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2021年陕西省西安市莲湖区中考数学三模试卷
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这是一份2021年陕西省西安市莲湖区中考数学三模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省西安市莲湖区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）﹣2021的相反数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
2．（3分）如图，与∠1是同旁内角的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．（3分）科学家发现一种病毒的直径为0.0043微米，则用科学记数法表示0.0043为（ ）
A．4.3×10﹣3 B．4.3×10﹣2 C．0.43×10﹣2 D．4.3×103
4．（3分）小芳在本学期的体育测试中，1分钟跳绳获得了满分，她的“满分秘籍”如下：前20秒由于体力好，小芳速度均匀增加，20秒至50秒保持跳绳速度不变，后10秒进行冲刺，速度再次均匀增加，最终获得满分，反映小芳1分钟内跳绳速度y（个/秒）与时间t（秒）关系的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．5ab﹣ab＝4 B．a2•a3＝a6
C．（a2b）3＝a5b3 D．a6÷a2＝a4
6．（3分）如图四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，则∠BAD＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
7．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为（2，﹣1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（3，1） C．（1，﹣1） D．（0，0）
8．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、三、四象限，那么以下选项正确的是（ ）
A．kb≥0 B．kb＜0 C．kb＞0 D．kb≤0
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB交⊙O于点E，若∠CBA＝15°，则∠BOE的度数为（ ）
A．50 B．60° C．70° D．80°
10．（3分）在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝﹣x2+x﹣2 C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2+x+2
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣18＝ ．
12．（3分）如图，正五边形ABCDE绕点A旋转了α角，当α＝30°时，则∠1＝ ．
13．（3分）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限交于点A，将线段OA沿x轴向右平移3个单位长度得到线段O′A′，其中点A与点A′对应，若O′A′的中点B恰好也在该反比例函数图象上，则k的值为 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＞AB．点E在边AD上，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．若点F落在∠C的平分线CE上，则BE的长为 （用含m的式子表示）．
三、解答题（本大题共11个小题，共8分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
15．（5分）计算：|1﹣|﹣（﹣）﹣1+（π﹣sin60°）0．
16．（5分）解不等式组：
17．（5分）如图，已知在矩形ABCD中，请用尺规作图，分别在AD，BC上作点E，F，使四边形BEDF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：BE＝DF．
19．（7分）质量检测部门对公司销售的某电子产品的使用寿命进行跟踪调查，抽查了20件产品，统计结果如表：
时间（年）
6
7
8
9
10
数量（件）
4
6
5
3
2
（1）这20件产品使用寿命的中位数是 ，众数是 ；
（2）求这20件产品使用寿命的平均数；
（3）若公司生产了5000件该产品，请你估计使用寿命在9年以上（含9年）的件数．
20．（7分）为了测量某山（如图所示）的高度．甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为120米，已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB（结果保留根号）．
21．（7分）某景区售票处规定：非节假日的票价打7折售票．节假日根据团队人数x（人）实行分段售票，若x≤10，则按原票价售票；若x＞10，则其中10人按原票价售票，超过部分的按原价打8折售票．某旅行社带团到该景区游览，在非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元，y1、y2与x之间的函数图象如图所示．
（1）图象中m＝ ，n＝ ；
（2）该旅行社在今年5月1日带甲团（人数超过10人）与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，两团合计100人，共付门票款6240元，求甲团人数与乙团人数．
22．（7分）在一不透明的袋子中装有四张标有数字2，3，4，5的卡片，这些卡片除数字外其余均相同．小明同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画的树状图的一部分．
（1）由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后 （填“放回”或“不放回”），第二次随机再抽出一张卡片：
（2）帮小明同学补全树状图，并求小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率．
23．（8分）如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB为⊙O的直径，斜边AC交⊙O于点E，AC平分∠DAB，ED⊥AD于点D，DE的延长线与BC交于点F．
（1）求证：CF＝EF；
（2）若AD：AB＝2：3，DE＝4，求CE的长．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接PA，以PA为边作正方形APMN，当顶点N或M恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．
25．（12分）问题提出
