高考数学一轮复习 第6章 第3节 基本不等式

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1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号且不为零)；
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)；
(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(q2,4)(简记：和定积最大)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.( )
(2)函数f(x)＝cs x＋eq \f(4,cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最小值等于4.( )
(3)x>0，y>0是eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值为2eq \r(a).( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2eq \r(ab)
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(2,\r(ab))
D.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
D [∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a0时取等号，故选C.]
4．若函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
【导学号：31222209】
A．1＋eq \r(2)B．1＋eq \r(3)
C．3D．4
C [当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(x－2×\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C.]
5．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.
25 [设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，
则另一边为eq \f(1,2)×(20－2x)＝(10－x)m，
则y＝x(10－x)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x＋10－x,2)))2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]
(1)(2015·湖南高考)若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2)D．4
(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．
(1)C (2)3 [(1)由eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)知a>0，b>0，所以eq \r(ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2eq \r(\f(2,ab))，即ab≥2eq \r(2)，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＝\f(2,b)，,\f(1,a)＋\f(2,b)＝\r(ab)，))即a＝eq \r(4,2)，b＝2eq \r(4,2)时取“＝”，所以ab的最小值为2eq \r(2).
(2)由x2＋2xy－3＝0得y＝eq \f(3－x2,2x)＝eq \f(3,2x)－eq \f(1,2)x，则2x＋y＝2x＋eq \f(3,2x)－eq \f(1,2)x＝eq \f(3x,2)＋eq \f(3,2x)≥2eq \r(\f(3x,2)·\f(3,2x))＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.]
[规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．
2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．
[变式训练1] (1)(2016·湖北七市4月联考)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥m恒成立，则m的最大值等于( )
A．10B．9
C．8D．7
(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最大值为__________．
(1)B (2)－4 [(1)∵eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(22a＋b,a)＋eq \f(2a＋b,b)＝4＋eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)＋1＝5＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋2×2eq \r(\f(b,a)×\f(a,b))＝9，当且仅当a＝b＝eq \f(1,3)时取等号．又eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9，故选B.
(2)∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m0，a＋b＝1，求证：
(1)eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9.
[证明] (1)eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,a)＋eq \f(a＋b,b)＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2＝4，3分
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8(当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立).5分
(2)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋eq \f(1,a)＝1＋eq \f(a＋b,a)＝2＋eq \f(b,a)，同理1＋eq \f(1,b)＝2＋eq \f(a,b)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,b)))
＝5＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4＝9，10分
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9(当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立).12分
法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))＝1＋eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)，
由(1)知，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8，10分
故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))＝1＋eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥9.12分
[规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．
2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
[变式训练2] 设a，b均为正实数，求证：eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＋ab≥2eq \r(2).
【导学号：31222210】
[证明] 由于a，b均为正实数，
所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)≥2eq \r(\f(1,a2)·\f(1,b2))＝eq \f(2,ab)，3分
当且仅当eq \f(1,a2)＝eq \f(1,b2)，即a＝b时等号成立，
又因为eq \f(2,ab)＋ab≥2eq \r(\f(2,ab)·ab)＝2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(2,ab)＝ab时等号成立，
所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＋ab≥eq \f(2,ab)＋ab≥2eq \r(2)，8分
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＝\f(1,b2)，,\f(2,ab)＝ab，))即a＝b＝eq \r(4,2)时取等号.12分
运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗
油eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(x2,360)))升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
[解] (1)设所用时间为t＝eq \f(130,x)(h)，
y＝eq \f(130,x)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(x2,360)))＋14×eq \f(130,x)，x∈[50,100].2分
所以这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝eq \f(130×18,x)＋eq \f(2×130,360)x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(50，100)).
