2018年数学中考第一轮复习讲义:2018年数学中考第一轮复习讲义:第14讲 二次函数综合应用
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第十四讲二次函数综合应用
知识回顾
一.二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况: 公共点(即有两个交点), 公共点, 公共点,因此有:
(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1,0)(x2,0),一元二次方程ax2+bx+c=0有 个不等实根△=b2-4ac 0。
(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时,此公共点即为顶点(,0)一元二次方程ax2+bx+c=0有 实根,
(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点,一元二次方程ax2+bx+c=0 根△=b2-4ac 0.
二.二次函数的应用.
利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等.
基础检测
1.若函数y=(a﹣1)x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为 .
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根之和( )
A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定
3.(2017浙江湖州)湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了20000kg淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同,放养10天的总成本为30.4万元;放养20天的总成本为30.8万元(总成本=放养总费用+收购成本).
(1)设每天的放养费用是a万元,收购成本为b万元,求a和b的值;
(2)设这批淡水鱼放养t天后的质量为m(kg),销售单价为y元/kg.根据以往经验可知:m与t的函数关系为;y与t的函数关系如图所示.
①分别求出当0≤t≤50和50<t≤100时,y与t的函数关系式;
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元,求当t为何值时,W最大?并求出最大值.(利润=销售总额﹣总成本)
4.(2017黑龙江佳木斯)如图,Rt△AOB的直角边OA在x轴上,OA=2,AB=1,将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、D两点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)连接BD,点P是抛物线上一点,直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分,求点P的坐标.
考点解析
知识点一、二次函数与一次函数及反比例函数的结合
【例题】(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
【考点】二次函数的图象;一次函数的图象.
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致.
【解答】解:A、由抛物线可知,a<0,由直线可知,故本选项错误;
B、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;
C、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;
D、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b>0故本选项错误.
故选C.
【变式】
已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是( )
【答案】D.
【解析】∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵抛物线的对称轴为直线x=-<0,
∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c<0,
∴一次函数y=cx+的图象过第一、二、四象限,反比例函数y=分布在第一、三象限.
故选D.
知识点二、二次函数与一元二次方程
【例题】(2017湖北荆州)已知关于x的一元二次方程x2+(k﹣5)x+1﹣k=0,其中k为常数.
(1)求证:无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;
(2)已知函数y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的图象不经过第三象限,求k的取值范围;
(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.
【考点】HA:抛物线与x轴的交点;AA:根的判别式;AB:根与系数的关系;H3:二次函数的性质.
【分析】(1)求出方程的判别式△的值,利用配方法得出△>0,根据判别式的意义即可证明;
(2)由于二次函数y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的图象不经过第三象限,又△=(k﹣5)2﹣4(1﹣k)=(k﹣3)2+12>0,所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限,根据二次项系数知道抛物线开口向上,由此可以得出关于k的不等式组,解不等式组即可求解;
(3)设方程的两个根分别是x1,x2,根据题意得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围,再进一步求出k的最大整数值.
【解答】(1)证明:∵△=(k﹣5)2﹣4(1﹣k)=k2﹣6k+21=(k﹣3)2+12>0,
∴无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;
(2)解:∵二次函数y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的图象不经过第三象限,
∵二次项系数a=1,
∴抛物线开口方向向上,
∵△=(k﹣3)2+12>0,
∴抛物线与x轴有两个交点,
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2,
∴x1+x2=5﹣k>0,x1•x2=1﹣k>0,
解得k<1,
即k的取值范围是k<1;
(3)解:设方程的两个根分别是x1,x2,
根据题意,得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,
即x1•x2﹣3(x1+x2)+9<0,
又x1+x2=5﹣k,x1•x2=1﹣k,
代入得,1﹣k﹣3(5﹣k)+9<0,
解得k<.
则k的最大整数值为2.
【变式】
二次函数y=x2+bx的图象如图,对称轴为直线x=1,若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有解,则t的取值范围是( )
A.t≥-1 B.-1≤t<3 C.-1≤t<8 D.3<t<8
【答案】C.
【解析】对称轴为直线x=-=1,
解得b=-2,
所以,二次函数解析式为y=x2-2x,
=(x-1)2-1,
x=-1时,y=1+2=3,
x=4时,y=16-2×4=8,
∵x2+bx-t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标,
∴当-1≤t<8时,在-1≤x<4的范围内有解.
故选:C.
知识点三 利用二次函数解决抛物线形问题
【例题】(2017湖北荆州)荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为:
,日销售量y(千克)与时间第t(天)之间的函数关系如图所示:
(1)求日销售量y与时间t的函数关系式?
(2)哪一天的日销售利润最大?最大利润是多少?
(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元?
(4)在实际销售的前40天中,该养殖户决定每销售1千克小龙虾,就捐赠m(m<7)元给村里的特困户.在这前40天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求m的取值范围.
【考点】HE:二次函数的应用.
【分析】(1)根据函数图象,利用待定系数法求解可得;
(2)设日销售利润为w,分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况,根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式,由二次函数的性质分别求得最值即可判断;
(3)求出w=2400时x的值,结合函数图象即可得出答案;
(4)依据(2)中相等关系列出函数解析式,确定其对称轴,由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大,结合二次函数的性质可得答案.
【解答】解:(1)设解析式为y=kt+b,
将(1,198)、(80,40)代入,得:
,
解得:,
∴y=﹣2t+200(1≤x≤80,t为整数);
(2)设日销售利润为w,则w=(p﹣6)y,
①当1≤t≤40时,w=(t+16﹣6)(﹣2t+200)=﹣(t﹣30)2+2450,
∴当t=30时,w最大=2450;
②当41≤t≤80时,w=(﹣t+46﹣6)(﹣2t+200)=(t﹣90)2﹣100,
∴当t=41时,w最大=2301,
∵2450>2301,
∴第30天的日销售利润最大,最大利润为2450元.
(3)由(2)得:当1≤t≤40时,
w=﹣(t﹣30)2+2450,
令w=2400,即﹣(t﹣30)2+2450=2400,
解得:t1=20、t2=40,
由函数w=﹣(t﹣30)2+2450图象可知,当20≤t≤40时,日销售利润不低于2400元,
而当41≤t≤80时,w最大=2301<2400,
∴t的取值范围是20≤t≤40,
∴共有21天符合条件.
