2018年中考复习数学《圆的证明与计算》专项检测（含答案）

这是一份2018年中考复习数学《圆的证明与计算》专项检测（含答案），共48页。

(1)求证：PA·PB＝PD·PC；
(2)若PA＝eq \f(45,4)，AB＝eq \f(19,4)，PD＝DC＋2，求点O到PC的距离．
第1题图
2. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，连接PA，PB，PC.
(1)如图①，若∠BPC＝60°，求证：AC＝eq \r(3)AP；
(2)如图②，若sin∠BPC＝eq \f(24,25)，求tan∠PAB的值．
第2题图
3. 已知⊙O中弦AB⊥弦CD于E，tan∠ACD＝eq \f(3,2).
(1)如图①，若AB为⊙O的直径，BE＝8，求AC的长；
(2)如图②，若AB不为⊙O的直径，BE＝4，F为eq \(BC,\s\up8(︵))上一点，eq \(BF,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，且CF＝7，求AC的长．
第3题图
4.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE.
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若 DE＝3，BD－AD＝2，求⊙O的半径；
(3)在(2)的条件下，求弦AE的长．
第4题图
5.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点， ∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状：________；
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)当点P位于eq \(AB,\s\up8(︵))的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

第5题图 备用图
类型二 与切线有关的证明与计算
(eq \x(一、与三角函数结合)
1.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.
(1)求证：AC与⊙O相切；
(2)当BD＝6，sinC＝eq \f(3,5)时，求⊙O的半径．
第1题图
2.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.
(1)求证：∠PCA＝∠ABC；
(2)过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若
sin∠P＝eq \f(3,5)，CF＝5，求BE的长．

第2题图
3. 如图①，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，点P在BA的延长线上，且满足∠PDA＝∠ADC.
(1)判断直线PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)延长DO交⊙O于M(如图②)，当M恰为eq \(BC,\s\up8(︵))的中点时，试求eq \f(DE,BE)的值；
(3)若PA＝2，tan∠PDA＝eq \f(1,2)，求⊙O的半径．
第3题图
eq \x(二、与相似三角形结合)
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE.
(1)求证：△ABC∽△CBD；
(2)求证：直线DE是⊙O的切线．
第1题图
2. 如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连接BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连接DF.
(1)求证：CO·CD＝DE·BO；
(2)若⊙O的半径为5，sin∠DFE＝eq \f(3,5)，求EF的长．
第2题图
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，sin∠ADE＝eq \f(4,5)，求BF的长．
第3题图
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.
(1)若∠B＝30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；
(2)若AC＝6，AB＝10，连接AD，求⊙O的半径和AD的长．
第4题图
5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD＝DC，延长CB交⊙O于点E.
(1)图①的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；
(2)如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.
①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；
②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)
第5题图
6.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，OF延长线交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)求证：CE2＝EH·EA；
(3)若⊙O的半径为5，sinA＝eq \f(3,5)，求BH的长．
第6题图
7.如图①，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E(BE＞EC)，且BD＝2eq \r(3).过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F.
(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若∠BAC＝60°，DE＝eq \r(7)，求图中阴影部分的面积；
(3)若eq \f(AB,AC)＝eq \f(4,3)，DF＋BF＝8，如图②，求BF的长．
第7题图
eq \x(三、与全等三角形结合)
1.如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．
(1)求证：PN与⊙O相切；
(2)如果∠MPC＝30°，PE＝2eq \r(3)，求劣弧eq \(BE,\s\up8(︵))的长．
第1题图
2.如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，
△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC＝60°.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O的半径为2.试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
第2题图
3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.
(1)求证：AE与⊙O相切；
(2)连接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的长和tanB的值．

第3题图
4. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.
(1)求证：直线PA为⊙O的切线；
(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
(3)若BC＝6，tan∠F＝eq \f(1,2)，求cs∠ACB的值和线段PE的长．
第4题图
5. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD，交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F.
(1)求证：PD∥AB；
(2)求证：DE＝BF；
(3)若AC＝6，tan∠CAB＝eq \f(4,3)，求线段PC的长．
第5题图
6.如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若PD＝eq \f(16,3)，AC＝8，求图中阴影部分的面积；
(3)在(2)的条件下，若点E是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，连接CE，求CE的长．
第6题图
7. 如图①，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OG∥BD，过点A作⊙O的切线，与OG相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.