（1）如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线上作一点P，使得AP+BP的值最小．
问题探究
（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 ．
问题解决
（3）现在各大景区都在流行“真人CS”娱乐项目，其中有一个“快速抢点”戏游戏规则如图3，在用绳子围成的一个边长为12m的正方形ABCD场地中，游戏者从AB边上的点E处出发，分别先后赶往边BC，CD，DA上插小旗子，最后回到点E．求游戏者所跑的最少路程．
2021年陕西省西安市莲湖区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）﹣2021的相反数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
【分析】利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣2021的相反数是：2021．
故选：D．
2．（3分）如图，与∠1是同旁内角的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，可得答案．
【解答】解：根据同旁内角的定义得，
∠1的同旁内角是∠2，
故选：A．
3．（3分）科学家发现一种病毒的直径为0.0043微米，则用科学记数法表示0.0043为（ ）
A．4.3×10﹣3 B．4.3×10﹣2 C．0.43×10﹣2 D．4.3×103
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法表示0.0043为4.3×10﹣3．
故选：A．
4．（3分）小芳在本学期的体育测试中，1分钟跳绳获得了满分，她的“满分秘籍”如下：前20秒由于体力好，小芳速度均匀增加，20秒至50秒保持跳绳速度不变，后10秒进行冲刺，速度再次均匀增加，最终获得满分，反映小芳1分钟内跳绳速度y（个/秒）与时间t（秒）关系的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据前20秒匀加速进行，20秒至40秒保持跳绳速度不变，后10秒继续匀加速进行，得出速度y随时间x的增加的变化情况，即可求出答案．
【解答】解：随着时间的变化，前20秒匀加速进行，
所以小芳同学1分钟内跳绳速度y随时间x的增加而增加，
再根据20秒至50秒保持跳绳速度不变，
所以小芳同学1分钟内跳绳速度y随时间x的增加而不变，
再根据后10秒继续匀加速进行，
所以小芳同学1分钟内跳绳速度y随时间x的增加而增加，
故选：D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．5ab﹣ab＝4 B．a2•a3＝a6
C．（a2b）3＝a5b3 D．a6÷a2＝a4
【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可作出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝4ab，错误；
B、原式＝a5，错误；
C、原式＝a6b3，错误；
D、原式＝a4，正确，
故选：D．
6．（3分）如图四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，则∠BAD＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【分析】根据菱形的对角相等、每一条对角线平分一组对角，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，∠BCD＝2∠ACD＝60°，
∴∠BAD＝60°；
故选：C．
7．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为（2，﹣1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（3，1） C．（1，﹣1） D．（0，0）
【分析】到△ABC三个顶点距离相等的点是AB与AC的垂直平分线的交点，进而得出其坐标．
【解答】解：平面直角坐标系如图所示，AB与AC的垂直平分线的交点为点O，
∴到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0），
故选：D．
8．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、三、四象限，那么以下选项正确的是（ ）
A．kb≥0 B．kb＜0 C．kb＞0 D．kb≤0
【分析】根据一次函数的图象图象经过第一、三、四象限解答即可，
【解答】解：因为k＞0时，直线必经过一、三象限，b＜0时，直线与y轴负半轴相交，
可得：图象经过第一、三、四象限时，k＞0，b＜0．
所以kb＜0．
故选：B．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB交⊙O于点E，若∠CBA＝15°，则∠BOE的度数为（ ）
A．50 B．60° C．70° D．80°
【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠AOC，得出的度数，再由直角三角形的性质求出∠BCD＝75°，然后由平行线的性质求出∠D，求出的度数，最后求出的度数，即可解决问题．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵AB⊥CD，
∴∠CFB＝90°，
∵∠CBA＝15°，
∴∠AOC＝2∠CBA＝30°，∠BCD＝90°﹣∠CBA＝75°，
∴的度数是30°，
∵DE∥BC，
∴∠BCD+∠D＝180°，
∴∠D＝105°，
∴的度数是210°，
∴的度数是360°﹣210°＝150°，
∴的度数是150°﹣30°＝120°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠BOE＝180°﹣120°＝60°，
故选：B．
10．（3分）在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝﹣x2+x﹣2 C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2+x+2
【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．
【解答】解：先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为y＝﹣x2﹣x+2；再将所得的抛物线y＝﹣x2﹣x+2关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线为y＝﹣x2+x+2，
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣18＝ 2（x+3）（x﹣3） ．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
12．（3分）如图，正五边形ABCDE绕点A旋转了α角，当α＝30°时，则∠1＝ 138° ．
