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    2018届中考数学提升练习:专题(十五) 巧用旋转进行证明与计算
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    2018届中考数学提升练习:专题(十五) 巧用旋转进行证明与计算

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    这是一份2018届中考数学提升练习:专题(十五) 巧用旋转进行证明与计算,共7页。

    已知等边三角形ABC(如图Z15-1).
    (1)以点A为旋转中心,将△ABC按逆时针方向旋转30°,作出旋转后的图形;
    (2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边?证明你的判断.

    图Z15-1 经典母题答图
    解:(1)如答图所示;
    (2)AD⊥BC,DE⊥AC,AB⊥AE.证明略.
    【思想方法】 旋转前、后的图形全等,所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系,或通过旋转(割补)图形,把分散的已知量聚合起来,便于打通解题思路,找到解题突破口.
    【中考变形】
    1.如图Z15-2,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,AE与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连结OC,FG,则下列结论:①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BOC=∠EOC,其中正确结论的个数是 ( D )
    图Z15-2
    A.1个 B.2个
    C.3个 D.4个
    2.如图Z15-3,P是等腰直角三角形ABC外一点,把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′,已知∠AP′B=135°,P′A∶P′C=1∶3,则P′A∶PB=( B )
    A.1∶eq \r(2) B.1∶2[来源:Z。xx。k.Cm]
    C.eq \r(3)∶2 D.1∶eq \r(3)