(1)求证：GD＝GA；
(2)求证：△DEF是等腰三角形；
(3)如图②，连接BC，过点B作BH⊥GE，垂足为点H，若BH＝9，⊙O的直径是25，求△CBF的周长．
第7题图
专题二 圆的证明与计算
类型一 圆基本性质的证明与计算
第1题解图
1. (1)证明：如解图，连接AD，BC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠PAD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，
∴△PAD∽△PCB，
∴eq \f(PA,PD)＝eq \f(PC,PB)，
∴PA·PB＝PD·PC；
(2)解：如解图，连接OD，过O点作OE⊥DC于点E，
∵PA＝eq \f(45,4)，AB＝eq \f(19,4)，PD＝DC＋2，
∴PB＝PA＋AB＝16，PC＝PD＋DC＝2DC＋2，
∵PA·PB＝PD·PC，
∴eq \f(45,4)×16＝(DC＋2)(2DC＋2)，
解得DC＝8或DC＝－11(舍去)，
∴DE＝eq \f(1,2)DC＝4，
∵OD＝5，
∴在Rt△ODE中，OE＝eq \r(OD2－DE2)＝3，
即点O到PC的距离为3.
2. (1)证明：∵∠BAC与∠BPC是同弧所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠BPC＝60°，
又∵AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵点P是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，
∴eq \(PA,\s\up8(︵))＝eq \(PB,\s\up8(︵))，
∴∠ACP＝∠BCP＝eq \f(1,2)∠ACB＝30°，
而∠APC＝∠ABC＝60°，
∴△APC为直角三角形，
∴tan∠APC＝eq \f(AC,AP)，
∴AC＝APtan60°＝eq \r(3)AP；
(2)解：连接AO并延长交PC于点E，交BC于点F，过点E作EG⊥AC于点G，连接OC，BO，如解图，
第2题解图
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∴BF＝CF，
∵点P是eq \(AB,\s\up8(︵))中点，
∴∠ACP＝∠PCB，
∴EG＝EF.
∵∠BPC＝∠BAC＝eq \f(1,2)∠BOC＝∠FOC，
∴sin∠FOC＝sin∠BPC＝eq \f(24,25)，
设FC＝24a，则OC＝OA＝25a，
∴OF＝eq \r(OC2－FC2)＝7a，AF＝25a＋7a＝32a，
在Rt△AFC中，∵AC2＝AF2＋FC2，
∴AC＝eq \r(（32a）2＋（24a）2)＝40a，
∵∠EAG＝∠CAF，
∴△AEG∽△ACF，
∴eq \f(EG,CF)＝eq \f(AE,AC)，
又∵EG＝EF，AE＝AF－EF，
∴eq \f(EG,24a)＝eq \f(32a－EG,40a)，
解得EG＝12a，
在Rt△CEF中，tan∠ECF＝eq \f(EF,FC)＝eq \f(12a,24a)＝eq \f(1,2)，
∵∠PAB＝∠PCB，
∴tan∠PAB＝tan∠PCB＝tan∠ECF＝eq \f(1,2).
第3题解图①
3. 解：(1)如解图①，连接BD，
∵直径AB⊥弦CD于点E，
∴CE＝DE，
∵∠ACD与∠ABD是同弧所对的圆周角，
∴∠ACD＝∠ABD，
∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝eq \f(3,2)，
∴eq \f(ED,EB)＝eq \f(AE,CE)＝eq \f(3,2)，即eq \f(ED,8)＝eq \f(3,2)，
∴ED＝12，
∴CE＝ED＝12，
又∵AE＝eq \f(3,2)CE＝18，
∴AC＝eq \r(AE2＋CE2)＝6eq \r(13)；
(2)连接CB，过B作BG⊥CF于G，如解图②，
第3题解图②
∵eq \(BF,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，
∴∠BCE＝∠BCG，
在△CEB和△CGB中
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BCE＝∠BCG,∠BEC＝∠BGC,BC＝BC))，
∴△CEB≌△CGB(AAS)，
∴BE＝BG＝4，
∵四边形ACFB内接于⊙O，
∴∠A＋∠CFB＝180°，
又∵∠CFB＋∠BFG＝180°，
∴∠BFG＝∠A，
∵∠FGB＝∠AEC＝90°，
∴△BFG∽△CAE，
∴eq \f(FG,BG)＝eq \f(AE,CE)＝eq \f(3,2)，
∴FG＝eq \f(3,2)BG＝6，
∴CE＝CG＝13，
∴AE＝eq \f(3,2)CE＝eq \f(39,2)，
∴AC＝eq \r(AE2＋CE2)＝eq \f(13,2)eq \r(13).
4. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴等腰△ABC，AD为BC边上的垂线，
∴BD＝DC，
∴D是BC的中点；
(2)解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ABC和∠AED是同弧所对的圆周角，
∴∠ABC＝∠AED，
∴∠AED＝∠C，
∴CD＝DE＝3，
∴BD＝CD＝3，
∵BD－AD＝2，
∴AD＝1，
在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2＝BD2＋AD2＝32＋12＝10，
∴AB＝eq \r(10)，
∴⊙O的半径＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(\r(10),2)；
第4题解图
(3)解：如解图，连接BE，
∵AB＝eq \r(10)，
∴AC＝eq \r(10)，
∵∠ADC＝∠BEA＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CEB，
∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(CD,CE)，
由(2)知BC＝2BD＝6，CD＝3，
∴eq \f(\r(10),6)＝eq \f(3,CE)，
∴CE＝eq \f(9,5)eq \r(10)，
∴AE＝CE－AC＝eq \f(9,5)eq \r(10)－eq \r(10)＝eq \f(4,5)eq \r(10).
5. 解：(1)等边三角形．
【解法提示】∵∠APC＝∠CPB＝60°，
又∵∠BAC和∠CPB是同弧所对的圆周角，∠ABC和∠APC是同弧所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB＝60°，∠ABC＝∠APC＝60°，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴AC＝BC，
又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，
∴△ABC是等边三角形．
(2)PA＋PB＝PC.
证明如下：如解图①，在PC上截取PD＝PA，连接AD，
∵∠APC＝60°，
第5题解图①
∴△PAD是等边三角形，
∴PA＝AD＝PD，∠PAD＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠DAC，
在△PAB和△DAC中，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AP＝AD,∠PAB＝∠DAC，,AB＝AC))
∴△PAB≌△DAC(SAS)，
∴PB＝DC，
∵PD＋DC＝PC，
∴PA＋PB＝PC，
(3)当点P为eq \(AB,\s\up8(︵))的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下：如解图②，过点P作PE⊥AB，垂足为E，
第5题解图②
过点C作CF⊥AB，垂足为F，
∵S△PAB＝eq \f(1,2)AB·PE，S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CF，
∴S四边形APBC＝eq \f(1,2)AB·(PE＋CF)．
当点P为eq \(AB,\s\up8(︵))的中点时，PE＋CF＝PC，PC为⊙O的直径，
此时四边形APBC的面积最大，
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB＝eq \r(3) ，
∴四边形APBC的最大面积为eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3) .
类型二 与切线有关的证明与计算
eq \x(一、与三角函数结合)
针对演练
第1题解图
1. (1)证明：连接OE，如解图，
∵AB＝BC且D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠DBE，
∴OE∥BD，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE为⊙O半径，
∴AC与⊙O相切；
(2)解：∵BD＝6，sinC＝eq \f(3,5)，BD⊥AC，
∴BC＝eq \f(BD,sinC)＝10，
∴AB＝BC＝10.
设⊙O的半径为r，则AO＝10－r，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A，
∴sinA＝sinC＝eq \f(3,5)，
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴sinA＝eq \f(OE,OA)＝eq \f(r,10－r)＝eq \f(3,5)，
∴r＝eq \f(15,4)，
即⊙O的半径是eq \f(15,4).
2. (1)证明：连接OC，如解图，
第2题解图
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠PCA＋∠OCA＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＋∠OAC＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠PCA＝∠ABC；
(2)解：∵AE∥PC，
∴∠PCA＝∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(AG,\s\up8(︵))，
∴∠ACF＝∠ABC，
∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠ACF＝∠CAF，
∴CF＝AF，
∵CF＝5，
∴AF＝5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD＝∠P，
∵sin∠P＝eq \f(3,5)，
∴sin∠FAD＝eq \f(3,5)，
在Rt△AFD中，AF＝5，sin∠FAD＝eq \f(3,5)，
∴FD＝3，AD＝4，
∴CD＝CF＋FD＝8，
在Rt△OCD中，设OC＝r，
∴r2＝(r－4)2＋82，
∴r＝10，
∴AB＝2r＝20，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，sin∠EAD＝eq \f(3,5)，
∴eq \f(BE,AB)＝eq \f(3,5)，
∵AB＝20，
∴BE＝12.
