中m＝　 　，n＝　 　；
（2）请将条形统计图补全；
（3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有　 　封；
（4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？
22．（8分）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．

23．（10分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元）
15
20
30
…
y（袋）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
24．（10分）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°．求这两座建筑物AB，CD的高度．（结果保留小数点后一位，≈1.414，≈1.732．）

25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠CBD；
（2）若BC＝4，CD＝4，则⊙O的半径是　 　．

26．（12分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）动手操作
如图1，当α＝60°时，我们通过用刻度尺和量角器度量发现：的值是1：直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°；请证明以上结论正确
（2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

27．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．


2021年江苏省连云港市赣榆区中考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）9的相反数是（　　）
A．﹣9 B．9 C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【解答】解：9的相反数是﹣9，
故选：A．
2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
3．（3分）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据主视图的意义和画法可以得出答案．
【解答】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B符合题意，
故选：B．
4．（3分）二次根式中字母x的取值范围是（　　）
A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列不等式求解即可．
【解答】解∵二次根式有意义，
∴x﹣3≥0，解得：x≥3．
故选：D．
5．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+1＝2x B．x2+1＝0 C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
【解答】解：A、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
B、△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；
C、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；
D、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．
故选：A．
6．（3分）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3
【分析】先求出y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），
∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），
∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．
故选：C．
7．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE；在直角△ECG中，根据勾股定理即可求出DE的长．
【解答】解：如图，连接AE，

∵AB＝AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，
在Rt△AFE和Rt△ADE中，
∵，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF＝DE，
设DE＝FE＝x，则EC＝6﹣x．
∵G为BC中点，BC＝6，
∴CG＝3，
在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+9＝（x+3）2，
解得x＝2．
则DE＝2．
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．
【解答】解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．

∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△GEJ为等边三角形．
∴GH＝EJ＝x，
∴y＝EJ•GH＝x2．
当x＝2时，y＝，且抛物线的开口向上．
如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．

y＝FJ•GH＝（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）实数27的立方根是　3　．
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵3的立方等于27，
∴27的立方根等于3．
故答案为3．
10．（3分）2021年1月1日，“学习强国“平台全国上线，截至2021年5月5日，某市党员“学习强国”客户端注册人数约1290000．数据1290000科学记数法表示为　1.29×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1290000＝1.29×106．
故答案为：1.29×106．
11．（3分）如果单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，那么m+n＝　4　．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）可得m＝3，n＝1，再代入代数式计算即可．
【解答】解：∵单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，
∴m＝3，n＝1，
∴m+n＝3+1＝4．
故答案为：4．
12．（3分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：

甲
乙
丙

45
45
42
s2
1.8
2.3
1.8
明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是　甲　．
【分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定．
【解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，
又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，
即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；
故答案为：甲．
13．（3分）在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠CAO的值为　　．

【分析】根据图形可得△OAC为直角三角形，AC＝4，OC＝2继而求出tan∠CAO的值．
【解答】解：由图可得：AC＝4，OC＝2，∠ACO＝90°，
∴tan∠CAO＝＝＝．
故答案为：．

14．（3分）如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝　120°　．

【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到＝2π•2，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得＝2π•2，
解得α＝120，
即侧面展开图扇形的圆心角为120°．
故答案为120°．
15．（3分）如图，点E、F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线EF分别与x、y轴交于点A、B，且BE：BF＝1：3，则S△OEF＝　8　．

【分析】分别过E、F作x轴、y轴的垂线，易证△BPE∽△BHF，利用相似比可得HF＝4PE，根据反比例函数图象上点的坐标特征，设E点坐标为（t，），则F点的坐标为（3t，），由于S△OEF+S△OFD＝S△OEC+S梯形ECDF，S△OFD＝S△OEC＝3，所以S△OEF＝S梯形ECDF，然后根据梯形面积公式计算即可．
【解答】解：作EP⊥y轴于P，EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，如图所示：
∵EP⊥y轴，FH⊥y轴，
∴EP∥FH，
∴△BPE∽△BHF，
∴，
设E点坐标为（t，），则F点的坐标为（3t，），
∵S△OEF+S△OFD＝S△OEC+S梯形ECDF，
而S△OFD＝S△OEC＝＝3，
∴S△OEF＝S梯形ECDF＝（+）（3t﹣t）＝8，
故答案为8．

16．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，0），P为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是　3　．

【分析】设P（0，m），则OP＝m，通过证得△AOP≌△PMQ求得Q的坐标，然后根据勾股定理得到BQ＝，即可求得当m＝1时，BQ有最小值3．
【解答】解：∵A（2，0），
∴OA＝2，
设P（0，m），则OP＝m，
作QM⊥y轴于M，
∵∠APQ＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝∠APO+∠QPM，
∴∠OAP＝∠QPM，
在△AOP和△PMQ中，
，
∴△AOP≌△PMQ（AAS），
∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝2，
∴Q（m，m+2），
∵B（4，0），
∴BQ＝＝，
∵2＞0，
∴当m＝1时，BQ有最小值3，
故答案为：3．

三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）计算：（﹣4）2+（π﹣3）0﹣23﹣|﹣5|．
【分析】先根据有理数的乘方、绝对值的性质、0指数幂及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝16+1﹣8﹣5
＝4．
18．（6分）化简：．
【分析】将原式被除数的分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，然后将除式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果．
【解答】解：÷（1﹣）
＝÷
＝•
＝．
19．（8分）解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＞2，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为2＜x≤3．
20．（8分）在一个黑色的布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除了颜色之外没有其它区别，其中白球2只、红球1只、黑球1只．袋中的球已经搅匀．
（1）随机地从袋中摸出1只球，则摸出白球的概率是多少？
（2）随机地从袋中摸出1只球，放回搅匀再摸出第二个球．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次都摸出白球的概率．
【分析】（1）让白球的个数除以球的总数即可；
（2）2次实验，每次都是4种结果，列举出所有情况即可．
【解答】解：（1）摸出白球的概率是；
（2）列举所有等可能的结果，画树状图：