【分析】由五边形内角和公式及正多边形的性质得到正五边形每个内角的度数，求解∠2，利用旋转的性质与五边形的内角和公式得到答案．
【解答】解：如图所示：
∵正五边形每个内角的度数为＝108°，α＝30°，
∴∠2＝108°﹣30°＝78°，
由旋转的性质得：对应角相等，
∴∠M＝∠MNH＝108°，
在五边形AMNHE中，∠E＝108°，
∴∠1＝540°﹣3×108°﹣78°＝138°，
故答案为：138°．
13．（3分）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限交于点A，将线段OA沿x轴向右平移3个单位长度得到线段O′A′，其中点A与点A′对应，若O′A′的中点B恰好也在该反比例函数图象上，则k的值为 8 ．
【分析】设A（m，2m），表示出平移后的O'，A'，B的坐标即可．
【解答】解：∵A在直线y＝2x上，
∴设A（m，2m），
∴A'（m+3，2m），O'（3，0），
∵B为O'A'的中点，
∴B（），
∵A、B都在反比例函数y＝上，
∴m×2m＝，
解得：m1＝0，m2＝2，
∴A（2，4），
∴k＝2×4＝8．
故答案为：8．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＞AB．点E在边AD上，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．若点F落在∠C的平分线CE上，则BE的长为 m （用含m的式子表示）．
【分析】根据折叠的性质，折叠前后对应线段相等，对应角相等，角平分线的性质知△BFC是等腰直角三角形，根据矩形的性质知△DEC是等腰直角三角形，在直角三角形中由勾股定理可知BE的长．
【解答】解：由折叠的性质可知，
BF＝AB＝m，∠BFE＝∠A＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∵CE是∠BCD的平分线，
∴∠BCF＝45°，
∴∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠BCF＝45°，
∴△BFC是等腰直角三角形，
∴BC＝＝m，
∵∠BCF＝45°，
∴∠DEC＝45°，
又∠D＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝DC＝AB＝m，
∴AE＝AD﹣DE＝BC﹣DE＝m﹣m＝（﹣1）m，
由勾股定理可知，
BE＝＝＝m．
三、解答题（本大题共11个小题，共8分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
15．（5分）计算：|1﹣|﹣（﹣）﹣1+（π﹣sin60°）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+3+1
＝+3．
16．（5分）解不等式组：
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①，得x＜5，
解不等式②，得x≥﹣3，
∴不等式组的解集是﹣3≤x＜5．
17．（5分）如图，已知在矩形ABCD中，请用尺规作图，分别在AD，BC上作点E，F，使四边形BEDF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作BD的垂直平分线交BC于E，交AD于F，则EB＝ED，FB＝FD，再BF＝BE，从而可判断四边形BEDF为菱形．
【解答】解：如图，四边形BEDF为所作．
18．（5分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：BE＝DF．
【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD＝BC，求出DE＝BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE＝DF．
19．（7分）质量检测部门对公司销售的某电子产品的使用寿命进行跟踪调查，抽查了20件产品，统计结果如表：
时间（年）
6
7
8
9
10
数量（件）
4
6
5
3
2
（1）这20件产品使用寿命的中位数是 7.5 ，众数是 7 ；
（2）求这20件产品使用寿命的平均数；
（3）若公司生产了5000件该产品，请你估计使用寿命在9年以上（含9年）的件数．
【分析】（1）根据中位数，众数的定义求解即可；
（2）根据加权平均数的定义求解即可；
（3）根据用样本估计总体的定义得到使用寿命在9年以上（含9年）的件数的分率，再乘5000计算即可求解．
【解答】解：（1）这20件产品使用寿命的中位数是（7+8）÷2＝7.5（年），众数是7年．
故答案为：7.5年，7年；
（2）＝7.65（年）．
故这20件产品使用寿命的平均数为7.65年；
（3）5000×＝1250（件）．
故使用寿命在9年以上（含9年）的件数有1250件．
20．（7分）为了测量某山（如图所示）的高度．甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为120米，已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB（结果保留根号）．
【分析】根据题意可得，AB⊥BD，∠CAB＝∠ACB＝45°，∠D＝∠EAD＝30°，CD＝100，再根据特殊角三角函数即可求出山高AB．
【解答】解：根据题意可知：
AB⊥BD，∠CAB＝∠ACB＝45°，∠D＝∠EAD＝30°，CD＝100，
在Rt△ABC中，AB＝BC，
在Rt△ABD中，BD＝BC+CD＝AB+120，
∴tan30°＝，
即＝，
解得AB＝60（+1）（米）．
答：山高AB为60（+1）米．
21．（7分）某景区售票处规定：非节假日的票价打7折售票．节假日根据团队人数x（人）实行分段售票，若x≤10，则按原票价售票；若x＞10，则其中10人按原票价售票，超过部分的按原价打8折售票．某旅行社带团到该景区游览，在非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元，y1、y2与x之间的函数图象如图所示．
（1）图象中m＝ 560 ，n＝ 1440 ；
（2）该旅行社在今年5月1日带甲团（人数超过10人）与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，两团合计100人，共付门票款6240元，求甲团人数与乙团人数．
【分析】（1）由图中信息图可得到原票价，根据原票价和实际票价可求m、n的值；
（2）设甲团人数是a，乙团人数是b，找出等量关系，列出关于a、b的一元一次方程组，解即可得人数．
【解答】解：（1）∵节假日根据团队人数x（人）实行分段售票，若x≤10，则按售票，
从图可知原票价为：800÷10＝80（元），
∴m＝80×10×0.7＝560（元），n＝800+（20﹣10）×80×0.8＝1440（元），
故答案为：560，1440；
（2）设甲团有a人，乙团有b人，
依题意，得，
解得：，
答：甲团有35人，乙团有15人．
22．（7分）在一不透明的袋子中装有四张标有数字2，3，4，5的卡片，这些卡片除数字外其余均相同．小明同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画的树状图的一部分．
