高考数学一轮复习第8章第7节课时分层训练51

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这是一份高考数学一轮复习第8章第7节课时分层训练51，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2016·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )
A．(0,2) B．(0,1)
C．(2,0)D．(1,0)
D [由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]
2．(2017·云南昆明一中模拟)已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为( )
A．4B．3
C．2D．1
B [由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为eq \f(2＋4,2)＝3.]
3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的渐近线的距离是( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(\r(3),2)
C．1D.eq \r(3)
B [由双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1知其渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，即eq \r(3)x±y＝0，
又y2＝4x的焦点F(1,0)，
∴焦点F到直线的距离d＝eq \f(\r(3),\r(\r(3)2＋－12))＝eq \f(\r(3),2).]
4．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝±2eq \r(2)xB．y2＝±2x
C．y2＝±4xD．y2＝±4eq \r(2)x
D [因为双曲线的焦点为(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)．
设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则eq \f(p,2)＝eq \r(2)，p＝2eq \r(2).
所以抛物线方程为y2＝±4eq \r(2)x.]
5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq \r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq \r(2)，则△POF的面积为( )
【导学号：31222325】
A．2B．2eq \r(2)
C．2eq \r(3)D．4
C [如图，设点P的坐标为(x0，y0)，
由|PF|＝x0＋eq \r(2)＝4eq \r(2)，得x0＝3eq \r(2)，
代入抛物线方程得，yeq \\al(2,0)＝4eq \r(2)×3eq \r(2)＝24，
所以|y0|＝2eq \r(6)，
所以S△POF＝eq \f(1,2)|OF||y0|＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×2eq \r(6)＝2eq \r(3).]
二、填空题
6．(2017·山西四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为__________. 【导学号：31222326】
8 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝x－1，))消去y得x2－6x＋1＝0.
所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
7．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为__________．
－eq \f(3,4) [∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上．
∴－eq \f(p,2)＝－2，∴p＝4，焦点F(2,0)．
因此kAF＝eq \f(3－0,－2－2)＝－eq \f(3,4).]
8．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为__________．
x2＝3y [设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝ay，,y＝2x－2，))消去y，得x2－2ax＋2a＝0，
所以eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(2a,2)＝3，即a＝3，
因此所求的抛物线方程是x2＝3y.]
三、解答题
9．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2eq \r(5)，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．
[解] 由题意，设抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．
设公共弦MN交y轴于A，则|MA|＝|AN|，
且AN＝eq \r(5).3分
∵|ON|＝3，∴|OA|＝eq \r(32－\r(5)2)＝2，
∴N(eq \r(5)，±2).6分
∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±eq \f(5,2)，
故抛物线的方程为x2＝eq \f(5,2)y或x2＝－eq \f(5,2)y.8分
抛物线x2＝eq \f(5,2)y的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,8)))，
准线方程为y＝－eq \f(5,8).10分
抛物线x2＝－eq \f(5,2)y的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,8)))，
准线方程为y＝eq \f(5,8).12分
10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq \(OC,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋λeq \(OB,\s\up8(→))，求λ的值．
[解] (1)由题意得直线AB的方程为y＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(5p,4).3分
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(5p,4)＋p＝9，
所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.5分
(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2eq \r(2)，y2＝4eq \r(2)，
从而A(1，－2eq \r(2))，B(4,4eq \r(2)).8分
设C(x3，y3)，则eq \(OC,\s\up8(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq \r(2))＋λ(4,4eq \r(2))＝(4λ＋1,4eq \r(2)λ－2eq \r(2)).10分
又yeq \\al(2,3)＝8x3，所以[2eq \r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12分
B组能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A.eq \f(\r(30),3)B．6
C．12D．7eq \r(3)
C [∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，
∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，
∴AB的方程为y－0＝tan 30°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，即y＝eq \f(\r(3),3)x－eq \f(\r(3),4).
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝3x，,y＝\f(\r(3),3)x－\f(\r(3),4)，))得eq \f(1,3)x2－eq \f(7,2)x＋eq \f(3,16)＝0，
∴x1＋x2＝－eq \f(－\f(7,2),\f(1,3))＝eq \f(21,2)，即xA＋xB＝eq \f(21,2).
由于|AB|＝xA＋xB＋p，
∴|AB|＝eq \f(21,2)＋eq \f(3,2)＝12.]
2．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若eq \(MA,\s\up8(→))·eq \(MB,\s\up8(→))＝0，则k＝__________.
2 [抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝4＋eq \f(8,k2)，x1x2＝4.
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝eq \f(8,k)，
y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.
因为eq \(MA,\s\up8(→))·eq \(MB,\s\up8(→))＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)
＝eq \f(16,k2)－eq \f(16,k)＋4.
所以eq \f(16,k2)－eq \f(16,k)＋4＝0，则k2－4k＋4＝0.
因此得k＝2.]
3．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
(1)若eq \(AF,\s\up8(→))＝2 eq \(FB,\s\up8(→))，求直线AB的斜率；
(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
【导学号：31222328】
[解] (1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得
y2－4my－4＝0.2分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
因为eq \(AF,\s\up8(→))＝2 eq \(FB,\s\up8(→))，所以y1＝－2y2.
联立上述三式，消去y1，y2得m＝±eq \f(\r(2),4).
所以直线AB的斜率是±2eq \r(2).5分
(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，
从而点O与点C到直线AB的距离相等，
所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.8分
因为2S△AOB＝2×eq \f(1,2)·|OF|·|y1－y2|
＝eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝4eq \r(1＋m2)，
所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.12分