(4)设日销售利润为w,根据题意,得:
w=(t+16﹣6﹣m)(﹣2t+200)=﹣t2+(30+2m)t+2000﹣200m,
其函数图象的对称轴为t=2m+30,
∵w随t的增大而增大,且1≤t≤40,
∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40,
解得:m≥5,
又m<7,
∴5≤m<7.
【变式】
(2015•铜仁市)(第3题)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=﹣x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为( )
A. ﹣20m B. 10m C. 20m D. ﹣10m
【解析】二次函数的应用.. 根据题意,把y=﹣4直接代入解析式即可解答.
【解答】解:根据题意B的纵坐标为﹣4,
把y=﹣4代入y=﹣x2,
得x=±10,
∴A(﹣10,﹣4),B(10,﹣4),
∴AB=20m.
即水面宽度AB为20m.
故选C.
【点评】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
知识点四、二次函数的应用
【例题】九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90,且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y(单位:元/件),每天的销售量为p(单位:件),每天的销售利润为w(单位:元).
时间x(天)
1
30
60
90
每天销售量p(件)
198
140
80
20
(1)求出w与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润;
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元?请直接写出结果.
【考点】二次函数的应用;一元一次不等式的应用.
【分析】(1)当0≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b,由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式,根据图形可得出当50<x≤90时,y=90.再结合给定表格,设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n,套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式,根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式;
(2)根据w关于x的函数关系式,分段考虑其最值问题.当0≤x≤50时,结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值;当50<x≤90时,根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值,两个最大值作比较即可得出结论;
(3)令w≥5600,可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式,解不等式即可得出x的取值范围,由此即可得出结论.
【解答】解:(1)当0≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数且k≠0),
∵y=kx+b经过点(0,40)、(50,90),
∴,解得:,
∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40;
当50<x≤90时,y=90.
∴售价y与时间x的函数关系式为y=.
由书记可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系,
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n(m、n为常数,且m≠0),
∵p=mx+n过点(60,80)、(30,140),
∴,解得:,
∴p=﹣2x+200(0≤x≤90,且x为整数),
当0≤x≤50时,w=(y﹣30)•p=(x+40﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x2+180x+2000;
当50<x≤90时,w=(90﹣30)(﹣2x+200)=﹣120x+12000.
综上所示,每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=.
(2)当0≤x≤50时,w=﹣2x2+180x+2000=﹣2(x﹣45)2+6050,
∵a=﹣2<0且0≤x≤50,
∴当x=45时,w取最大值,最大值为6050元.
当50<x≤90时,w=﹣120x+12000,
∵k=﹣120<0,w随x增大而减小,
∴当x=50时,w取最大值,最大值为6000元.
∵6050>6000,
∴当x=45时,w最大,最大值为6050元.
即销售第45天时,当天获得的销售利润最大,最大利润是6050元.
(3)当0≤x≤50时,令w=﹣2x2+180x+2000≥5600,即﹣2x2+180x﹣3600≥0,
解得:30≤x≤50,
50﹣30+1=21(天);
当50<x≤90时,令w=﹣120x+12000≥5600,即﹣120x+6400≥0,
解得:50<x≤53,
∵x为整数,
∴50<x≤53,
53﹣50=3(天).
综上可知:21+3=24(天),
故该商品在销售过程中,共有24天每天的销售利润不低于5600元.
【变式】
(2016·湖北武汉·10分)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如下表:
产品
每件售价(万元)
每件成本(万元)
每年其他费用(万元)
每年最大产销量(件)
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40+0.05x2
80
其中a为常数,且3≤a≤5.
(1) 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1、y2与x的函数关系式;
(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;
(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由.
【考点】二次函数的应用,一次函数的应用
【答案】 (1)y1=(6-a)x-20(0<x≤200),y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80);(2) 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;(3)当3≤a<3.7时,选择甲产品;当a=3.7时,选择甲乙产品;当3.7<a≤5时,选择乙产品
【解析】解:(1) y1=(6-a)x-20(0<x≤200),y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80);
(2)甲产品:∵3≤a≤5,∴6-a>0,∴y1随x的增大而增大.
∴当x=200时,y1max=1180-200a(3≤a≤5)
乙产品:y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80)
∴当0<x≤80时,y2随x的增大而增大.
当x=80时,y2max=440(万元).
∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;(3)1180-200>440,解得3≤a<3.7时,此时选择甲产品;
1180-200=440,解得a=3.7时,此时选择甲乙产品;
1180-200<440,解得3.7<a≤5时,此时选择乙产品.
∴当3≤a<3.7时,生产甲产品的利润高;
当a=3.7时,生产甲乙两种产品的利润相同;
当3.7<a≤5时,上产乙产品的利润高.
题型五、二次函数在几何图形中的应用
【例题】如图,矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上,线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+=0(OA>OC),直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点,将△BCN沿直线BN折叠,点C恰好落在直线MN上的点D处,且tan∠CBD=
(1)求点B的坐标;
(2)求直线BN的解析式;
(3)将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移,求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t(0<t≤13)的函数关系式.
【考点】FI:一次函数综合题.
【分析】(1)由非负数的性质可求得x、y的值,则可求得B点坐标;
(2)过D作EF⊥OA于点E,交CB于点F,由条件可求得D点坐标,且可求得=,结合DE∥ON,利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长,则可求得N点坐标,利用待定系数法可求得直线BN的解析式;
(3)设直线BN平移后交y轴于点N′,交AB于点B′,当点N′在x轴上方时,可知S即为▱BNN′B′的面积,当N′在y轴的负半轴上时,可用t表示出直线B′N′的解析式,设交x轴于点G,可用t表示出G点坐标,由S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′,可分别得到S与t的函数关系式.
