高考数学一轮复习 选修4－4 第1节 坐标系.ppt

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[考纲传真] 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λx，λ＞0，,y′＝μy，μ＞0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
2．极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
图1
(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．
3．极坐标与直角坐标的互化
4.圆的极坐标方程
5.直线的极坐标方程
(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．
(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcs θ＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＜θ＜\f(π,2))).
(3)直线过Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b，\f(π,2)))且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin_θ＝b(0＜θ＜π)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )
(2)若点P的直角坐标为(1，－eq \r(3))，则点P的一个极坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3))).( )
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( )
(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝eq \f(1,cs θ＋sin θ)，0≤θ≤eq \f(π,2)
B．ρ＝eq \f(1,cs θ＋sin θ)，0≤θ≤eq \f(π,4)
C．ρ＝cs θ＋sin θ，0≤θ≤eq \f(π,2)
D．ρ＝cs θ＋sin θ，0≤θ≤eq \f(π,4)
A [∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcs θ(0≤ρcs θ≤1)，
∴ρ＝eq \f(1,sin θ＋cs θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,2))).]
3．(教材改编)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．
x2＋y2－2y＝0 [由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ.
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.]
4．已知直线l的极坐标方程为2ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2)，点A的极坐标为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(7π,4)))，则点A到直线l的距离为________．
eq \f(5\r(2),2) [由2ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2)，得2ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin θ－\f(\r(2),2)cs θ))＝eq \r(2)，
∴y－x＝1.
由Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(7π,4)))，得点A的直角坐标为(2，－2)．
∴点A到直线l的距离d＝eq \f(|2＋2＋1|,\r(2))＝eq \f(5\r(2),2).]
5．(2015·江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2eq \r(2)ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))－4＝0，求圆C的半径．
[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.2分
圆C的极坐标方程可化为ρ2＋2eq \r(2)ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin θ－\f(\r(2),2)cs θ))－4＝0，4分
化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcs θ－4＝0.6分
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆C的半径为eq \r(6).10分
将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
[解] (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x1，,y＝2y1.))2分
由xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝1得x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))2＝1，
故曲线C的方程为x2＋eq \f(y2,4)＝1.5分
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋\f(y2,4)＝1，,2x＋y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))6分
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，所求直线斜率为k＝eq \f(1,2)，8分
于是所求直线方程为y－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
化为极坐标方程，并整理得2ρcs θ－4ρsin θ＝－3，
故所求直线的极坐标方程为ρ＝eq \f(3,4sin θ－2cs θ).10分
[规律方法] 1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解．
2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入转化．
[变式训练1] 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y.))
【导学号：31222437】
(1)求点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－2))经过φ变换所得点A′的坐标；
(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．
[解] (1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换
φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,y′＝\f(y,2)，))2分
∴x′＝eq \f(1,3)×3＝1，y′＝eq \f(－2,2)＝－1.∴点A′的坐标为(1，－1).5分
(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．
由伸缩变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x′,3)，,y＝2y′，))8分
代入y＝6x，得2y′＝6·eq \f(x′,3)＝2x′，
∴y′＝x′为所求直线l′的方程.10分
(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
[解] (1)因为x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcs θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcs θ－4ρsin θ＋4＝0.4分
(2)将θ＝eq \f(π,4)代入ρ2－2ρcs θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－3eq \r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq \r(2)，ρ2＝eq \r(2).8分
故ρ1－ρ2＝eq \r(2)，即|MN|＝eq \r(2).
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为eq \f(1,2).10分
[迁移探究1] 若本例条件不变，求直线C1与C2的交点的极坐标．
[解] 联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρcs θ＝－2，,θ＝\f(π,4)，))
解得θ＝eq \f(π,4)且ρ＝－2eq \r(2).6分
所以交点的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2\r(2)，\f(π,4))).10分
[迁移探究2] 本例条件不变，求圆C2关于极点的对称圆的方程．
[解] 因为点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，
设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C2上，
所以(－ρ)2＋2ρcs θ＋4ρsin θ＋4＝0.6分
故所求圆C2关于极点的对称圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y＋4＝0.10分
[规律方法] 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝eq \f(y,x)(x≠0)．
2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法．
[变式训练2] (2016·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcs θ－eq \r(3)ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cs θ.
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；
(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．
[解] (1)由C1：ρcs θ－eq \r(3)ρsin θ－1＝0，
∴x－eq \r(3)y－1＝0，表示一条直线.2分
由C2：ρ＝2cs θ，得ρ2＝2ρcs θ，
∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1.
∴C2是圆心为(1,0)，半径r＝1的圆.4分
(2)由(1)知点(1,0)在直线x－eq \r(3)y－1＝0上，
因此直线C1过圆C2的圆心.6分
∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径．
因此两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.10分
(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs t，,y＝1＋asin t))(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cs θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
[解] (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.2分
将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.4分
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，,ρ＝4cs θ.))