3. 解：(1)直线PD与⊙O相切，
理由如下：如解图①，连接DO，CO，
第3题解图①
∵∠PDA＝∠ADC，
∴∠PDC＝2∠ADC，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴∠PDC＝∠AOC，
∵直径AB⊥CD于点E，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠PDC＝∠AOD，
∵∠AOD＋∠ODE＝90°，
∴∠PDC＋∠ODE＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线PD与⊙O相切；
(2)如解图②，连接BD，
∵M恰为eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，
∴∠CDM＝∠BDM，
第3题解图②
∵OD＝OB，
∴∠BDM＝∠DBA，
∴∠CDM＝∠DBA，
∵直线PD与⊙O相切，
∴∠PDA＋∠ADO＝90°，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠BDM＝90°，
∴∠PDA＝∠BDM，
∴∠PDA＝∠DBA＝∠CDM，
又∵∠PDA＝∠ADC，
∴∠PDM＝3∠CDM＝90°，
∴∠CDM＝30°，
∴∠DBA＝30°，
∴eq \f(DE,BE)＝tan30°＝eq \f(\r(3),3)；
(3)如解图③，
第3题解图③
∵tan∠PDA＝eq \f(1,2)，∠PDA＝∠ADC，
∴eq \f(AE,DE)＝eq \f(1,2)，即DE＝2AE，
在Rt△DEO中，设⊙O的半径为r，
DE2＋EO2＝DO2，
∴(2AE)2＋(r－AE)2＝r2，
解得r＝eq \f(5,2)AE，
在Rt△PDE中，DE2＋PE2＝PD2，
∴(2AE)2＋(2＋AE)2＝PD2，
∵直线PD与⊙O相切，连接BD，
由(2)知∠PDA＝∠DBA，∠P＝∠P，
∴△PAD∽△PDB，
∴eq \f(PD,PB)＝eq \f(PA,PD)，
∴PD2＝PA·PB，即PD2＝2×(2＋2r)，
∴(2AE)2＋(2＋AE)2＝2×(2＋2r)，
化简得5AE2＋4AE＝4r，
∵r＝eq \f(5,2)AE，
解得r＝3.
即⊙O的半径为3.
eq \x(二、与相似三角形结合)
针对演练
1. 证明：(1)∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB，
第1题解图
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBD；
(2)连接DO，如解图，
∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切．
第2题解图
2. (1)证明：连接CE，如解图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠CED＝∠BCO，
∵BO∥DE，
∴∠BOC＝∠CDE，
∴△CBO∽△ECD，
∴eq \f(CO,DE)＝eq \f(BO,CD)，
∴CO·CD＝DE·BO；
(2)解：∵∠DFE＝∠ECO，CD＝2·OC＝10，
∴在Rt△CDE中，ED＝CD·sin∠ECO＝CD·sin∠DFE＝
10×eq \f(3,5)＝6，
∴CE＝eq \r(CD2－ED2)＝eq \r(102－62)＝8，
在Rt△CEG中，eq \f(EG,CE)＝sin∠ECG＝eq \f(3,5)，
∴EG＝eq \f(3,5)×8＝eq \f(24,5)，
根据垂径定理得：EF＝2EG＝eq \f(48,5).
第3题解图
3. (1)证明：如解图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴AD垂直平分BC，即DC＝DB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC.
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：∵∠DAC＝∠DAB，且∠AED＝∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD，
在Rt△ADB中，sin∠ADE＝sin∠ABD＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(4,5)，而AB＝10，
∴AD＝8，
在Rt△ADE中，sin∠ADE＝eq \f(AE,AD)＝eq \f(4,5)，
∴AE＝eq \f(32,5)，
∵OD∥AE，
∴△FDO∽△FEA，
∴eq \f(OD,AE)＝eq \f(FO,FA)，即eq \f(5,\f(32,5))＝eq \f(BF＋5,BF＋10)，
∴BF＝eq \f(90,7).
4. (1)证明：如解图①，连接OD、OE、ED.
第4题解图①
∵BC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝90°＝∠C，
∴OD∥AC，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OA＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE＝AO＝OD，
∴四边形AODE是平行四边行，
∵OA＝OD，
∴平行四边形AODE是菱形；
(2)解：设⊙O的半径为r.
∵OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC，
∴eq \f(OD,AC)＝eq \f(OB,AB)，即10r＝6(10－r)．
解得r＝eq \f(15,4)，
∴⊙O的半径为eq \f(15,4).
