初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试精练

第二十三章检测卷

(120分钟　150分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)

1.下列图形,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是

2.将大写字母E绕点P按顺时针方向旋转90°得到的图形是

3.下列说法中,正确的有

①平行四边形是中心对称图形;②两个全等三角形一定成中心对称;③中心对称图形的对称中心是连接两对称点的线段的中点;④一个图形若是轴对称图形,则一定不是中心对称图形;⑤一个图形若是中心对称图形,则一定不是轴对称图形.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如图,已知点O是六边形ABCDEF的中心,图中所有的三角形都是等边三角形,则下列说法正确的是

A.△ODE绕点O顺时针旋转60°得到△OBC

B.△ODE绕点O逆时针旋转120°得到△OAB

C.△ODE绕点F顺时针旋转60°得到△OAB

D.△ODE绕点C逆时针旋转90°得△OAB

5.在直角坐标系中,将点(-2,3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度,得到的点的坐标是

A.(4,-3) B.(-4,3) 

C.(0,-3) D.(0,3)

6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,△ABC绕着点B逆时针旋转90°到△A'BC'的位置,则AA'的长为

A.10 B.10 

C.20 D.5

7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC,此时点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,则n的大小和图中阴影部分的面积分别为

A.30,2 B.60,2

C.60, D.60,

8.如图,在平面直角坐标系中,将△ABC绕点C(0,1)旋转180°得到△A'B'C,设点A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为

A.(-a,-b) 

B.(-a,-b-1) 

C.(-a,-b+1) 

D.(-a,-b+2)

9.有两个完全重合的直尺,将其中一个始终保持不动,另一个直尺绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转,每次均旋转45°,第1次旋转后得到图①,第2次旋转后得到图②,…,则第10次旋转后得到的图形与图①~④中相同的是

A.图① B.图② C.图③ D.图④

10.Rt△ABC中,AB=AC,点D为BC中点.∠MDN=90°,∠MDN绕点D旋转,DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点.下列结论:

①(BE+CF)=BC;②S△AEF≤S△ABC;③S四边形AEDF=AD·EF;④AD≥EF;⑤AD与EF可能互相平分,其中正确结论的个数是

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)

11.已知a<0,则点P(-a2,-a+1)关于原点的对称点P'在第　四　象限. 

12.如图所示,把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转,使得点A落在CB延长线上的点E处,则∠BDC=　15°　. 

13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AB=6,Rt△AB'C'可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的,则线段B'C的长为　3　. 

14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AC=6,BC的中点为D,将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC,EF的中点为G,连接DG在旋转过程中,DG的最大值是　9　. 

三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)

15.如图,四边形ABCD绕点O旋转后,顶点A的对应点为点E.试确定旋转后的四边形.

解:如图所示,四边形EB'C'D'即为四边形ABCD绕点O旋转后的四边形.

16.如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上一点,且AF=AB,请你用旋转的方法说明线段BE和DF之间的关系.

解:∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠BAD=90°,∵E是AD的中点,AF=AB,∴AE=AF,∴△DFA≌△BEA,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°可得到△ADF,∴BE=DF,BE⊥DF.

四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)

17.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,A,B,C三点在格点上.

(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点C1的坐标;

(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答案图

解:(1)如图,C1(-3,2).

(2)如图,C2(-3,-2).

18.已知点P(x+1,2x-1)关于原点的对称点在第一象限,试化简:|x-3|-|1-x|.

解:∵点P(x+1,2x-1)关于原点的对称点P'的坐标为(-x-1,-2x+1),点P'在第一象限,

∴∴x<-1,

∴|x-3|-|1-x|=-x+3-1+x=2.

五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)

19.如图,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上的一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,要使点D恰好落在BC上,求AP的长.

解:如图,

∵AC=9,AO=3,∴OC=6,

∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠C=60°,

∵线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD,要使点D恰好落在BC上,

∴OD=OP,∠POD=60°,

∵∠1+∠2+∠A=180°,∠1+∠3+∠POD=180°,∴∠1+∠2=120°,∠1+∠3=120°,

∴∠2=∠3,

在△AOP和△CDO中,

∴△AOP≌△CDO,∴AP=CO=6.

20.在平面直角坐标系中,O为原点,B(0,6),A(8,0),以点B为旋转中心把△ABO逆时针旋转,得△A'BO',点O,A旋转后的对应点为O',A',记旋转角为β.

