2018届中考数学提升练习：专题(六) 一次函数与反比例函数的综合

专题提升(六)　一次函数与反比例函数的综合

【经典母题】

如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．

【解析】 利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．

解：设反比例函数的表达式为y＝，

∵一个端点B的坐标为(80，10)，

∴k＝80×10＝800，

∴反比例函数的表达式为y＝.

∵端点A的纵坐标为80，

∴80＝，x＝10，

∴点A的横坐标为10，

∴自变量的取值范围为10≤x≤80.

【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可．

【中考变形】

1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象有一个公共点A(1，2)．

(1)求这两个函数的表达式；

(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．

     图Z6－2 　中考变形1答图

解：(1)把A(1，2)代入y＝ax，得2＝a，

即y＝2x；

把A(1，2)代入y＝，得b＝2，即y＝；

(2)画草图如答图所示．

由图象可知，当x＞1或－1＜x＜0时，正比例函数值大于反比例函数值．

2．如图Z6－3，已知一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内P，Q(4，m)两点，与x轴交于A点．

(1)分别求出这两个函数的表达式；

(2)写出点P关于原点的对称点P′的坐标；

(3)求∠P′AO的正弦值．

图Z6－3

【解析】①将P点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q点代入反比例函数关系式，即可求出m的值；将P，Q两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．

②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P′的坐标；

③过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D，可构造出′AD，又∵点A在一次函数的图象上，∴可求出点A坐标，得到OA长度，利用P′ 点坐标，可以求出P′D，P′A，即可得到∠P′AO的正弦值．

解：(1)∵点P在反比例函数的图象上，

∴把点P代入y＝，得k2＝4，

∴反比例函数的表达式为y＝，∴Q 点坐标为(4，1)．[来源:学科网ZXXK]

把P，Q(4，1)分别代入y＝k1x＋b中，

得解得

∴一次函数的表达式为y＝－2x＋9；

(2)P′；

(3)如答图，过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D.

 ∵P′，

中考变形2答图

∴OD＝，P′D＝8.

∵点A在y＝－2x＋9的图象上，

∴点A坐标为，即OA＝，

∴DA＝5，∴P′A＝＝.

∴sin∠P′AD＝＝＝.

∴sin∠P′AO＝.

3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A(a，－2)，B两点．

(1)求反比例函数表达式和点B的坐标；

(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连结PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．

    图Z6－4 　　          中考变形3答图

解：(1)∵点A(a，－2)在正比例函数y＝x图象上，

∴－2＝a，∴a＝－4，

∴点A坐标为(－4，－2)．

又∵点A在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝xy＝－4×(－2)＝8，

∴反比例函数的表达式为y＝.

∵A，B既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上，

∴A，B两点关于原点O中心对称，

∴点B的坐标为(4，2)；

(2)如答图，设点P坐标为(a＞0)，∵PC∥y轴，点C在直线y＝x上，

∴点C的坐标为，

∴PC＝＝，

∴S△POC＝PC·a＝·a＝＝3，

当＝3时，解得a＝＝2，

∴P.

当＝－3时，解得a＝2，∴P(2，4)．

综上所述，符合条件的点P的坐标为，(2，4)．

4．如图Z6－5，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求一次函数的表达式；

(3)P是x轴上的一个动点，试确定点P并求出它的坐标，使得PA＋PB最小．

图Z6－5

解：(1)∵点A(1，4)在函数y＝上，

∴m＝xy＝4，∴反比例函数的表达式为y＝；

(2)把B(4，n)代入y＝，4＝xy＝4n，得n＝1，

∴B(4，1)，

∵直线y＝kx＋b经过A，B，

∴解得

∴一次函数的表达式为y＝－x＋5；

(3)点B关于x轴的对称点为B′(4，－1)，

设直线AB′的表达式为y＝ax＋q，

∴解得

∴直线AB′的表达式为y＝－x＋，

令y＝0，解得x＝，

∴当点P的坐标为时，PA＋PB最小．

5．[2017·广安]如图Z6－6，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，

图Z6－6

且OB＝6.