第4题解图②
如解图②，连接OD、DF、AD.
∵OD∥AC，
∴∠DAC＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DAC＝∠DAO，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF＝90°＝∠C，
∴△ADC∽△AFD，
∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AF,AD)，
∴AD2＝AC·AF，
∵AC＝6，AF＝eq \f(15,4)×2＝eq \f(15,2)，
∴AD2＝eq \f(15,2)×6＝45，
∴AD＝eq \r(45)＝3eq \r(5).(9分)
第5题解图①
5. 解：(1)存在，AE＝CE.
理由如下：
如解图①，连接AE，ED，
∵AC是△ABC的斜边，
∴∠ABC＝90°，
∴AE为⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
又∵D是AC的中点，
∴ED为AC的中垂线，
∴AE＝CE；
(2)①如解图②，∵EF是⊙O的切线，
第5题解图②
∴∠AEF＝90°.
由(1)可知∠ADE＝90°，
∴∠AED＋∠EAD＝90°，
∵∠AED＋∠DEF＝90°，
∴∠EAD＝∠DEF.
又∵∠ADE＝∠EDF＝90°
∴△AED∽△EFD，
∴eq \f(AD,ED)＝eq \f(ED,FD)，
∴ED2＝AD·FD.
又∵AD＝DC＝CF，
∴ED2＝2AD·AD＝2AD2，
在Rt△AED中，
∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，
由(1)知∠AED＝∠CED，
又∵∠CED＝∠CAB，
∴∠AED＝∠CAB，
∴sin∠CAB＝sin∠AED＝eq \f(AD,AE)＝eq \r(\f(1,3))＝eq \f(\r(3),3).
②sin∠CAB＝eq \f(\r(a＋2),a＋2).
【解法提示】由(2)中的①知ED2＝AD·FD，
∵CF＝aCD(a＞0)，
∴CF＝aCD＝aAD，
∴ED2＝AD·DF＝AD(CD＋CF)＝AD(AD＋aAD)＝(a＋1)AD2，
在Rt△AED中，AE2＝AD2＋ED2＝(a＋2)AD2，
∴sin∠CAB＝sin∠AED＝eq \f(AD,AE)＝eq \r(\f(1,a＋2))＝eq \f(\r(a＋2),a＋2).
6. (1)证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB＋∠DBF＝90°，
∴∠ABC＋∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∵OB为⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线；
(2)证明：连接AC，如解图①所示：
第6题解图①
∵OF⊥BC，
∴eq \(BE,\s\up8(︵))＝eq \(CE,\s\up8(︵))，
∴∠ECH＝∠CAE，
∵∠HEC＝∠CEA，
∴△CEH∽△AEC，
∴eq \f(CE,EH)＝eq \f(EA,CE)，
第6题解图②
∴CE2＝EH·EA；
(3)解：连接BE，如解图②所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝eq \f(3,5)，
∴AB＝10，BE＝AB·sin∠BAE＝10×eq \f(3,5)＝6，
在Rt△AEB中，EA＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \r(102－62)＝8，
∵eq \(BE,\s\up8(︵))＝eq \(CE,\s\up8(︵))，
∴BE＝CE＝6，
∵CE2＝EH·EA，
∴EH＝eq \f(CE2,EA)＝eq \f(62,8)＝eq \f(9,2)，
在Rt△BEH中，BH＝eq \r(BE2＋EH2)＝eq \r(62＋（\f(9,2)）2)＝eq \f(15,2).
7. (1)证明：连接OD，如解图①，
∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
第7题解图①
∴∠BAD＝∠CAD，
∴eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，
∴OD⊥BC，
∵BC∥DF，
∴OD⊥DF，
∴DF为⊙O的切线；
(2)解：连接OB，连接OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如解图①，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，
又∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠ODB＝60°，OB＝BD＝2eq \r(3)，
∴∠BDF＝30°，
∵BC∥DF，
∴∠DBP＝30°，
在Rt△DBP中，PD＝eq \f(1,2)BD＝eq \r(3)，PB＝eq \r(3)PD＝3，
在Rt△DEP中，
∵PD＝eq \r(3)，DE＝eq \r(7)，
∴PE＝eq \r(（\r(7)）2－（\r(3)）2)＝2，
∵OP⊥BC，
∴BP＝CP＝3，
∴CE＝CP－PE＝3－2＝1，
易证得△BDE∽△ACE，
∴eq \f(BE,AE)＝eq \f(DE,CE)，即eq \f(5,AE)＝eq \f(\r(7),1)，
∴AE＝eq \f(5\r(7),7).