【解答】解:
(1)∵|x﹣15|+=0,
∴x=15,y=13,
∴OA=BC=15,AB=OC=13,
∴B(15,13);
(2)如图1,过D作EF⊥OA于点E,交CB于点F,
由折叠的性质可知BD=BC=15,∠BDN=∠BCN=90°,
∵tan∠CBD=,
∴=,且BF2+DF2=BD2=152,解得BF=12,DF=9,
∴CF=OE=15﹣12=3,DE=EF﹣DF=13﹣9=4,
∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°,且∠ONM+∠CND=180°,
∴∠ONM=∠CBD,
∴=,
∵DE∥ON,
∴==,且OE=3,
∴=,解得OM=6,
∴ON=8,即N(0,8),
把N、B的坐标代入y=kx+b可得,解得,
∴直线BN的解析式为y=x+8;
(3)设直线BN平移后交y轴于点N′,交AB于点B′,
当点N′在x轴上方,即0<t≤8时,如图2,
由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形,且NN′=t,
∴S=NN′•OA=15t;
当点N′在y轴负半轴上,即8<t≤13时,设直线B′N′交x轴于点G,如图3,
∵NN′=t,
∴可设直线B′N′解析式为y=x+8﹣t,
令y=0,可得x=3t﹣24,
∴OG=24,
∵ON=8,NN′=t,
∴ON′=t﹣8,
∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣(t﹣8)(3t﹣24)=﹣t2+39t﹣96;
综上可知S与t的函数关系式为S=.
【变式】(2017山东聊城)如图,已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A(0,6),与x轴交于点B(6,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
(1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标;
(2)当点P移动到抛物线的什么位置时,使得∠PAB=75°,求出此时点P的坐标;
(3)当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动,在移动中,点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动,与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动,点P,M移动到各自终点时停止,当两个移点移动t秒时,求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式,并求t为何值时,S有最大值,最大值是多少?
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)由A、B坐标,利用待定系数法可求得抛物线的表达式,化为顶点式可求得顶点坐标;
(2)过P作PC⊥y轴于点C,由条件可求得∠PAC=60°,可设AC=m,在Rt△PAC中,可表示出PC的长,从而可用m表示出P点坐标,代入抛物线解析式可求得m的值,即可求得P点坐标;
(3)用t可表示出P、M的坐标,过P作PE⊥x轴于点E,交AB于点F,则可表示出F的坐标,从而可用t表示出PF的长,从而可表示出△PAB的面积,利用S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB,可得到S关于t的二次函数,利用二次函数的性质可求得其最大值.
【解答】解:
(1)根据题意,把A(0,6),B(6,0)代入抛物线解析式可得,解得,
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+6,
∵y=﹣x2+2x+6=﹣(x﹣2)2+8,
∴抛物线的顶点坐标为(2,8);
(2)如图1,过P作PC⊥y轴于点C,
∵OA=OB=6,
∴∠OAB=45°,
∴当∠PAB=75°时,∠PAC=60°,
∴tan∠PAC=,即=,
设AC=m,则PC=m,
∴P(m,6+m),
把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=﹣(m)2+2m+6,解得m=0或m=﹣,
经检验,P(0,6)与点A重合,不合题意,舍去,
∴所求的P点坐标为(4﹣, +);
(3)当两个支点移动t秒时,则P(t,﹣ t2+2t+6),M(0,6﹣t),
如图2,作PE⊥x轴于点E,交AB于点F,则EF=EB=6﹣t,
∴F(t,6﹣t),
∴FP=t2+2t+6﹣(6﹣t)=﹣t2+3t,
∵点A到PE的距离竽OE,点B到PE的距离等于BE,
∴S△PAB=FP•OE+FP•BE=FP•(OE+BE)=FP•OB=×(﹣t2+3t)×6=﹣t2+9t,且S△AMB=AM•OB=×t×6=3t,
∴S=S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB=﹣t2+12t=﹣(t﹣4)2+24,
∴当t=4时,S有最大值,最大值为24.
【典例解析】
【例题1】(2017.江苏宿迁)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连接AC、BC.
(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式;
(2)求△ABC外接圆的半径;
(3)点P为曲线M或曲线N上的一动点,点Q为x轴上的一个动点,若以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)由已知抛物线可求得A、B坐标及顶点坐标,利用对称性可求得C的坐标,利用待定系数法可求得曲线N的解析式;
(2)由外接圆的定义可知圆心即为线段BC与AB的垂直平分线的交点,即直线y=x与抛物线对称轴的交点,可求得外接圆的圆心,再利用勾股定理可求得半径的长;
(3)设Q(x,0),当BC为平行四边形的边时,则有BQ∥PC且BQ=PC,从而可用x表示出P点的坐标,代入抛物线解析式可得到x的方程,可求得Q点坐标,当BC为平行四边形的对角线时,由B、C的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标,从而可表示出P点坐标,代入抛物线解析式可得到关于x的方程,可求得P点坐标.
【解答】解:
(1)在y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得x2﹣2x﹣3=0,解得x=﹣1或x=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
令x=0可得y=﹣3,
又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N,
∴C(0,3),
设曲线N的解析式为y=ax2+bx+c,
把A、B、C的坐标代入可得,解得,
∴曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y=﹣x2+2x+3;
(2)设△ABC外接圆的圆心为M,则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点,
∵B(3,0),C(0,3),
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x,
又线段AB的解析式为曲线N的对称轴,即x=1,
∴M(1,1),
∴MB==,
即△ABC外接圆的半径为;
(3)设Q(t,0),则BQ=|t﹣3|
①当BC为平行四边形的边时,如图1,则有BQ∥PC,
∴P点纵坐标为3,
即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P,x轴上对应的即为点Q,
当点P在曲线M上时,在y=x2﹣2x﹣3中,令y=3可解得x=1+或x=1﹣,
∴PC=1+或PC=﹣1,
当x=1+时,可知点Q在点B的右侧,可得BQ=t﹣3,
∴t﹣3=1+,解得t=4+,
当x=1﹣时,可知点Q在点B的左侧,可得BQ=3﹣t,
∴3﹣t=﹣1,解得t=4﹣,
∴Q点坐标为(4+,0)或(4﹣,0);
当点P在曲线N上时,在y=﹣x2+2x+3中,令y=3可求得x=0(舍去)或x=2,
∴PC=2,
此时Q点在B点的右侧,则BQ=t﹣3,
∴t﹣3=2,解得t=5,
∴Q点坐标为(5,0);
②当BC为平行四边形的对角线时,
∵B(3,0),C(0,3),
∴线段BC的中点为(,),设P(x,y),
∴x+t=3,y+0=3,解得x=3﹣t,y=3,
∴P(3﹣t,3),
当点P在曲线M上时,则有3=(3﹣t)2﹣2(3﹣t)﹣3,解得t=2+或t=2﹣,
∴Q点坐标为(2+,0)或(2﹣,0);
当点P在曲线N上时,则有3=﹣(3﹣t)2+2(3﹣t)+3,解得t=3(Q、B重合,舍去)或t=1,
∴Q点坐标为(1,0);
综上可知Q点的坐标为(4+,0)或(4﹣,0)或(5,0)或(2+,0)或(2﹣,0)或(1,0).