（1）由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后 不放回 （填“放回”或“不放回”），第二次随机再抽出一张卡片：
（2）帮小明同学补全树状图，并求小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率．
【分析】（1）根据树状图可得答案；
（2）补全树状图，利用概率公式求解可得．
【解答】解：（1）游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后不放回，第二次随机再抽出一张卡片；
故答案为：不放回．
（2）补全树状图如图所示：
由树状图得：共有12种等可能结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，
∴小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率为＝．
23．（8分）如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB为⊙O的直径，斜边AC交⊙O于点E，AC平分∠DAB，ED⊥AD于点D，DE的延长线与BC交于点F．
（1）求证：CF＝EF；
（2）若AD：AB＝2：3，DE＝4，求CE的长．
【分析】（1）证∠C＝∠DEA，再证∠C＝∠CEF，即可得出结论；
（2）连接BE，证△ABC∽△ADE，得＝＝，求出BC＝6，AE＝AC，则CE＝AC，再证△BEC∽△ABC，得BC2＝AC•CE，求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵ED⊥AD，
∴∠DAC+∠DEA＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠C＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠CEF，
∴∠C＝∠CEF，
∴CF＝EF；
（2）解：连接BE，如图所示：
由（1）得：∠C＝∠DEA，
∵∠ABC＝∠D＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝＝，
∵AD：AB＝2：3，DE＝4，
∴＝＝，
解得：BC＝6，AE＝AC，
∴CE＝AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°＝∠ABC，
∵∠C＝∠C，
∴△BEC∽△ABC，
∴＝，
即：BC2＝AC•CE，
∴62＝3CE2，
解得：CE＝2．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接PA，以PA为边作正方形APMN，当顶点N或M恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）①如图1，点N在对称轴上时，过点P作PF⊥x轴于点F，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，证得△APF≌△NAQ，得到PF＝AQ．则有﹣x2﹣3x+4＝﹣﹣（﹣4）＝，解得即可；②如图2，当点M在对称轴上时，分别过点P作PQ⊥对称轴于点Q，PF⊥x轴于点F，证得△APF≌△MPQ（AAS），得到PF＝PQ．则有﹣n2﹣3n+4＝﹣3，解得即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（0，4），
∴，解得，
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4.
（2）①如图1，点N在对称轴上时，过点P作PF⊥x轴于点F，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，
∵∠PAF+∠FPA＝90°，∠PAF+∠QAN＝90°，
∴∠FPA＝∠QAN，
又∵∠PFA＝∠AQN＝90°，PA＝AN
∴△APF≌△NAQ（AAS），
∴PF＝AQ．
设点P坐标为（x，﹣x2﹣3x+4），则有﹣x2﹣3x+4＝﹣﹣（﹣4）＝，
解得x＝（不合题意，舍去）或x＝，
此时，点P坐标为（，）；
②如图2，当点M在对称轴上时，分别过点P作PQ⊥对称轴于点Q，PF⊥x轴于点F，
在正方形APMN中，AP＝PM，∠APM＝90°，
∴∠APF+∠FPM＝90°，∠QPM+∠FPM＝90°，
∴∠APF＝∠QPM，
∴△APF≌△MPQ（AAS）
∴PF＝PQ，
设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ＝﹣﹣n，即PF＝﹣﹣n，
∴点P的坐标为（n，﹣﹣n），
∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，
∴﹣n2﹣3n+4＝﹣3，整理得2n2+4n﹣11＝0，
解得n1＝（舍去），n2＝，
∴﹣﹣n＝﹣﹣＝，
∴此时点P的坐标为（，），
综上所述，当顶点N恰好在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，）；当顶点M恰好在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（，），
25．（12分）问题提出
（1）如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线上作一点P，使得AP+BP的值最小．
问题探究
（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 2 ．
问题解决
（3）现在各大景区都在流行“真人CS”娱乐项目，其中有一个“快速抢点”戏游戏规则如图3，在用绳子围成的一个边长为12m的正方形ABCD场地中，游戏者从AB边上的点E处出发，分别先后赶往边BC，CD，DA上插小旗子，最后回到点E．求游戏者所跑的最少路程．
【分析】（1）过点A作直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，则AP＝A′P，则点P为所求点，即可求解；
（2）由（1）知，点D关于直线AC的对称点为点B，连接EM交AC于点N，则点N为所求点，进而求解；
（3）当点E、F、G′、H′、E′在一条直线时路程最小，进而求解．
【解答】解：（1）过点A作直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，则AP＝A′P，则点P为所求点，
理由：AP+BP＝A′P+BP＝A′B为最小；
（2）由（1）知，点D关于直线AC的对称点为点B，连接EM交AC于点N，则点N为所求点，
由题意得：BC＝6，CM＝6﹣2＝4，
则此时DN+MN的最小值＝BM＝＝＝2，
故答案为：2；
（3）如图3，延长CD到D′，使CD＝CD′，
作点G关于C的对称点G，则FG＝FG′，
作A′D′⊥CD′，D′A′＝CD，作点H关于点C的对称点H′，则G′H′＝GH，
作A′B′⊥A′D′，作点E关于点C的对称点E″，则H′E″＝HE，
作点E″关于点A′的对称点E′，则H′E″＝HE，
∴H′E′＝HE，A′E′＝AE，
