高考数学一轮复习 选修4－4 第2节 参数方程

这是一份高考数学一轮复习 选修4－4 第2节 参数方程，共10页。

1．曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt))并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
2．参数方程与普通方程的互化
通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt))就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
3．常见曲线的参数方程和普通方程
温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt))中的x，y都是参数t的函数．( )
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段eq \(M0M,\s\up8(→))的数量．( )
(3)方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝1＋2sin θ))表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )
(4)已知椭圆的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs t，,y＝4sin t))(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝eq \f(π,3)，点O为原点，则直线OM的斜率为eq \r(3).( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs θ，,y＝2＋sin θ))(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上
B [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs θ，,y＝2＋sin θ，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ＝x＋1，,sin θ＝y－2，))
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，
所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]
3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)的普通方程为________．
x－y－1＝0 [由x＝2＋eq \f(\r(2),2)t，且y＝1＋eq \f(\r(2),2)t，
消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.]
4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cs θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t2，,y＝2\r(2)t))(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．
(2，－4) [由ρ(cs θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2.①
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t2，,y＝2\r(2)t，))消去t得y2＝8x.②
联立①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－4，))即交点坐标为(2，－4)．]
5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，椭圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．
[解] 椭圆C的普通方程为x2＋eq \f(y2,4)＝1.2分
将直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))代入x2＋eq \f(y2,4)＝1，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)t))2＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)t))2,4)＝1，即7t2＋16t＝0，8分
解得t1＝0，t2＝－eq \f(16,7)，所以AB＝|t1－t2|＝eq \f(16,7).10分
已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a－2t，,y＝－4t))(t为参数)，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs θ，,y＝4sin θ))(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
[解] (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，2分
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.4分
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝eq \f(|－2a|,\r(5))≤4，8分
解得－2eq \r(5)≤a≤2eq \r(5).10分
[规律方法] 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形．
[变式训练1] 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝t－a))(t为参数)过椭圆C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs φ，,y＝2sin φ))(φ为参数)的右顶点，求常数a的值. 【导学号：31222440】
[解] 直线l的普通方程为x－y－a＝0，
椭圆C的普通方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，4分
所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，
若直线l过椭圆的右顶点(3,0)，
则3－0－a＝0，所以a＝3.10分
已知曲线C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t为参数).
【导学号：31222441】
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
[解] (1)曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝3sin θ))(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.4分
(2)曲线C上任意一点P(2cs θ，3sin θ)到l的距离为d＝eq \f(\r(5),5)|4cs θ＋3sin θ－6|，
则|PA|＝eq \f(d,sin 30°)＝eq \f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝eq \f(4,3).8分
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为eq \f(22\r(5),5).
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为eq \f(2\r(5),5).10分
[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．
2．对于形如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
[变式训练2] (2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs θ，,y＝4sin θ))(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝eq \f(π,6).
(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；
(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．
[解] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs θ，,y＝4sin θ，))消去θ，
得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.2分
又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝eq \f(π,6)，
所以l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs\f(π,6)，,y＝2＋tsin\f(π,6)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝2＋\f(1,2)t))(t为参数).4分
(2)把直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝2＋\f(1,2)t))代入x2＋y2＝16，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(3),2)t))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,2)t))2＝16，t2＋(eq \r(3)＋2)t－11＝0，
所以t1t2＝－11，8分
由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.10分
(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs α，,y＝sin α))(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2eq \r(2).
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
[解] (1)C1的普通方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1，2分
由于曲线C2的方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2eq \r(2)，
所以ρsin θ＋ρcs θ＝4，
因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.4分
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(eq \r(3)cs α，sin α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，8分
又d(α)＝eq \f(|\r(3)cs α＋sin α－4|,\r(2))＝eq \r(2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－2))，
当且仅当α＝2kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为eq \r(2)，此时P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2))).10分
[规律方法] 1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．
[变式训练3] (2017·石家庄市质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t，,y＝3＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cs θ.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．
[解] (1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，
∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcs θ，
∴曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.4分
(2)将直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t，,y＝3＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，得到t2＋2eq \r(2)t－3＝0，8分
∴t1t2＝－3，
∴|PA||PB|＝|t1t2|＝3.10分
[思想与方法]
1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cs2θ＋sin2θ＝1,1＋tan2θ＝eq \f(1,cs2θ).