【例题2】(2016·湖北荆门·3分)若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为( )
A.x1=0,x2=6 B.x1=1,x2=7 C.x1=1,x2=﹣7 D.x1=﹣1,x2=7
【考点】二次函数的性质;解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值,再把m的值代入方程x2+mx=7,求出x的值即可.
【解答】解:∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,
∴﹣=3,解得m=﹣6,
∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0,即(x+1)(x﹣7)=0,解得x1=﹣1,x2=7.
故选D.
【例题3】(2016·湖北黄石·3分)以x为自变量的二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是( )
A.b≥B.b≥1或b≤﹣1 C.b≥2 D.1≤b≤2
【分析】由于二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,所以抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限,根据二次项系数知道抛物线开口方向向上,由此可以确定抛物线与x轴有无交点,抛物线与y轴的交点的位置,由此即可得出关于b的不等式组,解不等式组即可求解.
【解答】解:∵二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,
∴抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限,
当抛物线在x轴的上方时,
∵二次项系数a=1,
∴抛物线开口方向向上,
∴b2﹣1≥0,△=[2(b﹣2)]2﹣4(b2﹣1)≤0,
解得b≥;
当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限时,
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2,
∴x1+x2=2(b﹣2)≥0,b2﹣1≥0,
∴△=[2(b﹣2)]2﹣4(b2﹣1)>0,①
b﹣2>0,②
b2﹣1>0,③
由①得b<,由②得b>2,
∴此种情况不存在,
∴b≥,
故选A.
【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是会根据图象的位置得到关于b的不等式组解决问题.
【例题4】(2016·吉林·10分)如图1,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,以OB为边向上作等边三角形AOB,抛物线l:y=ax2+bx+c经过点O,A,B三点
(1)当m=2时,a=﹣,当m=3时,a=﹣;
(2)根据(1)中的结果,猜想a与m的关系,并证明你的结论;
(3)如图2,在图1的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等腰直角三角形时,a和n的关系式为 a=﹣;
(4)利用(2)(3)中的结论,求△AOB与△APQ的面积比.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)由△AOB为等边三角形,AB=2m,得出点A,B坐标,再由点A,B,O在抛物线上建立方程组,得出结论,最后代m=2,m=3,求值即可;
(2)同(1)的方法得出结论
(3)由△APQ为等腰直角三角形,PQ的长度为2n,设A(e,d+n),∴P(e﹣n,d),Q(e+n,d),建立方程组求解即可;
(4)由(2)(3)的结论得到m=n,再根据面积公式列出式子,代入化简即可.
【解答】解:(1)如图1,
∵点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,
∴B(2m,0),
∵以OB为边向上作等边三角形AOB,
∴AM=m,OM=m,
∴A(m, m),
∵抛物线l:y=ax2+bx+c经过点O,A,B三点
∴,
∴
当m=2时,a=﹣,
当m=3时,a=﹣,
故答案为:﹣,﹣;
(2)a=﹣
理由:如图1,∵点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,
∴B(2m,0),
∵以OB为边向上作等边三角形AOB,
∴AM=m,OM=m,
∴A(m, m),
∵抛物线l:y=ax2+bx+c经过点O,A,B三点
∴,
∴
∴a=﹣,
(3)如图2,
∵△APQ为等腰直角三角形,PQ的长度为2n,
设A(e,d+n),∴P(e﹣n,d),Q(e+n,d),
∵P,Q,A,O在抛物线l:y=ax2+bx+c上,
∴,
∴,
①﹣②化简得,2ae﹣an+b=1④,
①﹣③化简得,﹣2ae﹣an﹣b=1⑤,
④﹣⑤化简得,an=﹣1,
∴a=﹣
故答案为a=﹣,
(4)∵OB的长度为2m,AM=m,
∴S△AOB=OB×AM=2m×m=m2,
由(3)有,AN=n
∵PQ的长度为2n,
∴S△APQ=PQ×AN=×2m×n=n2,
由(2)(3)有,a=﹣,a=﹣,
∴﹣=﹣,
∴m=n,
∴===,
∴△AOB与△APQ的面积比为3:1.
中考热点
热点1:(2017齐齐哈尔)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)直接写出点C和点D的坐标;
(3)若点P在第一象限内的抛物线上,且S△ABP=4S△COE,求P点坐标.
注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣,)
【考点】H4:二次函数图象与系数的关系;H3:二次函数的性质;H5:二次函数图象上点的坐标特征;H8:待定系数法求二次函数解析式;HA:抛物线与x轴的交点.
【分析】(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数b、c的值,进而可得到抛物线的对称轴方程;
(2)令x=0,可得C点坐标,将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标;
(3)设P(x,y)(x>0,y>0),根据题意列出方程即可求得y,即得D点坐标.
【解答】解:(1)由点A(﹣1,0)和点B(3,0)得,
解得:,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)令x=0,则y=3,
∴C(0,3),
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴D(1,4);
(3)设P(x,y)(x>0,y>0),
S△COE=×1×3=,S△ABP=×4y=2y,
∵S△ABP=4S△COE,∴2y=4×,
∴y=3,∴﹣x2+2x+3=3,
解得:x1=0(不合题意,舍去),x2=2,
∴P(2,3).
