高考数学一轮复习 选修4－5 第1节 绝对值不等式

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选修4－5　不等式选讲
第一节　绝对值不等式
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[考纲传真]　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.


1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：
不等式
a>0
a＝0
a0，|x－1|1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞).10分

[思想与方法]
1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，几何法(利用绝对值几何意义)，构造函数法．前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想的应用．
2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．
[易错与防范]
1．利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．
2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)的不等式，在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c≤0，则不等式解集为R.
课时分层训练(六十九)　绝对值不等式
1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．
(1)求m＋n的值；
(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1.
[解]　(1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，
得1≤x≤2，3分
∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.5分
(2)证明：若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1.10分
2．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值．
[解]　当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意；
当a＜－1时，f(x)＝
3分
f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，
解得a＝－6；5分
当a＞－1时，f(x)＝
7分
f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，
解得a＝4.9分
综上所述，实数a的值为－6或4.10分
3．(2017·衡水中学调研)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. 【导学号：31222445】
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝－3时，
不等式f(x)≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*)
若x≤2时，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1.
若2＜x＜3时，由(*)式知，解集为∅.
若x≥3时，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4.
综上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}.4分
(2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**)
当1≤x≤2时，(**)式化为4－x－(2－x)≥|x＋a|，
解得－2－a≤x≤2－a.8分
由条件，[1,2]是f(x)≤|x－4|的解集的子集，
∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0，
故满足条件的实数a的取值范围是[－3,0].10分
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
[解]　(1)f(x)＝
当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；
当－＜x＜时，f(x)＜2；
当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}.5分
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.10分
5．(2017·湖南长郡中学模拟)已知正实数a，b满足：a2＋b2＝2.
【导学号：31222446】
(1)求＋的最小值m；
(2)设函数f(x)＝|x－t|＋(t≠0)，对于(1)中求得的m是否存在实数x，使得f(x)＝成立，说明理由．
[解]　(1)∵2＝a2＋b2≥2ab，
∴≥ab(a＞0，b＞0)，则≤1.
又＋≥≥2，
当且仅当a＝b时取等号，
∴＋的最小值m＝2.5分
(2)函数f(x)＝|x－t|＋≥＝＝|t|＋≥2.
对于(1)中的m＝2，＝1＜2.
∴满足条件的实数x不存在.10分
6．(2017·郑州质检)已知函数f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式|x－1|＜f(x)；
(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)依题设，得|x－1|＜|3x＋2|，
所以(x－1)2＜(3x＋2)2，则x＞－或x＜－，
故原不等式的解集为.4分
(2)因为m＋n＝1(m＞0，n＞0)，
所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，
当且仅当m＝n＝时，等号成立．
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|
＝8分
则x＝－时，g(x)取得最大值＋a，
要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4.
解得a≤.
又a＞0，因此0＜a≤.10分