过点E′作E′K⊥AK，交AB的延长线于点K，则EK＝2AB，
则当点E、F、G′、H′、E′在一条直线时，路程最小为EE＝＝＝24（m），
故游戏者所跑的最少路程为24m．
2021年陕西省西安市莲湖区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）﹣2021的相反数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
2．（3分）如图，与∠1是同旁内角的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．（3分）科学家发现一种病毒的直径为0.0043微米，则用科学记数法表示0.0043为（ ）
A．4.3×10﹣3 B．4.3×10﹣2 C．0.43×10﹣2 D．4.3×103
4．（3分）小芳在本学期的体育测试中，1分钟跳绳获得了满分，她的“满分秘籍”如下：前20秒由于体力好，小芳速度均匀增加，20秒至50秒保持跳绳速度不变，后10秒进行冲刺，速度再次均匀增加，最终获得满分，反映小芳1分钟内跳绳速度y（个/秒）与时间t（秒）关系的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．5ab﹣ab＝4 B．a2•a3＝a6
C．（a2b）3＝a5b3 D．a6÷a2＝a4
6．（3分）如图四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，则∠BAD＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
7．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为（2，﹣1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（3，1） C．（1，﹣1） D．（0，0）
8．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、三、四象限，那么以下选项正确的是（ ）
A．kb≥0 B．kb＜0 C．kb＞0 D．kb≤0
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB交⊙O于点E，若∠CBA＝15°，则∠BOE的度数为（ ）
A．50 B．60° C．70° D．80°
10．（3分）在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝﹣x2+x﹣2 C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2+x+2
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣18＝ ．
12．（3分）如图，正五边形ABCDE绕点A旋转了α角，当α＝30°时，则∠1＝ ．
13．（3分）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限交于点A，将线段OA沿x轴向右平移3个单位长度得到线段O′A′，其中点A与点A′对应，若O′A′的中点B恰好也在该反比例函数图象上，则k的值为 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＞AB．点E在边AD上，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．若点F落在∠C的平分线CE上，则BE的长为 （用含m的式子表示）．
三、解答题（本大题共11个小题，共8分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
15．（5分）计算：|1﹣|﹣（﹣）﹣1+（π﹣sin60°）0．
16．（5分）解不等式组：
17．（5分）如图，已知在矩形ABCD中，请用尺规作图，分别在AD，BC上作点E，F，使四边形BEDF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：BE＝DF．
19．（7分）质量检测部门对公司销售的某电子产品的使用寿命进行跟踪调查，抽查了20件产品，统计结果如表：
时间（年）
6
7
8
9
10
数量（件）
4
6
5
3
2
（1）这20件产品使用寿命的中位数是 ，众数是 ；
（2）求这20件产品使用寿命的平均数；
（3）若公司生产了5000件该产品，请你估计使用寿命在9年以上（含9年）的件数．
20．（7分）为了测量某山（如图所示）的高度．甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为120米，已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB（结果保留根号）．
21．（7分）某景区售票处规定：非节假日的票价打7折售票．节假日根据团队人数x（人）实行分段售票，若x≤10，则按原票价售票；若x＞10，则其中10人按原票价售票，超过部分的按原价打8折售票．某旅行社带团到该景区游览，在非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元，y1、y2与x之间的函数图象如图所示．
（1）图象中m＝ ，n＝ ；
（2）该旅行社在今年5月1日带甲团（人数超过10人）与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，两团合计100人，共付门票款6240元，求甲团人数与乙团人数．
22．（7分）在一不透明的袋子中装有四张标有数字2，3，4，5的卡片，这些卡片除数字外其余均相同．小明同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画的树状图的一部分．
（1）由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后 （填“放回”或“不放回”），第二次随机再抽出一张卡片：
（2）帮小明同学补全树状图，并求小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率．
23．（8分）如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB为⊙O的直径，斜边AC交⊙O于点E，AC平分∠DAB，ED⊥AD于点D，DE的延长线与BC交于点F．
（1）求证：CF＝EF；
（2）若AD：AB＝2：3，DE＝4，求CE的长．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接PA，以PA为边作正方形APMN，当顶点N或M恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．
25．（12分）问题提出
（1）如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线上作一点P，使得AP+BP的值最小．
问题探究
（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 ．
问题解决