热点2:(2017山东滨州)如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(﹣4,0)、B(0,3),抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C.
(1)求直线y=kx+b的函数解析式;
(2)若点P(x,y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;
(3)若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)由A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得直线解析式;
(2)过P作PH⊥AB于点H,过H作HQ⊥x轴,过P作PQ⊥y轴,两垂线交于点Q,则可证明△PHQ∽△BAO,设H(m, m+3),利用相似三角形的性质可得到d与x的函数关系式,再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的P点的坐标;
(3)设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′,由对称的性质可得CE=C′E,则可知当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小,由C点坐标可确定出C′点的坐标,利用(2)中所求函数关系式可求得d的值,即可求得CE+EF的最小值.
【解答】解:
(1)由题意可得,解得,
∴直线解析式为y=x+3;
(2)如图1,过P作PH⊥AB于点H,过H作HQ⊥x轴,过P作PQ⊥y轴,两垂线交于点Q,
则∠AHQ=∠ABO,且∠AHP=90°,
∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠PHQ=∠BAO,且∠AOB=∠PQH=90°,
∴△PQH∽△BOA,
∴==,
设H(m, m+3),则PQ=x﹣m,HQ=m+3﹣(﹣x2+2x+1),
∵A(﹣4,0),B(0,3),
∴OA=4,OB=3,AB=5,且PH=d,
∴==,
整理消去m可得d=x2﹣x+=(x﹣)2+,
∴d与x的函数关系式为d=(x﹣)2+,
∵>0,
∴当x=时,d有最小值,此时y=﹣()2+2×+1=,
∴当d取得最小值时P点坐标为(,);
(3)如图2,设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′,由对称的性质可得CE=C′E,
∴CE+EF=C′E+EF,
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小,
∵C(0,1),
∴C′(2,1),
由(2)可知当x=2时,d=×(2﹣)2+=,
即CE+EF的最小值为.
热点3:(2017深圳)如图,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣1,0),B(4,0),交y轴于点C;
(1)求抛物线的解析式(用一般式表示);
(2)点D为y轴右侧抛物线上一点,是否存在点D使S△ABC=S△ABD?若存在请直接给出点D坐标;若不存在请说明理由;
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°,与抛物线交于另一点E,求BE的长.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)由A、B的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由条件可求得点D到x轴的距离,即可求得D点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得D点坐标;
(3)由条件可证得BC⊥AC,设直线AC和BE交于点F,过F作FM⊥x轴于点M,则可得BF=BC,利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标,利用待定系数法可求得直线BE解析式,联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标,则可求得BE的长.
【解答】解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣1,0),B(4,0),
∴,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;
(2)由题意可知C(0,2),A(﹣1,0),B(4,0),
∴AB=5,OC=2,
∴S△ABC=AB•OC=×5×2=5,
∵S△ABC=S△ABD,
∴S△ABD=×5=,
设D(x,y),
∴AB•|y|=×5|y|=,解得|y|=3,
当y=3时,由﹣x2+x+2=3,解得x=1或x=2,此时D点坐标为(1,3)或(2,3);
当y=﹣3时,由﹣x2+x+2=﹣3,解得x=﹣2(舍去)或x=5,此时D点坐标为(5,﹣3);
综上可知存在满足条件的点D,其坐标为(1,3)或(2,3)或(5,﹣3);
(3)∵AO=1,OC=2,OB=4,AB=5,
∴AC==,BC==2,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,即BC⊥AC,
如图,设直线AC与直线BE交于点F,过F作FM⊥x轴于点M,
由题意可知∠FBC=45°,
∴∠CFB=45°,
∴CF=BC=2,
∴=,即=,解得OM=2, =,即=,解得FM=6,
∴F(2,6),且B(4,0),
设直线BE解析式为y=kx+m,则可得,解得,
∴直线BE解析式为y=﹣3x+12,
联立直线BE和抛物线解析式可得,解得或,
∴E(5,﹣3),
∴BE==.
达标测试
一、选择题
1.(2017.江苏宿迁)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=2cm,点P在边AC上,从点A向点C移动,点Q在边CB上,从点C向点B移动.若点P,Q均以1cm/s的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,连接PQ,则线段PQ的最小值是( )
A.20cm B.18cm C.2cm D.3cm
2. (2017•乐山)已知二次函数y=x2﹣2mx(m为常数),当﹣1≤x≤2时,函数值y的最小值为﹣2,则m的值是( )
A.32 B.2 C.32或2 D.-32或2
3.(2017齐齐哈尔)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣2,与x轴的一个交点在(﹣3,0)和(﹣4,0)之间,其部分图象如图所示,则下列结论:①4a﹣b=0;②c<0;③﹣3a+c>0;④4a﹣2b>at2+bt(t为实数);⑤点(﹣,y1),(﹣,y2),(﹣,y3)是该抛物线上的点,则y1<y2<y3,正确的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
5.(2017日照)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①抛物线过原点;
②4a+b+c=0;
③a﹣b+c<0;
④抛物线的顶点坐标为(2,b);
⑤当x<2时,y随x增大而增大.
其中结论正确的是( )
A.①②③ B.③④⑤ C.①②④ D.①④⑤
二、填空题
6.(2017湖北江汉)飞机着陆后滑行的距离s(单位:米)关于滑行的时间t(单位:秒)的函数解析式是s=60t﹣t2,则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒.
7. (2017•温州)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1),完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A,出水口B和落水点C恰好在同一直线上,点A至出水管BD的距离为12cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E,则点E到洗手盆内侧的距离EH为 cm.
8.(2015•营口,第16题3分)某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为 元时,该服装店平均每天的销售利润最大.
9.(2015•营口,第18题3分)如图,边长为n的正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上,A1、A2、A3、…、An﹣1为OA的n等分点,B1、B2、B3、…Bn﹣1为CB的n等分点,连接A1B1、A2B2、A3B3、…、An﹣1Bn﹣1,分别交y=x2(x≥0)于点C1、C2、C3、…、Cn﹣1,当B25C25=8C25A25时,则n= .