∵BE∥DF，
∴△ABE∽△AFD，
∴eq \f(BE,DF)＝eq \f(AE,AD)，即eq \f(5,DF)＝eq \f(\f(5\r(7),7),\f(12\r(7),7))，解得DF＝12，
在Rt△BDH中，BH＝eq \f(1,2)BD＝eq \r(3)，
∴S阴影＝S△BDF－S弓形BD
＝S△BDF－(S扇形BOD－S△BOD)
＝eq \f(1,2)·12·eq \r(3)－eq \f(60·π·（2\r(3)）2,360)＋eq \f(\r(3),4)·(2eq \r(3))2
＝9eq \r(3)－2π；(7分)
(3)解：连接CD，如解图②，
第7题解图②
由eq \f(AB,AC)＝eq \f(4,3)可设AB＝4x，AC＝3x，BF＝y，
∵eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，
∴CD＝BD＝2eq \r(3)，
∵DF∥BC，
∴∠F＝∠ABC＝∠ADC，
∴∠FDB＝∠DBC＝∠DAC，
∴△BFD∽△CDA，
∴eq \f(BD,AC)＝eq \f(BF,CD)，即eq \f(2\r(3),3x)＝eq \f(y,2\r(3))，
∴xy＝4，
∵∠FDB＝∠DBC＝∠DAC＝∠FAD，
而∠DFB＝∠AFD，
∴△FDB∽△FAD，
∴eq \f(DF,AF)＝eq \f(BF,DF)，
∵DF＋BF＝8，
∴DF＝8－BF＝8－y，
∴eq \f(8－y,y＋4x)＝eq \f(y,8－y)，
整理得：16－4y＝xy，
∴16－4y＝4，解得y＝3，
即BF的长为3.(10分)
eq \x(三、与全等三角形结合)
针对演练
1. (1)证明：连接OE，过点O作OF⊥PN，如解图所示，
第1题解图
∵PM与⊙O相切，
∴OE⊥PM，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°，
∵PC平分∠MPN，
∴∠EPO＝∠FPO，
在△PEO和△PFO中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EPO＝∠FPO,∠OEP＝∠OFP,OP＝OP))，
∴△PEO≌△PFO(AAS)，
∴OF＝OE，
∴OF为圆O的半径且OF⊥PN,
则PN与⊙O相切；
(2)解：在Rt△EPO中，∠MPC＝30°，PE＝2eq \r(3)，
∴∠EOP＝60°，OE＝PE·tan30°＝2，
∴∠EOB＝120°，
则劣弧eq \(BE,\s\up8(︵))的长为eq \f(120π×2,180)＝eq \f(4π,3).
2. (1)证明：如解图①，连接BO并延长交⊙O于点N，连接CN，
第2题解图①
∵∠BMC＝60°，
∴∠BNC＝60°，
∵∠BNC＋∠NBC＝90°，
∴∠NBC＝30°，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABN＝30°＋60°＝90°，
∴AB⊥BO，
即AB为⊙O的切线．
(2)解：BE＋CF＝eq \r(3)，是定值．
第2题解图②
理由如下：
如解图②，连接D与AC的中点P，
∵D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴PD＝PC＝eq \f(1,2)AC，
又∵∠ACB＝60°，
∴PD＝PC＝CD＝BD＝eq \f(1,2)AC，
∴∠DPF＝∠PDC＝60°，
∴∠PDF＋∠FDC＝60°，
又∵∠EDF＝120°，
∴∠BDE＋∠FDC＝60°，
∴∠PDF＝∠BDE，
在△BDE和△PDF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EBD＝∠DPF,BD＝PD,∠BDE＝∠PDF))，
∴△BDE≌△PDF(ASA)，
∴BE＝PF，
∴BE＋CF＝PF＋CF＝CP＝BD，
∵OB⊥AB，∠ABC＝60°，
∴∠OBC＝30°，
又∵OB＝2，
∴BD＝OB·cs30°＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，
即BE＋CF＝eq \r(3).
第3题解图①
3. (1)证明：连接OC，如解图①，
∵OD⊥AC，OC＝OA，
∴∠AOD＝∠COD.
在△AOE和△COE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OA＝OC,∠AOE＝∠COE,OE＝OE))，
∴△AOE≌△COE(SAS)，
∴∠EAO＝∠ECO.