若ρ≠0，由方程组得16cs2θ－8sin θcs θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，得16cs2θ－8sin θcs θ＝0，8分
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1.10分
[规律方法] 1.第(1)问将曲线C1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力．第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解．
2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
[变式训练3] (2017·太原市质检)已知曲线C1：x＋eq \r(3)y＝eq \r(3)和C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(6)cs φ，,y＝\r(2)sin φ))(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．
(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；
(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．
[解] (1)曲线C1化为ρcs θ＋eq \r(3)ρsin θ＝eq \r(3).
∴ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2).2分
曲线C2化为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1.(*)
将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入(*)式
得eq \f(ρ2,6)cs2θ＋eq \f(ρ2,2)sin2θ＝1，即ρ2(cs2θ＋3sin2θ)＝6.
∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝eq \f(6,1＋2sin2θ).4分
(2)∵M(eq \r(3)，0)，N(0,1)，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，
∴OP的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)，6分
把θ＝eq \f(π,6)代入ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)得ρ1＝1，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,6))).
把θ＝eq \f(π,6)代入ρ2＝eq \f(6,1＋2sin2θ)得ρ2＝2，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6))).8分
∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.10分
[思想与方法]
1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcs θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等．
2．确定极坐标方程的四要素：
极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．
[易错与防范]
1．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．极坐标与P点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ＜2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．
2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：
(1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．
(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用．
课时分层训练(六十七) 坐标系
1．在极坐标系中，求点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))到直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＝1的距离．
[解] 点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))化为直角坐标为(eq \r(3)，1)，3分
直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＝1化为ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin θ－\f(1,2)cs θ))＝1，
得eq \f(\r(3),2)y－eq \f(1,2)x＝1，
即直线的方程为x－eq \r(3)y＋2＝0，6分
故点(eq \r(3)，1)到直线x－eq \r(3)y＋2＝0的距离d＝eq \f(|\r(3)－\r(3)×1＋2|,\r(12＋－\r(3)2))＝1.10分
2．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cs θ＋sin θ和直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2).
【导学号：31222438】
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
[解] (1)圆O：ρ＝cs θ＋sin θ，即ρ2＝ρcs θ＋ρsin θ，2分
圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0，4分
直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，即ρsin θ－ρcs θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.6分
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－x－y＝0，,x－y＋1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))8分
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))).10分
3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝1，圆C的圆心的极坐标是Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,4)))，圆的半径为1. 【导学号：31222439】
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长．
[解] (1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝eq \f(π,4)－θ或∠AOD＝θ－eq \f(π,4)，2分
OA＝ODcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))或OA＝ODcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))).4分
(2)由ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝1，得eq \f(\r(2),2)ρ(sin θ＋cs θ)＝1，6分
∴直线l的直角坐标方程为x＋y－eq \r(2)＝0，
又圆心C的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，满足直线l的方程，
∴直线l过圆C的圆心，8分
故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分
4．(2017·南京调研)在极坐标系中，已知圆C的圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,3)))，半径r＝3.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且eq \(OQ,\s\up6(→))＝2eq \(QP,\s\up6(→))，求动点P的轨迹方程．
[解] (1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点．
在△OCM中，∠COM＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))，由余弦定理得
|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))，
化简得ρ＝6cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3))).4分
(2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，
由eq \(OQ,\s\up6(→))＝2eq \(QP,\s\up6(→))，得eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OP,\s\up6(→))，
∴ρ1＝eq \f(2,3)ρ，θ1＝θ，8分
代入圆C的方程，得eq \f(2,3)ρ＝6cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))，
即ρ＝9cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3))).10分
5．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2eq \r(3)cs θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
[解] (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2eq \r(3)x＝0，2分
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).4分
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2eq \r(3)cs α，α).8分
所以|AB|＝|2sin α－2eq \r(3)cs α|＝4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3))))).
当α＝eq \f(5π,6)时，|AB|取得最大值，最大值为4.10分
6．从极点O作直线与另一直线l：ρcs θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值．
[解] (1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.2分
∵ρ0cs θ＝4，
∴ρ＝3cs θ，即为所求的轨迹方程.4分
(2)将ρ＝3cs θ化为直角坐标方程，
得x2＋y2＝3x，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2.8分
知点P的轨迹是以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))为圆心，半径为eq \f(3,2)的圆．
直线l的直角坐标方程是x＝4.
结合图形易得|RP|的最小值为1.10分
点M
直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化公式
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))
ρ2＝x2＋y2 tan θ＝eq \f(y,x)(x≠0)
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ＜2π)
圆心为(r,0)，半径为r的圆
ρ＝2rcs_θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))
圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆
ρ＝2rsin_θ(0≤0＜π)
平面直角坐标系中的伸缩变换
极坐标与直角坐标的互化
直线与圆的极坐标方程的应用