    图Z15-3 中考变形2答图
    【解析】 如答图,连结AP,PP′,∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′,
    ∴BP=BP′,∠ABP+∠ABP′=90°.∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=BC,∠CBP′+∠ABP′=90°,∴∠ABP=∠CBP′.在△ABP和△CBP′中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BP=BP′,,∠ABP=∠CBP′,,AB=CB,))
    ∴△ABP≌△CBP′(SAS),∴AP=P′C.∵P′A∶P′C=1∶3,∴AP=3P′A.
    ∵△PBP′是等腰直角三角形,∴∠BP′P=45°,PP′=eq \r(2)PB.∵∠AP′B=135°,∴∠AP′P=135°-45°=90°,∴△APP′是直角三角形.设P′A=x,则AP=3x,根据勾股定理,得PP′=eq \r(AP2-P′A2)=eq \r((3x)2-x2)=2eq \r(2)x,∴P′B=PB=2x,∴P′A∶PB=x∶2x=1∶2.
    3.[2017·徐州]如图Z15-4,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3eq \r(3),将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连结DC,DB.
    (1)线段DC=__4__;
    (2)求线段DB的长度.
    图Z15-4中考变形3答图
    解:(1)∵AC=AD,∠CAD=60°,
    ∴△ACD是等边三角形,∴DC=AC=4;
    (2)如答图,作DE⊥BC于点E.
    ∵△ACD是等边三角形,
    ∴∠ACD=60°,又∵AC⊥BC,
    ∴∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°,
    在Rt△CDE中,DE=eq \f(1,2)DC=2,CE=DC·cs30°=4×eq \f(\r(3),2) =2eq \r(3),
    ∴BE=BC-CE=3eq \r(3)-2eq \r(3)=eq \r(3).
    在Rt△BDE中,BD=eq \r(DE2+BE2)=eq \r(22+(\r(3))2)=eq \r(7).
    4.如图Z15-5①,在△ABC中,AE⊥BC于点E,AE=BE,D是AE上的一点,且DE=CE,连结BD,CD.
    (1)判断BD与AC的位置关系和数量关系,并给出证明;
    (2)如图②,若将△DCE绕点E旋转一定的角度后,BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化?为什么?
    (3)如图③,将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变,求BD与AC夹角的度数.
    图Z15-5
    解:(1)BD与AC的位置关系是BD⊥AC,数量关系是BD=AC.证明:
    中考变形4答图①
    如答图①,延长BD交AC于点F.
    ∵AE⊥BC于点E,
    ∴∠BED=∠AEC=90°.
    ∵AE=BE,DE=CE,
    ∴△DBE≌△CAE(SAS),
    ∴BD=AC,∠DBE=∠CAE,∠BDE=∠ACE.
    ∵∠BDE=∠ADF,∴∠ADF=∠ACE.
    ∵∠ACE+∠CAE=90°,∴∠ADF+∠CAE=90°,∴BD⊥AC;
    (2)否.证明:如答图②,AC与BD交于点F,
    ∵∠AEB=∠DEC=90°,
    ∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED,
    中考变形4答图②
    即∠BED=∠AEC.
    ∵AE=BE,DE=CE,
    ∴△BED≌△AEC(SAS),
    ∴BD=AC,∠BDE=∠ACE,∠DBE=∠CAE.
    ∵∠BFC=∠ACD+∠CDE+∠BDE=∠ACD+∠CDE+∠ACE=90°,∴BD⊥AC;
    (3)如答图③,AC与BD交于点F.
    ∵△ABE和△DEC是等边三角形,
    ∴AE=BE,DE=EC,∠EDC=∠DCE=60°,
    ∠BEA=∠DEC=60°,
    中考变形4答图③
    ∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED,
    ∴∠BED=∠AEC,
    在△BED和△AEC中,
    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BE=AE,,∠BED=∠AEC,,DE=CE,))∴△BED≌△AEC(SAS),∴∠BDE=∠ACE,
    ∴∠DFC=180°-(∠BDE+∠EDC+∠DCF)=60°,
    ∴BD与AC的夹角度数为60°或120°.
    5.阅读下面的材料:
    小伟遇到这样一个问题:如图Z15-6①,在正三角形ABC内有一点P,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.小伟是这样思考的:如图②,利用旋转和全等的知识构造△AP′C,连结PP′,得到两个特殊的三角形,从而将问题解决.
    (1)请你回答:图①中∠APB=__150°__;
    参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
    (2)如图③,在正方形ABCD内有一点P,且PA=2eq \r(2),PB=1,PD=eq \r(17),求∠APB的度数和正方形的边长.
    图Z15-6
    解:(1)如答图①,把△APB绕点A逆时针旋转60°得△AP′C,
    由旋转的性质,得P′A=PA=3,P′C=PB=4,∠PAP′=60°,
    ∴△APP′是等边三角形,
    ∴PP′=PA=3,∠AP′P=60°,
    ∵PP′2+P′C2=32+42=25,PC2=52=25,
    ∴PP′2+P′C2=PC2,∴∠PP′C=90°,
    中考变形5答图①
    ∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°
    =150°,
    ∴∠APB=∠AP′C=150°;
    (2)如答图②,把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AP′D,
    由旋转的性质,得P′A=PA=2eq \r(2),P′D=PB=1,
    ∠PAP′=90°,
    ∴△APP′是等腰直角三角形,
    中考变形5答图②
    ∴PP′=eq \r(2)PA=eq \r(2)×2eq \r(2)=4,
    ∠AP′P=45°,
    ∵PP′2+P′D2=42+12=17,PD2=(eq \r(17))2=17,
    ∴PP′2+P′D2=PD2,∴∠PP′D=90°,
    ∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°,
    ∴∠APB=∠AP′D=135°.
    ∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°,
    ∴P′,P,B三点共线.
    过点A作AE⊥PP′于点E,则AE=PE=eq \f(1,2)PP′=2,
    ∴BE=PE+PB=2+1=3,
    在Rt△ABE中,AB=eq \r(AE2+BE2)=eq \r(22+32)=eq \r(13).
    【中考预测】
    (1)如图Z15-7①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高线AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数;
    (2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连结NH,试判断MN2,ND2,DH2之间的数量关系,并说明理由;
    (3)在图①中,若EG=4,GF=6,求正方形ABCD的边长.
    图Z15-7
    解:(1)在正方形ABCD中,∠B=∠D=90°,
    ∵AG⊥EF,∴△ABE和△AGE是直角三角形.
    在Rt△ABE和Rt△AGE中,
    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB=AG,,AE=AE,))
    ∴△ABE≌△AGE(HL),∴∠BAE=∠GAE.
    同理,∠GAF=∠DAF.
    ∴∠EAF=∠EAG+∠FAG=eq \f(1,2)∠BAD=45°;
    (2)MN2=ND2+DH2.
    由旋转可知,∠BAM=∠DAH,
    ∵∠BAM+∠DAN=45°,
    ∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°.
    ∴∠HAN=∠MAN.
    在△AMN与△AHN中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AM=AH,,∠MAN=∠HAN,,AN=AN,))
    ∴△AMN≌△AHN(SAS),∴MN=HN.
    ∵∠BAD=90°,AB=AD,∴∠B=∠ADB=45°,
    ∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°,
    ∴NH2=ND2+DH2,∴MN2=ND2+DH2;
    (3)由(1)知,BE=EG=4,DF=FG=6.
    设正方形ABCD的边长为x,则CE=x-4,CF=x-6.
    ∵CE2+CF2=EF2,∴(x-4)2+(x-6)2=102,
    解得x1=12,x2=-2(不合题意,舍去).
    ∴正方形ABCD的边长为12.
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