初中数学16.3 二次根式的加减第2课时教学设计

这是一份初中数学16.3 二次根式的加减第2课时教学设计，共2页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。


1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)
2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)

一、情境导入
如果梯形的上、下底边长分别为2eq \r(2)cm，4eq \r(3)cm，高为eq \r(6)cm，那么它的面积是多少？
毛毛是这样算的：
梯形的面积：eq \f(1,2)(2eq \r(2)＋4eq \r(3))×eq \r(6)＝(eq \r(2)＋2eq \r(3))×eq \r(6)＝eq \r(2)×eq \r(6)＋2eq \r(3)×eq \r(6)＝eq \r(2×6)＋2eq \r(18)＝2eq \r(3)＋6eq \r(2)(cm2)．
他的做法正确吗？
二、合作探究
探究点一：二次根式的混合运算
【类型一】 二次根式的四则运算
计算：
(1)eq \f(1,2)eq \r(2\f(2,3))×9eq \r(\f(1,45))÷eq \r(\f(3,5))；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(12)－2\r(\f(1,3))＋\r(48)))÷2eq \r(3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,3))))eq \s\up12(2)；
(3)eq \r(2)－(eq \r(3)＋2)÷eq \r(3).
解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．
解：(1)原式＝eq \f(1,2)×9×eq \r(\f(8,3)×\f(1,45)×\f(5,3))＝eq \f(1,2)×9×eq \f(2\r(2),9)＝eq \r(2)；
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\r(3)－\f(2\r(3),3)＋4\r(,3)))÷2eq \r(3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(28\r(3),3)×eq \f(1,2\r(,3))＋eq \f(1,3)＝eq \f(14,3)＋eq \f(1,3)＝5；
(3)原式＝eq \r(2)－(eq \r(3)＋2)÷eq \f(1,\r(3))＝eq \r(2)－eq \f(\r(3)＋2,\r(3))＝eq \r(2)－1－eq \f(2\r(3),3).
方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算
计算：
(1)(eq \r(2)＋eq \r(3)－eq \r(6))(eq \r(2)－eq \r(3)＋eq \r(6))；
(2)(eq \r(2)－1)2＋2eq \r(2)(eq \r(3)－eq \r(2))(eq \r(3)＋eq \r(2))；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(6)－\f(1,3)\r(\f(3,2))－\f(3,4)\r(24)))×(－2eq \r(6))．
解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．
解：(1)原式＝[eq \r(2)＋(eq \r(3)－eq \r(6))][eq \r(2)－(eq \r(3)－eq \r(6))]＝(eq \r(2))2－(eq \r(3)－eq \r(6))2＝2－(9－2eq \r(18))＝2－9＋6eq \r(2)＝－7＋6eq \r(2)；
(2)原式＝2－2eq \r(2)＋1＋2eq \r(2)×(3－2)＝2－2eq \r(2)＋1＋2eq \r(2)＝3；
(3)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(,6)－\f(\r(,6),6)－\f(3,2)\r(,6)))×(－2eq \r(,6))＝－eq \f(2,3)eq \r(,6)×(－2eq \r(,6))＝8.
方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．
探究点三：二次根式混合运算的综合运用
【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型
对于任意的正数m、n定义运算※为m※n＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(m)－\r(n)（m≥n），,\r(m)＋\r(n)（mA．2－4eq \r(6) B．2 C．2eq \r(5) D．20
解析：∵3＞2，∴3※2＝eq \r(3)－eq \r(2).∵8＜12，∴8※12＝eq \r(8)＋eq \r(12)＝2(eq \r(2)＋eq \r(3))，∴(3※2)×(8※12)＝(eq \r(3)－eq \r(2))×2(eq \r(2)＋eq \r(3))＝2.故选B.
方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．
【类型二】 二次根式运算的拓展应用
请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用eq \f(1,\r(,5))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(,5),2)))\s\up12(n)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(,5),2)))\s\up12(n)))表示(其中，n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
解析：分别把n＝1、2代入式子化简即可．
解：第1个数，当n＝1时，eq \f(1,\r(,5))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(,5),2)))\s\up12(n)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(,5),2)))\s\up12(n)))＝eq \f(1,\r(,5))[eq \f(1＋\r(,5),2)－eq \f(1－\r(,5),2)]＝eq \f(1,\r(,5))×eq \r(,5)＝1；
第2个数，当n＝2时，eq \f(1,\r(,5))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(,5),2)))\s\up12(n)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(,5),2)))\s\up12(n)))＝eq \f(1,\r(,5))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(,5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(,5),2)))\s\up12(2)))＝eq \f(1,\r(,5))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(,5),2)＋\f(1－\r(,5),2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(,5),2)－\f(1－\r(,5),2)))＝eq \f(1,\r(,5))×1×eq \r(,5)＝1.
方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
三、板书设计
1．二次根式的四则运算
先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．
2．运用乘法公式和运算律进行计算
在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．
本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.