高考数学一轮复习 选修4－4 第2节 课时分层训练68

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课时分层训练(六十八)　参数方程1．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R). 【导学号：31222442】(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．[解]　(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.2分由ρsin＝m，得ρsin θ－ρcos θ－m＝0，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.4分(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，8分即＝2，解得m＝－3±2.10分2．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ. 【导学号：31222443】(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|.[解]　(1)由ρsin2θ＝8cos θ，得ρ2sin2θ＝8ρcos θ，故曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.4分(2)将直线l的方程化为标准形式6分代入y2＝8x，并整理得3t2－16t－64＝0，t1＋t2＝，t1t2＝－.8分所以|AB|＝|t1－t2|＝＝.10分3．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.4分(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.8分|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.所以l的斜率为或－.10分4．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．[解]　(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π).4分(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.8分故D的直角坐标为，即.10分5．(2017·湖北七市三联)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos(a＞0)．(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)；(2)若直线l与C2相切，求a的值．[解]　(1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－，]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，联立解得或(舍去)．故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1,1)，其极坐标为.4分(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a＞0).8分由直线l与C2相切，得＝a，故a＝1.10分6．(2017·福州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.(1)求C的普通方程和l的倾斜角；(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.[解]　(1)由消去参数α，得＋y2＝1，即C的普通方程为＋y2＝1.2分由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)将代入(*)，化简得y＝x＋2，所以直线l的倾斜角为.4分(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)，代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，Δ＝(18)2－4×5×27＝108＞0，8分设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－＜0，t1t2＝＞0，所以t1＜0，t2＜0，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.10分