高考数学一轮复习 第8章 第1节 课时分层训练45

课时分层训练(四十五)　

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

A组　基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)

A．x－y＋1＝0　　　　　 B．x－y－1＝0

C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0

D　[直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.]

2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足(　　)

A．a＋b＝1 B．a－b＝1

C．a＋b＝0 D．a－b＝0

D　[由sin α＋cos α＝0，得＝－1，即tan α＝－1.

又因为tan α＝－，所以－＝－1，则a＝b.]

3．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是(　　)

A．m≠－ B．m≠0

C．m≠0且m≠1 D．m≠1

D　[由解得m＝1，

故m≠1时方程表示一条直线．]

4．在等腰三角形AOB中，OA＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(　　)

 【导学号：31222285】

A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)

C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)

D　[设点B的坐标为(a,0)(a＞0)，

由OA＝AB，得12＋32＝(1－a)2＋(3－0)2，则a＝2，

∴点B(2,0)，易得kAB＝－3，

由两点式，得AB的方程为y－3＝－3(x－1)．]

5．(2017·威海模拟)过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)

 【导学号：31222286】

A．x＝2 B．y＝1

C．x＝1 D．y＝2

A　[∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为π.

依题意，所求直线的倾斜角为－＝，斜率不存在，

∴过点(2,1)的所求直线方程为x＝2.]

二、填空题

6．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________．

 【导学号：31222287】

－　[设P(m,1)，则Q(2－m，－3)，

∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，

∴P(－2,1)，

∴k＝＝－.]

7．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．

[－2,2]　[b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，

如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值，

∴b的取值范围是[－2,2]．]

8．(2017·惠州模拟)直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为________．

4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0　[由题意知，截距不为0，设直线l的方程为＋＝1.

又直线l过点(－3,4)，

从而＋＝1，

解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.]

三、解答题

9．(2017·潍坊模拟)直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，求l的方程．

[解]　若a＝b＝0，则直线l过点(0,0)与(－2,2)，2分

直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.5分

若a≠0，b≠0，则直线l的方程为＋＝1，

由题意知解得10分

此时，直线l的方程为x－y＋4＝0.

综上，直线l的方程为x＋y＝0或x－y＋4＝0.12分

10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．

(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

[解]　(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零，

∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.

当直线不过原点时，截距存在且均不为0，

∴＝a－2，即a＋1＝1，3分

∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.

因此直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.6分

(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，8分

∴或∴a≤－1.10分

综上可知，a的取值范围是a≤－1.12分

B组　能力提升

(建议用时：15分钟)

1．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为(　　) 【导学号：31222288】

A．2x＋y－7＝0　　　　B．x＋y－5＝0

C．2y－x－4＝0 D．2x－y－1＝0

B　[由条件得点A的坐标为(－1,0)，点P的坐标为(2,3)，因为|PA|＝|PB|，根据对称性可知，点B的坐标为(5,0)，从而直线PB的方程为＝，整理得x＋y－5＝0.]

2．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．

3　[直线AB的方程为＋＝1.

∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，

∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)

＝≤3，

即当P点坐标为时，xy取最大值3.]

3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．

[解]　(1)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；3分

当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.5分

(2)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．

依题意得

解得k＞0.7分

∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|

＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，

“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，10分

∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.12分