高考数学一轮复习 第7章 第3节 课时分层训练40

课时分层训练(四十)　

空间点、直线、平面之间的位置关系

A组　基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．(2015·湖北高考)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则(　　)

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

A　[若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线，故p⇒q，qD⇒/p，故p是q的充分不必要条件．]

2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是(　　)

A．①　　　 B．①④

C．②③ D．③④

A　[显然命题①正确．

由三棱柱的三条平行棱不共面知，②错．

命题③中，两个平面重合或相交，③错．

三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④不正确．]

3．(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)

A．相交或平行

B．相交或异面

C．平行或异面

D．相交、平行或异面

D　[依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．]

4．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)

 【导学号：31222251】

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

D　[如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.

若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．

因此l1与l4的位置关系不能确定．]

5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为(　　)

A. B.

C. D.

B　[连接DF，则AE∥DF，

∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角．

设正方体棱长为a，

则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，

∴cos∠D1FD＝＝.]

二、填空题

6.如图7­3­7所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

图7­3­7

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线MN与AC所成的角为60°.

其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)

③④　[由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．

因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.]

7.(2017·佛山模拟)如图7­3­8所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．

图7­3­8

60°　[取A1C1 的中点E，连接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，

设AB＝1，则A1A＝，AB1＝，B1E＝，AE＝，故∠AB1E＝60°.]

8．如图7­3­9，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

【导学号：31222252】

图7­3­9

4　[取CD的中点为G(图略)，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]

三、解答题

9.如图7­3­10所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：

图7­3­10

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；

(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．

[解]　(1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.

因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.2分

又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，

所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，

所以A，M，N，C在同一平面内，

故AM和CN不是异面直线.5分

(2)直线D1B和CC1是异面直线.6分

理由：因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，

则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，

所以D1，B，C，C1∈α，10分

这与B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假设不成立，

即D1B和CC1是异面直线.12分

10．如图7­3­11所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：

图7­3­11

(1)三棱锥P­ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．

[解]　(1)S△ABC＝×2×2＝2，

三棱锥P­ABC的体积为

V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.5分

(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).8分

在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.12分

B组　能力提升

(建议用时：15分钟)

1．(2017·南昌二模)设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是(　　)

A．若a∥α，b∥α，则a∥b

B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α

C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α

D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α

B　[若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；

若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；

若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误．]

2.如图7­3­12，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________. 【导学号：31222253】

图7­3­12

　[取DE的中点H，连接HF，GH.

由题设，HF綊AD，

∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．

在△GHF中，可求HF＝，

GF＝GH＝，

∴cos∠GFH＝＝.]

3．(2016·广州模拟)已知三棱锥A­BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．

[解]　如图，取AC的中点P.连接PM，PN，又点M，N分别是BC，AD的中点，

则PM∥AB，且PM＝AB，

PN∥CD，且PN＝CD，

所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角).6分

则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，

①若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角)．

又因为AB＝CD，所以PM＝PN，

则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，

即AB和MN所成的角为60°.9分

②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形，

所以∠PMN＝30°，即AB和MN所成的角为30°.

综上，直线AB和MN所成的角为60°或30°.12分