(或y＝eq \f(2 340,x)＋eq \f(13,18)x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(50，100))).5分
(2)y＝eq \f(130×18,x)＋eq \f(2×130,360)x≥26 eq \r(10)，
当且仅当eq \f(130×18,x)＝eq \f(2×130,360)x，
即x＝18eq \r(10)，等号成立.8分
故当x＝18eq \r(10)千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26eq \r(10)元.12分
[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
[变式训练3] 某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．
[解] (1)由题意得，
y＝eq \f(100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2x,x)，
即y＝x＋eq \f(100,x)＋1.5(x∈N*).5分
(2)由基本不等式得：
y＝x＋eq \f(100,x)＋1.5≥2eq \r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，8分
当且仅当x＝eq \f(100,x)，即x＝10时取等号．
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分
[思想与方法]
1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
2．基本不等式的两个变形：
(1)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(2)eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
[易错与防范]
1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．
3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
课时分层训练(三十四) 基本不等式
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知x>－1，则函数y＝x＋eq \f(1,x＋1)的最小值为( )
【导学号：31222211】
A．－1 B．0
C．1D．2
C [由于x>－1，则x＋1>0，所以y＝x＋eq \f(1,x＋1)＝(x＋1)＋eq \f(1,x＋1)－1≥2eq \r(x＋1·\f(1,x＋1))－1＝1，当且仅当x＋1＝eq \f(1,x＋1)，由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．]
2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2”成立的( )
【导学号：31222212】
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
B [因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2⇔ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2”的必要不充分条件．]
3．(2016·吉林东北师大附中等校联考)函数f(x)＝ax－1－2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx－ny－1＝0上，其中m>0，n>0，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为( ) 【导学号：31222213】
A．4B．5
C．6D．3＋2eq \r(2)
D [由题意知A(1，－1)，因为点A在直线mx－ny－1＝0上，所以m＋n＝1，所以eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(m＋n)＝3＋eq \f(n,m)＋eq \f(2m,n)，
因为m>0，n>0，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝3＋eq \f(n,m)＋eq \f(2m,n)≥3＋2eq \r(\f(n,m)·\f(2m,n))
＝3＋2eq \r(2).
当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(2m,n)时，取等号，故选D.]
4．(2016·安徽安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．4B．2eq \r(2)
C．8D．16
B [由a>0，b>0，a＋b＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)，
得ab＝1，
则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2eq \r(\f(1,a)·\f(2,b))＝2eq \r(2).当且仅当eq \f(1,a)＝eq \f(2,b)，即a＝eq \f(\r(2),2)，b＝eq \r(2)时等号成立．故选B.]
5．(2016·郑州外国语学校月考)若a>b>1，P＝eq \r(lg a·lg b)，Q＝eq \f(1,2)(lg a＋lg b)，R＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))，则( )
A．Rlgeq \r(ab)＝eq \f(1,2)(lg a＋lg b)＝Q，即R>Q，∴P0，f(x)＝x－1＋eq \f(p,x－1)＋1≥2eq \r(p)＋1，当且仅当x＝eq \r(p)＋1时取等号，所以2eq \r(p)＋1＝4，
解得p＝eq \f(9,4).]
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．
20 [每次都购买x吨，则需要购买eq \f(400,x)次．
∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，
∴一年的总运费与总存储费用之和为4×eq \f(400,x)＋4x万元．
∵4×eq \f(400,x)＋4x≥160，当且仅当4x＝eq \f(4×400,x)时取等号，
∴x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]
三、解答题
9．(1)当x0，
则1＝eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)≥2 eq \r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq \f(8,\r(xy))，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.5分
(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，
则x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))·(x＋y)＝10＋eq \f(2x,y)＋eq \f(8y,x)
≥10＋2 eq \r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.8分
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．要制作一个容积为4 m3 ，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
【导学号：31222214】
A．80元B．120元
C．160元D．240元
C [由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，
所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是eq \f(4,x) m．又设总造价是y元，则
y＝20×4＋10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(8,x)))≥80＋20eq \r(2x·\f(8,x))＝160.
当且仅当2x＝eq \f(8,x)，即x＝2时取得等号．]
2．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x⊗y＝eq \f(x2－y2,xy)(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
eq \r(2) [因为xy＝eq \f(x2－y2,xy)，所以(2y)x＝eq \f(4y2－x2,2xy).又x>0，y>0.故xy＋(2y)x＝eq \f(x2－y2,xy)＋eq \f(4y2－x2,2xy)＝eq \f(x2＋2y2,2xy)≥eq \f(2\r(2)xy,2xy)＝eq \r(2)，当且仅当x＝eq \r(2)y时，等号成立．]
3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋eq \f(1,t)，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.
(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值．
[解] (1)W(t)＝f(t)g(t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(1,t)))(120－|t－20|)
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(401＋4t＋\f(100,t)，1≤t≤20，,559＋\f(140,t)－4t，20