3.1.2 分段函数及函数图像变换

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（1）定义：一般地，在定义域不同的部分，有不同的解析式，像这样的函数叫作分段函数.
（2）理解：ⅰ）分段函数是一个函数，而不是几个函数
ⅱ）写分段函数的定义域时，区间的端点位置要不重不漏
ⅲ）处理分段函数问题时，先要确定自变量的取值属于哪一段，然后选取相应的对应关系.
ⅳ)分段函数的定义域是各段定义域的并集；分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集；分段函数的最大（小）值则是分别在每段上求出最大（小）值，然后在各段的最大（小）值中取最大（小）值.
（3）分段函数的图象
分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段定义区间和表达式依次画图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，将每段图像组合到一起就得到整个分段函数的图象.
题型二：分段函数的应用
1.分段函数求值问题
（1）分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解，对于多层“”的问题，要按照“由内到外”的顺序逐层处理
（2）已知函数值，求自变量的值时，将“”脱掉，转化为关于自变量的方程求解
例1．已知则（ ）
A．7B．2C．10D．12
已知函数，则_________．
例3：已知函数.（1）求的值；（2）若，求.
例4．已知函数，若，则 ______________.
变式训练
1．已知函数，则_______，若，则______．
2．设函数，若，则实数___________.
3．已知函数，则_________．
4．设若，则________．
2.分段函数与不等式
分段函数的不等式的解集问题，一般都要通过分类讨论求解，每一类中条件与解得的范围取交集，而各类之间取并集.
已知函数，求使成立的值组成的集合
变式训练
函数，若，则的取值范围
若函数，则不等式的解集为
3．已知，若，则的取值范围是___________.
分段函数的值域问题
分段函数值域是各段函数值域的并集。
例1．已知函数，则 的最大值是（ ）
A．0B．2C．D．1
变式训练
1．设函数，则函数的值域是__________．
基础巩固
1．已知函数，则f(f(4))＝（ ）
A．－2B．0C．4D．16
2．函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．设函数，若，则实数的取值范围是__________．
4．已知函数，则__________；若，则_________．
5．已知实数，函数，若，则a的值为（ ）
A．B．C．或D．
6．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若，求的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
10．若定义运算，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，.
(1) 当时，求；
(2) 当时，求的解析式；
(3) 求方程的解.
能力提升
12．已知函数f（2x+3）＝4x+5，且f（a）＝3，则a＝______________
13．设函数，则________，使得的实数的取值范围是______．
14．已知函数，若，则的值域是___________；若的值域为，则实数的取值范围是_________.
15．已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
16．设集合，，函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．（多选题）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为RB．的值域为
C．若，则x的值是D．的解集为
18．如图，已知，，点P从B点沿直线BC运动到C点，过P做BC的垂线l，记直线l左侧部分的多边形为Ω，设，Ω的面积为，Ω的周长为．
（1）求和的解析式；
（2）记，求的最大值．
参考答案
1．C
【详解】
函数，(4)，(4).故选：.
2．C
【详解】
由题意，∴．故选：C．
3．
【详解】解：当时，，解得（舍去）
当时，，得，解得或（舍去）综上，实数的取值范围为，故答案为：
4．15 -3
【详解】
解：由题意，函数，则，
所以；
当时，可得，解得：，
当时，可得，解得：（舍去）.故答案为：15；-3.
5．A
【详解】
若，，则，，
，，不合题意；
若，，则，，
，，综上，．故选：A．
6．C
要使的值域为R，则应满足，解得.故选：C.
7．D
【详解】
若，则，，，
即，，解得；
若，则，，，
即，，解得；
若，，，满足，
综上所述，，的取值范围为，故选：D.
8．B
【详解】
解：令，，
，即．
；．故选：．
9．C
【详解】
当时，，得，当时，，，成立，
当时，，得，得，不成立；所以.故选：C
10．A
【详解】
由，得，
当，，当，
，
可得故选：A.
11．（1）（2）（3）或
【详解】
（1）当时，，，
故．
（2）由（1）知，当时，．
当时，，，故．
当时，，，故．
所以当时，的解析式为．
（3），，
所以方程即为：解得或．
12．2
【详解】
函数f（2x+3）＝4x+5，设，则，
，，解得.故答案为：2.
13．
【详解】
因为，所以，因此；
当时，可化为，即显然恒成立，所以；
当时，，解得；综上，.故答案为；.
14．
【详解】
当时，，当，，
当时，在单调递减，在单调递减，
所以时，当时，此时，
所以值域为.当时，在单调递增，此时，
是的子集，所以，解得，
当时，在单调递增，
此时值域为，不符合题意，当时，在和单调递增，
此时值域为，不符合题意，
当时，在单调递增，此时，
当时，对称轴为，
令，可得，
令解得：或，
若的值域为则，
又因为是的子集，
所以解得，所以.