三、解答题
10. (2017内蒙古赤峰)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;
(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;
(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2?若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理由.
11. 如图,直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点,点A在x轴上,∠ACB=90°,抛物线y=ax2+bx+经过A,B两点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点,过点M作MH⊥BC于点H,作MD∥y轴交BC于点D,求△DMH周长的最大值.
答案与解析
【知识归纳】
一.二次函数与一元二次方程的关系
两个公共点(即有两个交点),一个公共点,没有公共点,因此有:
(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1,0)(x2,0),一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。
(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时,此公共点即为顶点(,0) 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根,
(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点,一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0.
二.二次函数的应用.
利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等.
【基础检测答案】
1.(2016·湖北荆州·3分)若函数y=(a﹣1)x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为 ﹣1或2或1 .
【分析】直接利用抛物线与x轴相交,b2﹣4ac=0,进而解方程得出答案.
【解答】解:∵函数y=(a﹣1)x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,
当函数为二次函数时,b2﹣4ac=16﹣4(a﹣1)×2a=0,
解得:a1=﹣1,a2=2,
当函数为一次函数时,a﹣1=0,解得:a=1.
故答案为:﹣1或2或1.
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点,正确得出关于a的方程是解题关键.
2.(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根之和( )
A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0,设方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根为a,b再根据根与系数的关系即可得出结论.
【解答】解:设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,
∵由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0,
∴﹣>0.
设方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根为a,b,则a+b=﹣=﹣+,
∵a>0,
∴>0,
∴a+b>0.
故选C.
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键.
3.(2017浙江湖州)湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了20000kg淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同,放养10天的总成本为30.4万元;放养20天的总成本为30.8万元(总成本=放养总费用+收购成本).
(1)设每天的放养费用是a万元,收购成本为b万元,求a和b的值;
(2)设这批淡水鱼放养t天后的质量为m(kg),销售单价为y元/kg.根据以往经验可知:m与t的函数关系为;y与t的函数关系如图所示.
①分别求出当0≤t≤50和50<t≤100时,y与t的函数关系式;
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元,求当t为何值时,W最大?并求出最大值.(利润=销售总额﹣总成本)
【考点】HE:二次函数的应用.
【分析】(1)由放养10天的总成本为30.4万元;放养20天的总成本为30.8万元可得答案;
(2)①分0≤t≤50、50<t≤100两种情况,结合函数图象利用待定系数法求解可得;
②就以上两种情况,根据“利润=销售总额﹣总成本”列出函数解析式,依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得.
【解答】解:(1)由题意,得:,
解得,
答:a的值为0.04,b的值为30;
(2)①当0≤t≤50时,设y与t的函数解析式为y=k1t+n1,
将(0,15)、(50,25)代入,得:,
解得:,
∴y与t的函数解析式为y=t+15;
当50<t≤100时,设y与t的函数解析式为y=k2t+n2,
将点(50,25)、代入,得:,
解得:,
∴y与t的函数解析式为y=﹣t+30;
②由题意,当0≤t≤50时,
W=20000(t+15)﹣=3600t,
∵3600>0,
∴当t=50时,W最大值=180000(元);
当50<t≤100时,W=(﹣t+30)﹣
=﹣10t2+1100t+150000
=﹣10(t﹣55)2+180250,
∵﹣10<0,
∴当t=55时,W最大值=180250(元),
综上所述,放养55天时,W最大,最大值为180250元.
4.(2017黑龙江佳木斯)如图,Rt△AOB的直角边OA在x轴上,OA=2,AB=1,将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、D两点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)连接BD,点P是抛物线上一点,直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分,求点P的坐标.
【考点】H8:待定系数法求二次函数解析式;H5:二次函数图象上点的坐标特征;R7:坐标与图形变化﹣旋转.
【分析】(1)由旋转性质可得CD=AB=1、OA=OC=2,从而得出点B、D坐标,代入解析式即可得出答案;
(2)由直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分且OB=OD,知DQ=BQ,即点Q为BD的中点,从而得出点Q坐标,求得直线OP解析式,代入抛物线解析式可得点P坐标.
【解答】解:(1)∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD,
∴CD=AB=1、OA=OC=2,
则点B(2,1)、D(﹣1,2),代入解析式,得:
,
解得:,
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+;
(2)如图,
∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分,且OB=OD,
∴DQ=BQ,即点Q为BD的中点,
∴点Q坐标为(,),
设直线OP解析式为y=kx,
将点Q坐标代入,得: k=,
解得:k=3,
∴直线OP的解析式为y=3x,
代入y=﹣x2+x+,得:﹣ x2+x+=3x,
解得:x=1或x=﹣4(舍),
当x=1时,y=3,
∴点P坐标为(1,3).
【达标检测答案】
一、选择题
1.(2017.江苏宿迁)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=2cm,点P在边AC上,从点A向点C移动,点Q在边CB上,从点C向点B移动.若点P,Q均以1cm/s的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,连接PQ,则线段PQ的最小值是( )
A.20cm B.18cm C.2cm D.3cm
【考点】H7:二次函数的最值;KQ:勾股定理.
【分析】根据已知条件得到CP=6﹣t,得到PQ===,于是得到结论.
【解答】解:∵AP=CQ=t,
∴CP=6﹣t,
∴PQ===,
∵0≤t≤2,
∴当t=2时,PQ的值最小,
∴线段PQ的最小值是2,
故选C.
2. (2017•乐山)已知二次函数y=x2﹣2mx(m为常数),当﹣1≤x≤2时,函数值y的最小值为﹣2,则m的值是( )
A.32 B.2 C.32或2 D.-32或2
【考点】H7:二次函数的最值.
【分析】将二次函数配方成顶点式,分m<﹣1、m>2和﹣1≤m≤2三种情况,根据y的最小值为﹣2,结合二次函数的性质求解可得.