2．利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题是行之有效的好方法．
3．将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题求解，化生为熟，充分体现了转化与化归思想的应用．
[易错与防范]
1．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性．在消去参数的过程中，要注意x，y的取值范围．
2．确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．
3．设过点M(x0，y0)的直线l交曲线C于A，B两点，若直线的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)注意以下两个结论的应用：
(1)|AB|＝|t1－t2|；
(2)|MA|·|MB|＝|t1·t2|.
课时分层训练(六十八) 参数方程
1．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋3cs t，,y＝－2＋3sin t))(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为eq \r(2)ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝m(m∈R).
【导学号：31222442】
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
[解] (1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.2分
由eq \r(2)ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝m，得ρsin θ－ρcs θ－m＝0，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.4分
(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，8分
即eq \f(|1－－2＋m|,\r(2))＝2，
解得m＝－3±2eq \r(2).10分
2．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝\r(3)t))(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cs θ. 【导学号：31222443】
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|.
[解] (1)由ρsin2θ＝8cs θ，得ρ2sin2θ＝8ρcs θ，
故曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.4分
(2)将直线l的方程化为标准形式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t.))6分
代入y2＝8x，并整理得3t2－16t－64＝0，t1＋t2＝eq \f(16,3)，t1t2＝－eq \f(64,3).8分
所以|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝eq \f(32,3).10分
3．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝eq \r(10)，求l的斜率．
[解] (1)由x＝ρcs θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcs θ＋11＝0.4分
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcs α＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cs α，ρ1ρ2＝11.8分
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝eq \r(ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2)
＝eq \r(144cs2α－44).
由|AB|＝eq \r(10)得cs2α＝eq \f(3,8)，tan α＝±eq \f(\r(15),3).
所以l的斜率为eq \f(\r(15),3)或－eq \f(\r(15),3).10分
4．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝eq \r(3)x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
[解] (1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs t，,y＝sin t))(t为参数，0≤t≤π).4分
(2)设D(1＋cs t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝eq \r(3)，t＝eq \f(π,3).8分
故D的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋cs \f(π,3)，sin \f(π,3)))，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2))).10分
5．(2017·湖北七市三联)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝sin α＋cs α，,y＝1＋sin 2α))(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2eq \r(2)acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,4)))(a＞0)．
(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)；
(2)若直线l与C2相切，求a的值．
[解] (1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2，,x＋y＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝4))(舍去)．
故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1,1)，其极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4))).4分
(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即
(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a＞0).8分
由直线l与C2相切，得eq \f(|－a＋a－2|,\r(2))＝eq \r(2)a，故a＝1.10分
6．(2017·福州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs α，,y＝sin α))(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2).
(1)求C的普通方程和l的倾斜角；
(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.
[解] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs α，,y＝sin α))消去参数α，得eq \f(x2,9)＋y2＝1，
即C的普通方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.2分
由ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2)，得ρsin θ－ρcs θ＝2，(*)
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入(*)，化简得y＝x＋2，
所以直线l的倾斜角为eq \f(π,4).4分
(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs\f(π,4)，,y＝2＋tsin\f(π,4)))(t为参数)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，
代入eq \f(x2,9)＋y2＝1并化简，得5t2＋18eq \r(2)t＋27＝0，
Δ＝(18eq \r(2))2－4×5×27＝108＞0，8分
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－eq \f(18\r(2),5)＜0，t1t2＝eq \f(27,5)＞0，所以t1＜0，t2＜0，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝eq \f(18\r(2),5).10分
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝rcs θ，,y＝rsin θ))(θ为参数)
椭圆
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs φ，,y＝bsin φ))(φ为参数)
参数方程与普通方程的互化
参数方程的应用
参数方程与极坐标方程的综合应用