又∵EC是⊙O的切线，
∴∠ECO＝90°，
∴∠EAO＝90°.
∴AE与⊙O相切；
(2)解：设DO＝t，则DE＝3t，EO＝4t，
在△EAO和△ADO中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EOA＝∠AOD,∠EAO＝∠ADO))，
∴△EAO∽△ADO，
∴eq \f(AO,DO)＝eq \f(EO,AO)，即eq \f(9,t)＝eq \f(4t,9)，
∴t＝eq \f(9,2)，即EO＝18.
∴AE＝eq \r(EO2－AO2)＝eq \r(182－92)＝9eq \r(3)；
第3题解图②
延长BD交AE于点F，过O作OG∥AE交BD于点G，
如解图②，
∵OG∥AE，
∴∠FED＝∠GOD
又∵∠EDF＝∠ODG，
∴△EFD∽△OGD，
∴eq \f(EF,OG)＝eq \f(ED,OD)＝eq \f(3,1)，即EF＝3GO.
又∵O是AB的中点，
∴AF＝2GO，
∴AE＝AF＋FE＝5GO，
∴5GO＝9eq \r(3)，
∴GO＝eq \f(9\r(3),5)，
∴AF＝eq \f(18\r(3),5)，
∴tanB＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(\r(3),5).
第4题解图
4. (1)证明：如解图，连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO＝90°，
∵OA＝OB，BA⊥PO于点D，
∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，
又∵PO＝PO，
∴△PAO≌△PBO(SAS)，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴OA⊥PA，
∴直线PA为⊙O的切线；
(2)解：线段EF、OD、OP之间的等量关系为EF2＝4OD·OP.
证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°，
∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90°，
∴∠OAD＝∠OPA，
∴△OAD∽△OPA，
∴ eq \f(OD,OA)＝eq \f(OA,OP)，即OA2＝OD·OP，
又∵EF＝2OA，
∴EF2＝4OD·OP；
(3)解：∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，
∴OD＝eq \f(1,2)BC＝3，
设AD＝x，
∵tan∠F＝eq \f(1,2)，
∴FD＝2x，OA＝OF＝FD－OD＝2x－3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x－3)2＝x2＋32，
解之得，x1＝4，x2＝0(不合题意，舍去)，
∴AD＝4，OA＝2x－3＝5，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC＝90°，
又∵AC＝2OA＝10，BC＝6，∴ cs∠ACB＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
∵OA2＝OD·OP，
∴3(PE＋5)＝25，
∴PE＝eq \f(10,3).
第5题解图
5. (1)证明：连接OD，如解图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠ABD＝45°，
∴△DAB为等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，
∵PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PD，
∴PD∥AB；
(2)证明：∵AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，
∴AE∥BF，
∴∠FBO＝∠EAO，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴∠EDA＋∠FDB＝90°，
∵∠FBD＋∠FDB＝90°，
∴∠FBD＝∠EDA，
在△FBD和△EDA中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BFD＝∠DEA,∠FBD＝∠EDA,BD＝DA))，
∴△FBD≌△EDA(AAS)，
∴DE＝BF；
(3)解：在Rt△ACB中，
∵AC＝6，tan∠CAB＝eq \f(4,3)，
∴BC＝6×eq \f(4,3)＝8，
∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(62＋82)＝10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD＝eq \f(AB,\r(2))＝5eq \r(2)，
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE＝CE＝eq \f(AC,\r(2))＝eq \f(6,\r(2))＝3eq \r(2)，
在Rt△AED中，DE＝eq \r(AD2－AE2)＝eq \r(（5\r(2)）2－（3\r(2)）2)＝4eq \r(2)，
∴CD＝CE＋DE＝3eq \r(2)＋4eq \r(2)＝7eq \r(2)，
∵AB∥PD，
∴∠PDA＝∠DAB＝45°，
∴∠PDA＝∠PCD，
又∵∠DPA＝∠CPD，
∴△PDA∽△PCD，
∴eq \f(PD,PC)＝eq \f(PA,PD)＝eq \f(AD,DC)＝eq \f(5\r(2),7\r(2))＝eq \f(5,7)，
∴PA＝eq \f(5,7)PD，PC＝eq \f(7,5)PD，
又∵PC＝PA＋AC，
∴eq \f(5,7)PD＋6＝eq \f(7,5)PD，解得PD＝eq \f(35,4)，
第6题解图①
∴PC＝eq \f(5,7)PD＋6＝eq \f(5,7)×eq \f(35,4)＋6＝eq \f(25,4)＋6＝eq \f(49,4).