（3）现在各大景区都在流行“真人CS”娱乐项目，其中有一个“快速抢点”戏游戏规则如图3，在用绳子围成的一个边长为12m的正方形ABCD场地中，游戏者从AB边上的点E处出发，分别先后赶往边BC，CD，DA上插小旗子，最后回到点E．求游戏者所跑的最少路程．
2021年陕西省西安市莲湖区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）﹣2021的相反数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
【分析】利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣2021的相反数是：2021．
故选：D．
2．（3分）如图，与∠1是同旁内角的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，可得答案．
【解答】解：根据同旁内角的定义得，
∠1的同旁内角是∠2，
故选：A．
3．（3分）科学家发现一种病毒的直径为0.0043微米，则用科学记数法表示0.0043为（ ）
A．4.3×10﹣3 B．4.3×10﹣2 C．0.43×10﹣2 D．4.3×103
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法表示0.0043为4.3×10﹣3．
故选：A．
4．（3分）小芳在本学期的体育测试中，1分钟跳绳获得了满分，她的“满分秘籍”如下：前20秒由于体力好，小芳速度均匀增加，20秒至50秒保持跳绳速度不变，后10秒进行冲刺，速度再次均匀增加，最终获得满分，反映小芳1分钟内跳绳速度y（个/秒）与时间t（秒）关系的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据前20秒匀加速进行，20秒至40秒保持跳绳速度不变，后10秒继续匀加速进行，得出速度y随时间x的增加的变化情况，即可求出答案．
【解答】解：随着时间的变化，前20秒匀加速进行，
所以小芳同学1分钟内跳绳速度y随时间x的增加而增加，
再根据20秒至50秒保持跳绳速度不变，
所以小芳同学1分钟内跳绳速度y随时间x的增加而不变，
再根据后10秒继续匀加速进行，
所以小芳同学1分钟内跳绳速度y随时间x的增加而增加，
故选：D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．5ab﹣ab＝4 B．a2•a3＝a6
C．（a2b）3＝a5b3 D．a6÷a2＝a4
【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可作出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝4ab，错误；
B、原式＝a5，错误；
C、原式＝a6b3，错误；
D、原式＝a4，正确，
故选：D．
6．（3分）如图四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，则∠BAD＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【分析】根据菱形的对角相等、每一条对角线平分一组对角，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，∠BCD＝2∠ACD＝60°，
∴∠BAD＝60°；
故选：C．
7．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为（2，﹣1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（3，1） C．（1，﹣1） D．（0，0）
【分析】到△ABC三个顶点距离相等的点是AB与AC的垂直平分线的交点，进而得出其坐标．
【解答】解：平面直角坐标系如图所示，AB与AC的垂直平分线的交点为点O，
∴到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0），
故选：D．
8．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、三、四象限，那么以下选项正确的是（ ）
A．kb≥0 B．kb＜0 C．kb＞0 D．kb≤0
【分析】根据一次函数的图象图象经过第一、三、四象限解答即可，
【解答】解：因为k＞0时，直线必经过一、三象限，b＜0时，直线与y轴负半轴相交，
可得：图象经过第一、三、四象限时，k＞0，b＜0．
所以kb＜0．
故选：B．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB交⊙O于点E，若∠CBA＝15°，则∠BOE的度数为（ ）
A．50 B．60° C．70° D．80°
【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠AOC，得出的度数，再由直角三角形的性质求出∠BCD＝75°，然后由平行线的性质求出∠D，求出的度数，最后求出的度数，即可解决问题．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵AB⊥CD，
∴∠CFB＝90°，
∵∠CBA＝15°，
∴∠AOC＝2∠CBA＝30°，∠BCD＝90°﹣∠CBA＝75°，
∴的度数是30°，
∵DE∥BC，
∴∠BCD+∠D＝180°，
∴∠D＝105°，
∴的度数是210°，
∴的度数是360°﹣210°＝150°，
∴的度数是150°﹣30°＝120°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠BOE＝180°﹣120°＝60°，
故选：B．
10．（3分）在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝﹣x2+x﹣2 C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2+x+2
【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．
【解答】解：先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为y＝﹣x2﹣x+2；再将所得的抛物线y＝﹣x2﹣x+2关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线为y＝﹣x2+x+2，
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣18＝ 2（x+3）（x﹣3） ．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
12．（3分）如图，正五边形ABCDE绕点A旋转了α角，当α＝30°时，则∠1＝ 138° ．
【分析】由五边形内角和公式及正多边形的性质得到正五边形每个内角的度数，求解∠2，利用旋转的性质与五边形的内角和公式得到答案．
【解答】解：如图所示：
∵正五边形每个内角的度数为＝108°，α＝30°，
∴∠2＝108°﹣30°＝78°，
由旋转的性质得：对应角相等，
∴∠M＝∠MNH＝108°，