【解答】解:y=x2﹣2mx=(x﹣m)2﹣m2,
①若m<﹣1,当x=﹣1时,y=1+2m=﹣2,
解得:m=﹣32;
②若m>2,当x=2时,y=4﹣4m=﹣2,
解得:m=32<2(舍);
③若﹣1≤m≤2,当x=m时,y=﹣m2=﹣2,
解得:m=2或m=﹣2<﹣1(舍),
∴m的值为﹣32或2,
故选:D.
【点评】本题主要考查二次函数的最值,根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键.
3.(2017齐齐哈尔)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣2,与x轴的一个交点在(﹣3,0)和(﹣4,0)之间,其部分图象如图所示,则下列结论:①4a﹣b=0;②c<0;③﹣3a+c>0;④4a﹣2b>at2+bt(t为实数);⑤点(﹣,y1),(﹣,y2),(﹣,y3)是该抛物线上的点,则y1<y2<y3,正确的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【考点】H4:二次函数图象与系数的关系;H3:二次函数的性质;H5:二次函数图象上点的坐标特征;HA:抛物线与x轴的交点.
【分析】根据抛物线的对称轴可判断①,由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②,由x=﹣1时y>0可判断③,由x=﹣2时函数取得最大值可判断④,根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大,可判断⑤.
【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2,
∴4a﹣b=0,所以①正确;
∵与x轴的一个交点在(﹣3,0)和(﹣4,0)之间,
∴由抛物线的对称性知,另一个交点在(﹣1,0)和(0,0)之间,
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,即c<0,故②正确;
∵由②知,x=﹣1时y>0,且b=4a,
即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c>0,
所以③正确;
由函数图象知当x=﹣2时,函数取得最大值,
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c,
即4a﹣2b≥at2+bt(t为实数),故④错误;
∵抛物线的开口向下,且对称轴为直线x=﹣2,
∴抛物线上离对称轴水平距离越小,函数值越大,
∴y1<y3<y2,故⑤错误;
故选:B.
4. (2014滨州市)如图,正方形ABCD的边长为1,E、F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合),不管E、F怎样动,始终保持AE⊥EF.设BE=x,DF=y,则y是x的函数,函数关系式是( )
A.y=x+1 B.y=x-1 C.y=x2-x+1 D.y=x2-x-1
【答案】C
【解析】∵∠BAE和∠EFC都是∠AEB的余角.
∴∠BAE=∠FEC.
∴△ABE∽△ECF,
那么AB:EC=BE:CF,
∵AB=1,BE=x,EC=1-x,CF=1-y.
∴AB•CF=EC•BE,
即1×(1-y)=(1-x)x.
化简得:y=x2-x+1.
故选C.
5.(2017日照)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①抛物线过原点;
②4a+b+c=0;
③a﹣b+c<0;
④抛物线的顶点坐标为(2,b);
⑤当x<2时,y随x增大而增大.
其中结论正确的是( )
A.①②③ B.③④⑤ C.①②④ D.①④⑤
【考点】HA:抛物线与x轴的交点;H4:二次函数图象与系数的关系.
【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标,可求出另一交点坐标,结论①正确;②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点,即可得出b=﹣4a、c=0,即4a+b+c=0,结论②正确;③根据抛物线的对称性结合当x=5时y>0,即可得出a﹣b+c>0,结论③错误;④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0,即可求出抛物线的顶点坐标,结论④正确;⑤观察函数图象可知,当x<2时,yy随x增大而减小,结论⑤错误.综上即可得出结论.
【解答】解:①∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(0,0),结论①正确;
②∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,且抛物线过原点,
∴﹣=2,c=0,
∴b=﹣4a,c=0,
∴4a+b+c=0,结论②正确;
③∵当x=﹣1和x=5时,y值相同,且均为正,
∴a﹣b+c>0,结论③错误;
④当x=2时,y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b,
∴抛物线的顶点坐标为(2,b),结论④正确;
⑤观察函数图象可知:当x<2时,yy随x增大而减小,结论⑤错误.
综上所述,正确的结论有:①②④.
故选C.
二、填空题
6.(2017湖北江汉)飞机着陆后滑行的距离s(单位:米)关于滑行的时间t(单位:秒)的函数解析式是s=60t﹣t2,则飞机着陆后滑行的最长时间为 20 秒.
【考点】HE:二次函数的应用.
【分析】将s=60t﹣1.5t2,化为顶点式,即可求得s的最大值,从而可以解答本题.
【解答】解:解:s=60t﹣t2=﹣(t﹣20)2+600,
∴当t=20时,s取得最大值,此时s=600.
故答案是:20.
7. (2017•温州)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1),完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A,出水口B和落水点C恰好在同一直线上,点A至出水管BD的距离为12cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E,则点E到洗手盆内侧的距离EH为 24﹣82 cm.
【考点】HE:二次函数的应用.
【专题】153:代数几何综合题.
【分析】先建立直角坐标系,过A作AG⊥OC于G,交BD于Q,过M作MP⊥AG于P,根据△ABQ∽△ACG,求得C(20,0),再根据水流所在抛物线经过点D(0,24)和B(12,24),可设抛物线为y=ax2+bx+24,把C(20,0),B(12,24)代入抛物线,可得抛物线为y=﹣320x2+95x+24,最后根据点E的纵坐标为10.2,得出点E的横坐标为6+82,据此可得点E到洗手盆内侧的距离.
【解答】解:如图所示,建立直角坐标系,过A作AG⊥OC于G,交BD于Q,过M作MP⊥AG于P,
由题可得,AQ=12,PQ=MD=6,故AP=6,AG=36,
∴Rt△APM中,MP=8,故DQ=8=OG,
∴BQ=12﹣8=4,
由BQ∥CG可得,△ABQ∽△ACG,
∴BQCG=AQAG,即4CG=1236,
∴CG=12,OC=12+8=20,
∴C(20,0),
又∵水流所在抛物线经过点D(0,24)和B(12,24),
∴可设抛物线为y=ax2+bx+24,
把C(20,0),B(12,24)代入抛物线,可得
&24=144a+12b+24&0=400a+20b+24,解得&a=-320&b=95,
∴抛物线为y=﹣320x2+95x+24,
又∵点E的纵坐标为10.2,
∴令y=10.2,则10.2=﹣320x2+95x+24,
解得x1=6+82,x2=6﹣82(舍去),
∴点E的横坐标为6+82,
又∵ON=30,
∴EH=30﹣(6+82)=24﹣82.
