高考数学一轮复习第8章第4节课时分层训练48

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这是一份高考数学一轮复习第8章第4节课时分层训练48，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切B．相交
C．相离D．不确定
B [由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝eq \f(1,\r(a2＋b2))<1，故直线与圆相交．]
2．(2017·山西太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21B．19
C．9D．－11
C [圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝eq \r(25－m)(m<25)．从而|C1C2|＝eq \r(32＋42)＝5.
两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋eq \r(25－m)＝5，解得m＝9.]
3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A．－2B．－4
C．－6D．－8
B [由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，
得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，
所以圆心坐标为(－1,1)，半径r＝eq \r(2－a)，
圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为eq \f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq \r(2)，
所以22＋(eq \r(2))2＝2－a，解得a＝－4.]
4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB外接圆的方程是( )
【导学号：31222299】
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－4)2＋(y－2)2＝20
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20
A [由题意知，O，A，B，P四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1)．
又圆的半径r＝eq \f(1,2)|OP|＝eq \r(5)，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.]
5．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )
【导学号：31222300】
A．10eq \r(13)B．9eq \r(21)
C．10eq \r(23)D．9eq \r(11)
C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝eq \r(2)，∴最短弦的长为2eq \r(r2－|PC|2)＝2eq \r(25－2)＝2eq \r(23).故所求四边形的面积S＝eq \f(1,2)×10×2eq \r(23)＝10eq \r(23)]．
二、填空题
6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________________. 【导学号：31222301】
x＋y－3＝0 [∵圆C1的圆心C1(3,0)，圆C2的圆心C2(0,3)，∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，
AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.]
7．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.
2 [如图，过点O作OD⊥AB于点D，则
|OD|＝eq \f(5,\r(32＋－42))＝1.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OBD＝30°，
∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.]
8．(2017·安徽十校联考)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：kx－y－2k＝0(k∈R)，若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是__________．
－eq \f(\r(3),3) [圆心C(－2,0)，半径r＝2.
又圆C与直线l恒有公共点．
所以圆心C(－2,0)到直线l的距离d≤r.
因此eq \f(|－2k－2k|,\r(k2＋1))≤2，解得－eq \f(\r(3),3)≤k≤eq \f(\r(3),3).
所以实数k的最小值为－eq \f(\r(3),3).]
三、解答题
9．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.
(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2eq \r(3)，求a的值．
[解] (1)由于过点A的圆的切线只有一条，
则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±eq \r(3).2分
当a＝eq \r(3)时，A(1，eq \r(3))，易知所求切线方程为x＋eq \r(3)y－4＝0；
当a＝－eq \r(3)时，A(1，－eq \r(3))，易知所求切线方程为x－eq \r(3)y－4＝0.5分
(2)设过点A的直线方程为x＋y＝b，
则1＋a＝b，即a＝b－1，8分
又圆心(0,0)到直线x＋y＝b的距离d＝eq \f(|b|,\r(2))，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|b|,\r(2))))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),2)))2＝4，则b＝±eq \r(2).
因此a＝b－1＝±eq \r(2)－1.12分
10．(2017·唐山模拟)已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)．
(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；
(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．
[解] (1)∵点M，N到直线l的距离相等，
∴l∥MN或l过MN的中点．
∵M(0,2)，N(－2,0)，∴直线MN的斜率kMN＝1，
MN的中点坐标为C(－1,1).3分
又∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过定点D(2,2)，
∴当l∥MN时，k＝kMN＝1；
当l过MN的中点时，k＝kCD＝eq \f(1,3).
综上可知，k的值为1或eq \f(1,3).6分
(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，
∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l的距离大于半径，10分
∴d＝eq \f(|－k－1－2k＋2|,\r(k2＋1))>eq \r(2)，解得k<－eq \f(1,7)或k>1.12分
B组能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知直线l：kx＋y－2＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0的对称轴，过点A(0，k)作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为( )
A．2 B．2eq \r(2)
C．3D．2eq \r(3)
D [由圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0得(x－3)2＋(y＋1)2＝1，则C(3，－1)．
依题意，圆C的圆心(3，－1)在直线kx＋y－2＝0上，所以3k－1－2＝0，解得k＝1，则点A(0,1)，
所以|AC|＝eq \r(13)，故|AB|＝eq \r(|AC|2－r2)＝eq \r(13－1)＝2eq \r(3).]
2．(2017·济南质检)过点P(1，eq \r(3))作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则eq \(PA,\s\up8(→))·eq \(PB,\s\up8(→))＝__________.
eq \f(3,2) [如图所示，可知OA⊥AP，OB⊥BP，OP＝eq \r(1＋3)＝2.
又OA＝OB＝1，可以求得AP＝BP＝eq \r(3)，∠APB＝60°.
故eq \(PA,\s\up8(→))·eq \(PB,\s\up8(→))＝eq \r(3)×eq \r(3)×cs 60°＝eq \f(3,2).]
3．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比为eq \f(1,3)的两段弧？
若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．
【导学号：3122302】
[解] (1)将y＝kx代入圆C的方程x2＋(y－4)2＝4.
得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.2分
∵直线l与圆C交于M，N两点，
∴Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k2)>0，得k2>3，(*)
∴k的取值范围是(－∞，－eq \r(3))∪(eq \r(3)，＋∞).5分
(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为eq \f(1,3)的两段弧，
则劣弧所对的圆心角∠MCN＝90°，
由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0,4)，半径r＝2.8分
在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin 45°＝eq \r(2)，
故圆心C(0,4)到直线kx－y＝0的距离eq \f(|0－4|,\r(1＋k2))＝eq \r(2)，
∴1＋k2＝8，k＝±eq \r(7)，经验证k＝±eq \r(7)满足不等式(*)，10分
故l的方程为y＝±eq \r(7)x.
因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±eq \r(7)x.12分