在五边形AMNHE中，∠E＝108°，
∴∠1＝540°﹣3×108°﹣78°＝138°，
故答案为：138°．
13．（3分）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限交于点A，将线段OA沿x轴向右平移3个单位长度得到线段O′A′，其中点A与点A′对应，若O′A′的中点B恰好也在该反比例函数图象上，则k的值为 8 ．
【分析】设A（m，2m），表示出平移后的O'，A'，B的坐标即可．
【解答】解：∵A在直线y＝2x上，
∴设A（m，2m），
∴A'（m+3，2m），O'（3，0），
∵B为O'A'的中点，
∴B（），
∵A、B都在反比例函数y＝上，
∴m×2m＝，
解得：m1＝0，m2＝2，
∴A（2，4），
∴k＝2×4＝8．
故答案为：8．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＞AB．点E在边AD上，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．若点F落在∠C的平分线CE上，则BE的长为 m （用含m的式子表示）．
【分析】根据折叠的性质，折叠前后对应线段相等，对应角相等，角平分线的性质知△BFC是等腰直角三角形，根据矩形的性质知△DEC是等腰直角三角形，在直角三角形中由勾股定理可知BE的长．
【解答】解：由折叠的性质可知，
BF＝AB＝m，∠BFE＝∠A＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∵CE是∠BCD的平分线，
∴∠BCF＝45°，
∴∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠BCF＝45°，
∴△BFC是等腰直角三角形，
∴BC＝＝m，
∵∠BCF＝45°，
∴∠DEC＝45°，
又∠D＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝DC＝AB＝m，
∴AE＝AD﹣DE＝BC﹣DE＝m﹣m＝（﹣1）m，
由勾股定理可知，
BE＝＝＝m．
三、解答题（本大题共11个小题，共8分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
15．（5分）计算：|1﹣|﹣（﹣）﹣1+（π﹣sin60°）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+3+1
＝+3．
16．（5分）解不等式组：
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①，得x＜5，
解不等式②，得x≥﹣3，
∴不等式组的解集是﹣3≤x＜5．
17．（5分）如图，已知在矩形ABCD中，请用尺规作图，分别在AD，BC上作点E，F，使四边形BEDF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作BD的垂直平分线交BC于E，交AD于F，则EB＝ED，FB＝FD，再BF＝BE，从而可判断四边形BEDF为菱形．
【解答】解：如图，四边形BEDF为所作．
18．（5分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：BE＝DF．
【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD＝BC，求出DE＝BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE＝DF．
19．（7分）质量检测部门对公司销售的某电子产品的使用寿命进行跟踪调查，抽查了20件产品，统计结果如表：
时间（年）
6
7
8
9
10
数量（件）
4
6
5
3
2
（1）这20件产品使用寿命的中位数是 7.5 ，众数是 7 ；
（2）求这20件产品使用寿命的平均数；
（3）若公司生产了5000件该产品，请你估计使用寿命在9年以上（含9年）的件数．
【分析】（1）根据中位数，众数的定义求解即可；
（2）根据加权平均数的定义求解即可；
（3）根据用样本估计总体的定义得到使用寿命在9年以上（含9年）的件数的分率，再乘5000计算即可求解．
【解答】解：（1）这20件产品使用寿命的中位数是（7+8）÷2＝7.5（年），众数是7年．
故答案为：7.5年，7年；
（2）＝7.65（年）．
故这20件产品使用寿命的平均数为7.65年；
（3）5000×＝1250（件）．
故使用寿命在9年以上（含9年）的件数有1250件．
20．（7分）为了测量某山（如图所示）的高度．甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为120米，已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB（结果保留根号）．
【分析】根据题意可得，AB⊥BD，∠CAB＝∠ACB＝45°，∠D＝∠EAD＝30°，CD＝100，再根据特殊角三角函数即可求出山高AB．
【解答】解：根据题意可知：
AB⊥BD，∠CAB＝∠ACB＝45°，∠D＝∠EAD＝30°，CD＝100，
在Rt△ABC中，AB＝BC，
在Rt△ABD中，BD＝BC+CD＝AB+120，
∴tan30°＝，
即＝，
解得AB＝60（+1）（米）．
答：山高AB为60（+1）米．
21．（7分）某景区售票处规定：非节假日的票价打7折售票．节假日根据团队人数x（人）实行分段售票，若x≤10，则按原票价售票；若x＞10，则其中10人按原票价售票，超过部分的按原价打8折售票．某旅行社带团到该景区游览，在非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元，y1、y2与x之间的函数图象如图所示．
（1）图象中m＝ 560 ，n＝ 1440 ；
（2）该旅行社在今年5月1日带甲团（人数超过10人）与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，两团合计100人，共付门票款6240元，求甲团人数与乙团人数．
【分析】（1）由图中信息图可得到原票价，根据原票价和实际票价可求m、n的值；
（2）设甲团人数是a，乙团人数是b，找出等量关系，列出关于a、b的一元一次方程组，解即可得人数．
【解答】解：（1）∵节假日根据团队人数x（人）实行分段售票，若x≤10，则按售票，
从图可知原票价为：800÷10＝80（元），
∴m＝80×10×0.7＝560（元），n＝800+（20﹣10）×80×0.8＝1440（元），
故答案为：560，1440；
（2）设甲团有a人，乙团有b人，
依题意，得，
解得：，
答：甲团有35人，乙团有15人．
22．（7分）在一不透明的袋子中装有四张标有数字2，3，4，5的卡片，这些卡片除数字外其余均相同．小明同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画的树状图的一部分．
（1）由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后 不放回 （填“放回”或“不放回”），第二次随机再抽出一张卡片：