6. (1)证明：如解图①，连接OC，
∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAO＝90°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOP＝∠COP，
在△PAO和△PCO中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OA＝OC,∠AOP＝∠COP,OP＝OP))，
∴△PAO≌△PCO(SAS)，
∴∠PCO＝∠PAO＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC为⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
(2)解：由(1)得PA，PC都为圆的切线，
∴PA＝PC，OP平分∠APC，∠ADO＝∠PAO＝90°，
∴∠PAD＋∠DAO＝∠DAO＋∠AOD，
又∵∠ADP＝∠ADO，
∴∠PAD＝∠AOD，
∴△ADP∽△ODA，
∴eq \f(AD,PD)＝eq \f(DO,AD)，
∴AD2＝PD·DO，
∵AC＝8，PD＝eq \f(16,3)，
∴AD＝eq \f(1,2)AC＝4，OD＝3，
在Rt△ADO中，AO＝eq \r(AD2＋OD2)＝5，
由题意知OD为△ABC的中位线，
∴BC＝6，AB＝eq \r(BC2＋AC2)＝10.
∴S阴影＝eq \f(1,2)S⊙O－S△ABC＝eq \f(1,2)·π·52－eq \f(1,2)×6×8＝eq \f(25π,2)－24；
(3)解：如解图②，连接AE、BE，作BM⊥CE于点M，
第6题解图②
∴∠CMB＝∠EMB＝∠AEB＝90°，
∵点E是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，
∴AE＝BE，∠EAB＝∠EBA＝45°，
∴∠ECB＝∠CBM＝∠ABE＝45°，
CM＝MB＝BC·sin45°＝3eq \r(2)，
BE＝AB·cs45°＝5eq \r(2)，
∴EM＝eq \r(BE2－BM2)＝4eq \r(2)，
则CE＝CM＋EM＝7eq \r(2).
7. (1)证明：连接OD，如解图①所示，
第7题解图①
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD.
∵OG∥BD，
∴∠AOG＝∠OBD，∠GOD＝∠ODB，
∴∠DOG＝∠AOG，
在△DOG和△AOG中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OD＝OA,∠DOG＝∠AOG,OG＝OG))，
∴△DOG≌△AOG(SAS)，
∴GD＝GA；
(2)证明：∵AG切⊙O于点A，
∴AG⊥OA，
∴∠OAG＝90°，
∵△DOG≌△AOG，
∴∠OAG＝∠ODG＝90°，
∴∠ODE＝180°－∠ODG＝90°，
∴∠ODC＋∠FDE＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∴∠OCD＋∠OFC＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠FDE＝∠OFC，
∵∠OFC＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∴△DEF是等腰三角形；
第7题解图②
(3)解：过点B作BK⊥OD于点K，如解图②所示：
则∠OKB＝∠BKD＝∠ODE＝90°，
∴BK∥DE，
∴∠OBK＝∠E，
∵BH⊥GE，
∴∠BHD＝∠BHE＝90°，
∴四边形KDHB为矩形，
∴KD＝BH＝9，
∴OK＝OD－KD＝eq \f(7,2)，
在Rt△OKB中，
∵OK2＋KB2＝OB2，OB＝eq \f(25,2)，
∴KB＝12，
∴tan∠E＝tan∠OBK＝eq \f(OK,KB)＝eq \f(7,24)，
sin∠E＝sin∠OBK＝eq \f(OK,OB)＝eq \f(7,25)，
∵tan∠E＝eq \f(OD,DE)＝eq \f(7,24)，
∴DE＝eq \f(300,7)，
∴EF＝eq \f(300,7)，
∵sin∠E＝eq \f(BH,BE)＝eq \f(7,25)，
∴BE＝eq \f(225,7)，
∴BF＝EF－BE＝eq \f(75,7)，
∴OF＝OB－BF＝eq \f(25,14)，
在Rt△COF中，∠COB＝90°，
∴OC2＋OF2＝FC2，
∴FC＝eq \f(125\r(2),14)，
在Rt△COB中，
∵OC2＋OB2＝BC2，OC＝OB＝eq \f(25,2)，
∴BC＝eq \f(25\r(2),2)，
∴BC＋CF＋BF＝eq \f(150\r(2)＋75,7)，
∴△CBF的周长＝eq \f(150\r(2)＋75,7).