(1)如图1,若β=90°,求AA'的长;

(2)如图2,若β=120°,求点O'的坐标.

解:(1)∵β=90°,∴∠A'BA=90°,

∵A(8,0),B(0,6),∴OA=8,OB=6,

根据勾股定理得,AB==10,

由旋转的性质得,A'B=AB=10,

在Rt△A'BA中,根据勾股定理得,AA'==10.

(2)如图,过点O'作O'C⊥y轴于点C,

由旋转的性质得,O'B=OB=6,

∵β=120°,

∴∠OBO'=120°,∴∠O'BC=180°-120°=60°,

∴BC=O'B=×6=3,

CO'==3,

∴OC=OB+BC=6+3=9,∴点O'的坐标为(3,9).

六、(本题满分12分)

21.如图,在等腰△ABC中,∠CAB=90°,P是△ABC内一点,PA=1,PB=3,PC=,将△APB绕点A逆时针旋转后与△AQC重合.求:

(1)线段PQ的长;

(2)∠APC的度数.

解:(1)∵△APB绕点A旋转与△AQC重合,

∴AQ=AP=1,∠QAP=∠CAB=90°,

∴在Rt△APQ中,PQ=.

(2)∵∠QAP=90°,AQ=AP,∴∠APQ=45°.

∵△APB绕点A旋转与△AQC重合,

∴CQ=BP=3.

在△CPQ中,PQ=,CQ=3,CP=,

∴CP2+PQ2=CQ2,∴∠CPQ=90°,

∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=135°.

七、(本题满分12分)

22.如图,▱ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=,对角线BD,AC交于点O.将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC,AD于点E,F.

(1)试说明在旋转过程中,AF与CE总保持相等;

(2)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;

(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能请说明理由;如果能,求出此时AC绕点O顺时针旋转的角度.

解:(1)在▱ABCD中,AD∥BC,OA=OC,∴∠1=∠2,

在△AOF和△COE中,∴△AOF≌△COE(ASA),∴AF=CE.

(2)由题意,∠AOF=90°(如图1),

又∵AB⊥AC,∴∠BAO=90°,

∴∠BAO=∠AOF,∴AB∥EF,

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,即AF∥BE,

∵AB∥EF,AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形.

(3)当EF⊥BD时,四边形BEDF是菱形(如图2).

由(1)知,AF=CE,∵▱ABCD,∴AD=BC,AD∥BC,∴DF∥BE,DF=BE,∴四边形BEDF是平行四边形,

又∵EF⊥BD,∴▱BEDF是菱形,

∵AB⊥AC,∴在△ABC中,∠BAC=90°,∴BC2=AB2+AC2,

∵AB=1,BC=,∴AC==2,

∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=AC=×2=1,

∵在△AOB中,AB=AO=1,∠BAO=90°,

∴∠1=45°,

∵EF⊥BD,∴∠BOF=90°,∴∠2=∠BOF-∠1=90°-45°=45°,

即旋转角为45°.

八、(本题满分14分)

23.如图1,在正方形ABCD中,点M,N分别在AD,CD上,若∠MBN=45°,易证MN=AM+CN.

(1)如图2,在梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD,点M,N分别在AD,CD上,若∠MBN=∠ABC,试探究线段MN,AM,CN有怎样的数量关系?请写出猜想,并给予证明.

(2)如图3,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M,N分别在DA,CD的延长线上,若∠MBN=∠ABC,试探究线段MN,AM,CN又有怎样的数量关系?请直接写出猜想,不需证明.

解:(1)MN=AM+CN.理由如下:

如图2,∵BC∥AD,AB=BC=CD,∴梯形ABCD是等腰梯形,∴∠A+∠BCD=180°,

把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合,则△ABM≌△CBM',

∴AM=CM',BM=BM',∠A=∠BCM',∠ABM=∠M'BC,

∴∠BCM'+∠BCD=180°,∴点M',C,N三点共线,

∵∠MBN=∠ABC,∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=∠ABC,∴∠MBN=∠M'BN,

在△BMN和△BM'N中,

∴△BMN≌△BM'N(SAS),∴MN=M'N,

又∵M'N=CM'+CN=AM+CN,∴MN=AM+CN.

(2)MN=CN-AM.