故答案为：；.
15．C
【详解】
时，满足题意，
时，，，∴
综上满足的的范围是，下面解不等式，
时，，解得，∴，
时，，，恒成立，∴，
综上．故选：C
16．C
【详解】
当时，则，由，解得，
又，所以.故选：C
17．BC
【详解】
函数，定义分和两段，定义域是，故A错误；
时，值域为，时，，值域为，故的值域为，故B正确；
由值的分布情况可知，在上无解，故，即，得到，故C正确；
时令，解得，时，令，解得，故的解集为，故D错误.故选：BC.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）作的高，当时，根据，计算得到与；从而计算和；当时根据，计算得到，，从而计算和；（2）根据（1）的结果分别计算和时的最值，再比较大小可得.
【详解】
（1）作的高，，，
当，，所以，，，.
当，，所以，，；
（2）当，，最大值为.
当时，
当且仅当时，有最大值，又，故最大值为．
第四课时：函数图像及其应用
知识点一：函数的图象变换
函数图像的变换；
作函数图像的基本步骤：列表；描点；连线.
函数的图像与函数及函数的图像有怎样的关系呢？我们先来看一个例子.
作出函数的图像，观察它们之间有怎样的关系.
在同一平面直角坐标系中，它们的图像如图所示：
观察图像可知，函数的图像可以由函数的图像向左平移一个单位长度得到；函数的图像可以由函数的图像向下平移一个单位长度得到.
由此得到如下规律：
函数的图像是由函数的图像沿轴向左或向右平移个单位长度得到，即“左加右减”；
函数的图像是由函数的图像沿轴向上或向下平移个单位长度得到，即“上加下减”；
归纳为：平移（左加右减，上加下减，只对自变量x而言）：
向左平移个单位
向右平移个单位
向上平移个单位
向下平移个单位
（2）函数图像的对称变换
函数的图像与函数，函数及函数的图象又有怎样的关系呢？我们来看一个例子.
作出函数，，，的图像，观察它们之间有怎样的关系.
在同一平面直角坐标系中作出①，②，③，④的图像的一部分，如图所示.
观察图像可知：函数的图像可由函数的图像作轴的对称变换得到；
函数的图像可由函数的图像作轴的对称变换得到；
函数的图像可由函数的图像作关于原点的对称变换得到。
由此可得如下规律.函数图像的对称变换包括以下内容：
函数的图像可由函数的图像作关于轴的对称变换得到；
函数的图像可由函数的图像作关于轴的对称变换得到；
（3）函数的图像可由函数的图像作关于原点的对称变换得到；
对称：
图像关于轴对称
图像关于轴对称
图像关于原点对称
（3）函数的翻折变换
函数图像的翻折的变换是指函数与的图像间的关系.
作出函数及的图像，观察它们与函数图像之间有怎样的关系.
事实上，，
.
在不同的平面直角坐标系中，分别作出及的图像，如图所示：
通过观察两个图像可知，
的图像可由经过下列变换得到：保持的图像在轴上及其上方的部分不变，将轴下方的部分沿轴翻折上去，即可得到的图形.
的图像可由下列变换得到：保持的图像在轴上及右侧的图像不变，轴左侧的图像换成将轴右侧的图像沿轴翻折而成的图形，则这两部分就构成了的图像.
由此可得如下规律：
（1）要作的图像，可先作的图像，然后将轴及其上方的部分保持不变，轴下方的部分沿轴对称地翻折上去即可.
（2）要作的图像，可先作的图像，然后保持轴上及其右侧图像不变，轴左侧的图像换成轴右侧的图像沿轴翻折的图像即可.
翻折：
保留轴上方的图像，再把轴下方的图像对称到轴上方
删去轴左边的图像，保留轴右边的图像，再把轴右边的图像对称到轴左边.
题型一：作函数的图像
例1.作出下列函数的图像
（1） （2） （3）
例2.已知函数
（1）作出函数的图像；（2）判断关于的方程的解的个数
例3：若函数，则函数的最大值为（ ）.
2 B. 1 C. -1 D.无最大值
变式训练
1：函数的大致图形是（ ）
2：作出下列函数的图像并求函数的值域：
；
.
3：11.已知定义在区间[0,2]上的函数的图像如图所示，则函数的图像为（ ）.
4：若方程有四个互补相等的实数根，则的取值范围是 .
5：
（1）．用表示两个数中的最小值．设，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
（2）．设函数，.用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（ ）
A．1B．3C．0D．
（3）．对于a，bR，记Max｛a，b｝= ，函数f（x）=Max｛，｝（xR）的最小值是（ ）
A．B．1C．D．2
（4）．已知设，则函数的最大值是（ ）
A．8B．7C．6D．5