（2）帮小明同学补全树状图，并求小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率．
【分析】（1）根据树状图可得答案；
（2）补全树状图，利用概率公式求解可得．
【解答】解：（1）游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后不放回，第二次随机再抽出一张卡片；
故答案为：不放回．
（2）补全树状图如图所示：
由树状图得：共有12种等可能结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，
∴小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率为＝．
23．（8分）如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB为⊙O的直径，斜边AC交⊙O于点E，AC平分∠DAB，ED⊥AD于点D，DE的延长线与BC交于点F．
（1）求证：CF＝EF；
（2）若AD：AB＝2：3，DE＝4，求CE的长．
【分析】（1）证∠C＝∠DEA，再证∠C＝∠CEF，即可得出结论；
（2）连接BE，证△ABC∽△ADE，得＝＝，求出BC＝6，AE＝AC，则CE＝AC，再证△BEC∽△ABC，得BC2＝AC•CE，求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵ED⊥AD，
∴∠DAC+∠DEA＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠C＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠CEF，
∴∠C＝∠CEF，
∴CF＝EF；
（2）解：连接BE，如图所示：
由（1）得：∠C＝∠DEA，
∵∠ABC＝∠D＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝＝，
∵AD：AB＝2：3，DE＝4，
∴＝＝，
解得：BC＝6，AE＝AC，
∴CE＝AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°＝∠ABC，
∵∠C＝∠C，
∴△BEC∽△ABC，
∴＝，
即：BC2＝AC•CE，
∴62＝3CE2，
解得：CE＝2．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接PA，以PA为边作正方形APMN，当顶点N或M恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）①如图1，点N在对称轴上时，过点P作PF⊥x轴于点F，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，证得△APF≌△NAQ，得到PF＝AQ．则有﹣x2﹣3x+4＝﹣﹣（﹣4）＝，解得即可；②如图2，当点M在对称轴上时，分别过点P作PQ⊥对称轴于点Q，PF⊥x轴于点F，证得△APF≌△MPQ（AAS），得到PF＝PQ．则有﹣n2﹣3n+4＝﹣3，解得即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（0，4），
∴，解得，
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4.
（2）①如图1，点N在对称轴上时，过点P作PF⊥x轴于点F，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，
∵∠PAF+∠FPA＝90°，∠PAF+∠QAN＝90°，
∴∠FPA＝∠QAN，
又∵∠PFA＝∠AQN＝90°，PA＝AN
∴△APF≌△NAQ（AAS），
∴PF＝AQ．
设点P坐标为（x，﹣x2﹣3x+4），则有﹣x2﹣3x+4＝﹣﹣（﹣4）＝，
解得x＝（不合题意，舍去）或x＝，
此时，点P坐标为（，）；
②如图2，当点M在对称轴上时，分别过点P作PQ⊥对称轴于点Q，PF⊥x轴于点F，
在正方形APMN中，AP＝PM，∠APM＝90°，
∴∠APF+∠FPM＝90°，∠QPM+∠FPM＝90°，
∴∠APF＝∠QPM，
∴△APF≌△MPQ（AAS）
∴PF＝PQ，
设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ＝﹣﹣n，即PF＝﹣﹣n，
∴点P的坐标为（n，﹣﹣n），
∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，
∴﹣n2﹣3n+4＝﹣3，整理得2n2+4n﹣11＝0，
解得n1＝（舍去），n2＝，
∴﹣﹣n＝﹣﹣＝，
∴此时点P的坐标为（，），
综上所述，当顶点N恰好在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，）；当顶点M恰好在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（，），
25．（12分）问题提出
（1）如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线上作一点P，使得AP+BP的值最小．
问题探究
（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 2 ．
问题解决
（3）现在各大景区都在流行“真人CS”娱乐项目，其中有一个“快速抢点”戏游戏规则如图3，在用绳子围成的一个边长为12m的正方形ABCD场地中，游戏者从AB边上的点E处出发，分别先后赶往边BC，CD，DA上插小旗子，最后回到点E．求游戏者所跑的最少路程．
【分析】（1）过点A作直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，则AP＝A′P，则点P为所求点，即可求解；
（2）由（1）知，点D关于直线AC的对称点为点B，连接EM交AC于点N，则点N为所求点，进而求解；
（3）当点E、F、G′、H′、E′在一条直线时路程最小，进而求解．
【解答】解：（1）过点A作直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，则AP＝A′P，则点P为所求点，
理由：AP+BP＝A′P+BP＝A′B为最小；
（2）由（1）知，点D关于直线AC的对称点为点B，连接EM交AC于点N，则点N为所求点，
由题意得：BC＝6，CM＝6﹣2＝4，
则此时DN+MN的最小值＝BM＝＝＝2，
故答案为：2；
（3）如图3，延长CD到D′，使CD＝CD′，
作点G关于C的对称点G，则FG＝FG′，
作A′D′⊥CD′，D′A′＝CD，作点H关于点C的对称点H′，则G′H′＝GH，
作A′B′⊥A′D′，作点E关于点C的对称点E″，则H′E″＝HE，
作点E″关于点A′的对称点E′，则H′E″＝HE，
∴H′E′＝HE，A′E′＝AE，
过点E′作E′K⊥AK，交AB的延长线于点K，则EK＝2AB，
则当点E、F、G′、H′、E′在一条直线时，路程最小为EE＝＝＝24（m），
故游戏者所跑的最少路程为24m．
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