(1)求函数y＝和y＝kx＋b的表达式．

(2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内，求反比例函数y＝的图象上一点P，使得S△POC＝9.

解：(1)∵点A(4，2)在反比例函数y＝的图象上，[来源:Z*xx*k.Com]

∴m＝4×2＝8，

∴反比例函数的表达式为y＝.

∵点B在y轴的负半轴上，且OB＝6，

∴点B的坐标为(0，－6)，

把点A(4，2)和点B(0，－6)代入y＝kx＋b中，

得解得[来源:Z*xx*k.Com]

∴一次函数的表达式为y＝2x－6；

(2)设点P的坐标为(n＞0)．

在直线y＝2x－6上，当y＝0时，x＝3，

∴点C的坐标为(3，0)，即OC＝3，

∴S△POC＝×3×＝9，解得n＝.

∴点P的坐标为.

6．[2017·黄冈]如图Z6－7，一次函数y＝－2x＋1与反比例函数y＝的图象有两个交点A(－1，m)和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为E；过点B作BD⊥y轴，垂足为D，且点D的坐标为(0，－2)，连结DE.

(1)求k的值；

(2)求四边形AEDB的面积．

    图Z6－7          　中考变形6答图

解：(1)将点A(－1，m)代入一次函数y＝－2x＋1，

得－2×(－1)＋1＝m，解得m＝3.

∴A点的坐标为(－1，3)．

将A(－1，3)代入y＝，得k＝(－1)×3＝－3；

(2)如答图，设直线AB与y轴相交于点M，则点M的坐标为(0，1)，

∵D(0，－2)，则点B的纵坐标为－2，代入反比例函数，得DB＝，

∴MD＝3.

又∵A(－1，3)，AE∥y轴，

∴E(－1，0)，AE＝3.

∴AE∥MD，AE＝MD.

∴四边形AEDM为平行四边形．

∴S四边形AEDB＝S▱AEDM＋S△MDB

＝3×1＋××3＝.

7．[2016·金华]如图Z6－8，直线y＝x－与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.[来源:Zxxk.Com]

(1)求点A的坐标；

(2)若AE＝AC，①求k的值；

②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．

    图Z6－8 中考变形7答图

解：(1)当y＝0时，得0＝x－，解得x＝3.

∴点A的坐标为(3，0)；

(2)①如答图，过点C作CF⊥x轴于点F.设AE＝AC＝t，点E的坐标是(3，t)，则反比例函数y＝可表示为y＝.

∵直线y＝x－交y轴于点B，

∴B(0，－)．

在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝，

∴∠OAB＝30°.

在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，

∴CF＝t，AF＝AC·cos30°＝t，

∴点C的坐标是.

∴×t＝3t，

解得t1＝0(舍去)，t2＝2.[来源:学科网]

∴k＝3t＝6.

②点E的坐标为，

设点D的坐标是，

∴x＝6，解得x1＝6(舍去)，x2＝－3，

∴点D的坐标是，

∴点E与点D关于原点O成中心对称．

【中考预测】

如图Z6－9，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6.

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)求两函数图象的另一个交点的坐标；

(3)直接写出不等式kx＋b≤的解集．

图Z6－9

解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝6，

∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，

∵CD⊥DA，∴DC∥OB，

∴＝，∴＝，

∴DC＝10，

∴C(－2，10)，B(0，6)，A(3，0)，

代入一次函数y＝kx＋b，

得解得

∴一次函数的表达式为y＝－2x＋6.

∵反比例函数y＝经过点C(－2，10)，

∴n＝－20，

∴反比例函数的表达式为y＝－；

(2)由解得或

∴另一个交点坐标为(5，－4)；

(3)由图象可知kx＋b≤的解集为－2≤x＜0或x≥5.