∴两次都摸出白球的概率为P（两白）＝＝．
21．（10分）某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过几封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项A：没有投过；选项B：一封；选项C：两封；选项D：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：

（1）此次抽样调查了　500　名学生，条形统计图中m＝　225　，n＝　25　；
（2）请将条形统计图补全；
（3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有　425　封；
（4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？
【分析】（1）由B选项人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数乘以对应百分比可得m、n的值；
（2）先求出C选项的人数，继而可补全图形；
（3）各选项次数乘以对应人数，再求和即可得；
（4）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）此次调查的总人数为150÷30%＝500（人），
则m＝500×45%＝225，n＝500×5%＝25，
故答案为：500，225，25；

（2）C选项人数为500×20%＝100（人），
补全图形如下：


（3）1×150+2×100+3×25＝425，
答：接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有425封，
故答案为：425；

（4）由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有110000×（1﹣45%）＝60500（名）．
22．（8分）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．

【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角边”证明△BAF和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝AG，根据线段的和与差可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF和△ADG中，
∵，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴BF＝AG，AF＝DG，
由图可知：AG﹣AF＝FG，
∴BF﹣DG＝FG．
23．（10分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元）
15
20
30
…
y（袋）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可
（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
【解答】解：
（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b得
，解得
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40
（2）依题意，设利润为w元，得
w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400
整理得w＝﹣（x﹣25）2+225
∵﹣1＜0
∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
24．（10分）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°．求这两座建筑物AB，CD的高度．（结果保留小数点后一位，≈1.414，≈1.732．）

【分析】延长CD，交过A点的水平线AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC的长即可
【解答】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，

在Rt△AED中，∵∠EAD＝45°，
∴AE＝DE＝BC＝40m，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝40m，
∴AB＝40≈69.3m，
则CD＝EC﹣ED＝AB﹣ED＝40﹣40≈29.3m．
答：这两座建筑物AB，CD的高度分别为69.3m和29.3m．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠CBD；
（2）若BC＝4，CD＝4，则⊙O的半径是　5　．

【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得OC⊥MN，即可证得OC∥BD，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCO＝∠ABC，即可证得结论；
（2）连接AC，由勾股定理求得BD，然后通过证得△ABC∽△CBD，求得直径AB，从而求得半径．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵MN为⊙O的切线，
∴OC⊥MN，
∵BD⊥MN，
∴OC∥BD，
∴∠CBD＝∠BCO．
又∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC．；
（2）解：连接AC，
在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，
∴BD＝＝8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，即＝，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径是5，
故答案为5．

26．（12分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）动手操作
如图1，当α＝60°时，我们通过用刻度尺和量角器度量发现：的值是1：直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°；请证明以上结论正确
（2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

【分析】（1）如图1中，假设直线PC与直线BD交于点O，直线PC交AB于E．证明△CAP≌△BAD（SAS），利用全等三角形的性质即可解决问题．
（2）结论：＝，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．如图2中，设直线BD交CP于M，AC交BD于N．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA＝AB，∠CAB＝60°，
由旋转的性质可知：PA＝PD，∠APD＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AP＝AD，∠PAD＝∠CAB＝60°，
∴∠CAP＝∠BAD，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴CP＝BD，
∴＝1．
如图1中，假设直线PC与直线BD交于点O，直线PC交AB于E．
∵△CAP≌△BAD，
∴∠ACE＝∠OBE，
∵∠AEC＝∠OEB，
∴∠CAE＝∠EOB＝60°，
∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°．

（2）结论：＝，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．
理由：如图2中，设直线BD交CP于M，AC交BD于N．

由题意：△PAD是等腰直角三角形，
∴∠DAP＝45°，＝，
∵CA＝CB，∠ACB＝α＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，＝，
∴∠CAB＝∠PAD，
∴∠DAB＝∠PAC，
∵＝＝，
∴△APC∽△ADB，
∴＝＝，∠PCA＝∠ABD，
∵∠ANB＝∠DNC，
∴∠CMN＝∠CAB＝45°，即直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．
综上所述，＝，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．

27．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．

【分析】（1）求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，获得抛物线的解析式．
（2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．
（3）B、O、E、F四点作平行四边形，以已知线段OB为边和对角线分类讨论，当OB为边时，以EF＝OB的关系建立方程求解，当OB为对角线时，OB与EF互相平分，利用直线相交获得点E坐标．
【解答】解：（1）在中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2
∴A（4，0），B（0，2）
把A（4，0），B（0，2），代入，得
，解得
∴抛物线得解析式为
（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为F

∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE
∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE
即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE
∴∠DBE＝∠ABE
∴∠DBE＝∠BAC
设D点的坐标为（x，），则BF＝x，DF＝
∵tan∠DBE＝，tan∠BAC＝
∴＝，即
解得x1＝0（舍去），x2＝2
当x＝2时，＝3
∴点D的坐标为（2，3）
（3）

当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF
设E（m，），F（m，）
EF＝|（）﹣（）|＝2
解得m1＝2，，
当BO为对角线时，OB与EF互相平分

过点O作OF∥AB，直线OF：交抛物线于点F（）和（）
求得直线EF解析式为或
直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为或
∴E点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或（）