故答案为:24﹣82.
【点评】本题以水龙头接水为载体,考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用,在运用数学知识解决问题过程中,关注核心内容,经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程,突出考查数学的应用意识和解决问题的能力,蕴含数学建模,引导学生关注生活,利用数学方法解决实际问题.
8.(2015•营口,第16题3分)某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为 22 元时,该服装店平均每天的销售利润最大.
【解析】 二次函数的应用.根据“利润=(售价﹣成本)×销售量”列出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;把二次函数解析式转化为顶点式方程,利用二次函数图象的性质进行解答.
【解答】 解:设定价为x元,
根据题意得:y=(x﹣15)[8+2(25﹣x)]
=﹣2x2+88x﹣870
∴y=﹣2x2+88x﹣870,
=﹣2(x﹣22)2+98
∵a=﹣2<0,
∴抛物线开口向下,
∴当x=22时,y最大值=98.
故答案为:22.
【点评】 此题题考查二次函数的实际应用,为数学建模题,借助二次函数解决实际问题,解决本题的关键是二次函数图象的性质.
9.(2015•营口,第18题3分)如图,边长为n的正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上,A1、A2、A3、…、An﹣1为OA的n等分点,B1、B2、B3、…Bn﹣1为CB的n等分点,连接A1B1、A2B2、A3B3、…、An﹣1Bn﹣1,分别交y=x2(x≥0)于点C1、C2、C3、…、Cn﹣1,当B25C25=8C25A25时,则n= 5 .
【解析】正方形的性质;二次函数图象上点的坐标特征.据题意表示出OA25,B25A25的长,由B25C25=8C25A25确定点C25的坐标,代入解析式计算得到答案.
【解答】 解:∵正方形OABC的边长为n,点A1,A2,…,An﹣1为OA的n等分点,点B1,B2,…,Bn﹣1为CB的n等分点,
∴OA25=,A25B25=n,
∵B25C25=8C25A25,
∴C25(,),
∵点C25在y=x2(x≥0)上,
∴=×()2,
解得n=5.
故答案为:5.
【点评】 本题考查的是二次函数图象上点的特征和正方形的性质,根据正方形的性质表示出点C25的坐标是解题的关键.
三、解答题
10. (2017内蒙古赤峰)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;
(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;
(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2?若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理由.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)可设抛物线解析式为顶点式,由B点坐标可求得抛物线的解析式,则可求得D点坐标,利用待定系数法可求得直线BD解析式;
(2)设出P点坐标,从而可表示出PM的长度,利用二次函数的性质可求得其最大值;
(3)过Q作QG∥y轴,交BD于点G,过Q和QH⊥BD于H,可设出Q点坐标,表示出QG的长度,由条件可证得△DHG为等腰直角三角形,则可得到关于Q点坐标的方程,可求得Q点坐标.
【解答】解:
(1)∵抛物线的顶点C的坐标为(1,4),
∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4,
∵点B(3,0)在该抛物线的图象上,
∴0=a(3﹣1)2+4,解得a=﹣1,
∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3,
∵点D在y轴上,令x=0可得y=3,
∴D点坐标为(0,3),
∴可设直线BD解析式为y=kx+3,
把B点坐标代入可得3k+3=0,解得k=﹣1,
∴直线BD解析式为y=﹣x+3;
(2)设P点横坐标为m(m>0),则P(m,﹣m+3),M(m,﹣m2+2m+3),
∴PM=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+,
∴当m=时,PM有最大值;
(3)如图,过Q作QG∥y轴交BD于点G,交x轴于点E,作QH⊥BD于H,
设Q(x,﹣x2+2x+3),则G(x,﹣x+3),
∴QG=|﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)|=|﹣x2+3x|,
∵△BOD是等腰直角三角形,
∴∠DBO=45°,
∴∠HGQ=∠BGE=45°,
当△BDQ中BD边上的高为2时,即QH=HG=2,
∴QG=×2=4,
∴|﹣x2+3x|=4,
当﹣x2+3x=4时,△=9﹣16<0,方程无实数根,
当﹣x2+3x=﹣4时,解得x=﹣1或x=4,
∴Q(﹣1,0)或(4,﹣5),
综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(﹣1,0)或(4,﹣5).
11. 如图,直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点,点A在x轴上,∠ACB=90°,抛物线y=ax2+bx+经过A,B两点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点,过点M作MH⊥BC于点H,作MD∥y轴交BC于点D,求△DMH周长的最大值.
【分析】(1)由直线解析式可求得B、C坐标,在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°,则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°,利用三角函数的定义可求得OA,则可求得A点坐标;
(2)由A、B两点坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(3)由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°,在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系,可设出M点的坐标,则可表示出DM的长,从而可表示出△DMH的周长,利用二次函数的性质可求得其最大值.
【解答】解:
(1)∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点,
∴B(3,0),C(0,),
∴OB=3,OC=,
∴tan∠BCO==,
∴∠BCO=60°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACO=30°,
∴=tan30°=,即=,解得AO=1,
∴A(﹣1,0);
(2)∵抛物线y=ax2+bx+经过A,B两点,
∴,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+;
(3)∵MD∥y轴,MH⊥BC,
∴∠MDH=∠BCO=60°,则∠DMH=30°,
∴DH=DM,MH=DM,
∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM,
∴当DM有最大值时,其周长有最大值,
∵点M是直线BC上方抛物线上的一点,
∴可设M(t,﹣ t2+t+),则D(t,﹣ t+),
∴DM=﹣t2+t+),则D(t,﹣ t+),
∴DM=﹣t2+t+﹣(﹣t+)=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+,
∴当t=时,DM有最大值,最大值为,
此时DM=×=,
即△DMH周长的最大值为.
【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、三角函数的定义、二次函数的性质、方程思想等知识.在(1)中注意函数图象与坐标的交点的求法,在(2)中注意待定系数法的应用,在(3)中找到DH、MH与DM的关系是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,难度适中.