高考数学一轮复习 第10章 第2节 课时分层训练62

课时分层训练(六十二)　古典概型

A组　基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．(2014·全国卷Ⅰ改编)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为(　　)

A.　　　　　　　　　　　 B.

C. D.

C　[设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b.则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种．

因此2本数学书相邻的概率P＝＝.]

2．(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)

A.　　　　 B. 

C.　　　　 D.

B　[设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P＝＝.]

3．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为(　　)

A. B.

C. D.

B　[点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.]

4．(2014·全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　) 【导学号：31222399】

A. B.

C. D.

D　[4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，

∴所求概率为1－＝.]

5．(2017·威海模拟)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)

A. B.

C. D.

A　[由题意知，向量m共有4×3＝12个，

由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，则满足m⊥n的m有(3,3)，(5,5)共2个，故所求概率P＝＝.]

二、填空题

6．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________．

　[基本事件总数为10，满足方程cos x＝的基本事件数为2，故所求概率为P＝＝.]

7．(2016·四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．

　[从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则有2,3；2,8；2,9；3,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12种取法，其中logab为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝＝.]

8．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．

　[记“两人都中奖”为事件A，

设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P(A)＝＝.]

三、解答题

9．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．

(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；

(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．

[解]　(1)所有可能的摸出结果是

{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．

(2)不正确．理由如下：

由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝>，故这种说法不正确．

10．(2017·天津河西联考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．

(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；

(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．

①用所给编号列出所有可能的结果；

②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．

[解]　(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.5分

(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种.8分

②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.12分

B组　能力提升

(建议用时：15分钟)

1．(2017·安徽马鞍山模拟)某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为(　　)

A. B.

C. D.

A　[先后掷两次骰子的结果共6×6＝36种．

以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为＝.]

2．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4＜0成立的事件发生的概率为________．

　[由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4＜0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果．

故所求事件的概率P＝＝.]

3．先后掷一枚质地均匀的骰子，分别记向上的点数为a，b.事件A：点(a，b)落在圆x2＋y2＝12内；事件B：f(a)＜0，其中函数f(x)＝x2－2x＋.

(1)求事件A发生的概率；

(2)求事件A，B同时发生的概率．

[解]　(1)先后掷一枚质地均匀的骰子，有6×6＝36种等可能的结果．

满足落在圆x2＋y2＝12内的点(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个．

所以事件A发生的概率P(A)＝＝.5分

(2)由f(a)＝a2－2a＋＜0，得＜a＜.

又a∈{1,2,3,4,5,6}，知a＝1.所以事件A，B同时发生时，有(1,1)，(1,2)，(1,3)共3种情形.10分

故事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝＝.12分