高三数学一轮复习： 第7章 第5节 课时分层训练42

课时分层训练(四十二)　

直线、平面垂直的判定及其性质

A组　基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．(2017·西安六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)

A．α⊥β且m⊂α

B．α⊥β且m∥α

C．m∥n且n⊥β

D．m⊥n且α∥β

C　[由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．]

2．(2017·天津河西模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)

A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

B　[A中，α∥β或α与β相交，不正确．B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，

由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确．

C中，l∥β或l⊂β，C不正确．

对于D中，l与β的位置关系不确定．]

3．如图7­5­10，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)

 【导学号：01772260】

图7­5­10

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

D　[因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，

BC⊄平面PDF，

所以BC∥平面PDF，故选项A正确．

在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，

所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．]

4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．(　　)

A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

C　[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；

B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；

C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；

D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．]

5．如图7­5­11，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)

图7­5­11

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

C　[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]

二、填空题

6．如图7­5­12所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

 【导学号：01772261】

图7­5­12

DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[由定理可知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.

又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]

7．如图7­5­13，在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．

 【导学号：01772262】

图7­5­13

　[取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C.

所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．

设三棱柱的所有棱长为a，

在Rt△AED中，

AE＝a，DE＝.

所以tan∠ADE＝＝，则∠ADE＝.

故AD与平面BB1C1C所成的角为.]

8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)

②③④　[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．

对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．

对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．

对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]

三、解答题

9. (2015·北京高考)在三棱锥V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．

(1)求证：VB∥平面MOC；

(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；

(3)求三棱锥V­ABC的体积．

图7­5­14

[解]　(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，

所以OM∥VB.3分

又因为VB⊂/平面MOC，所以VB∥平面MOC.5分

(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.

又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，

所以OC⊥平面VAB.

所以平面MOC⊥平面VAB.8分

(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，

所以AB＝2，OC＝1.

所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝.9分

又因为OC⊥平面VAB，

所以三棱锥C­VAB的体积等于OC·S△VAB＝.

又因为三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，所以三棱锥V­ABC的体积为.12分

10．⊙O的直径AB＝4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图7­5­15②)．

①　　　　　　　　②

图7­5­15

(1)求证：OF∥平面ACD；

(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．

[解]　(1)证明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，1分

又因为F为的中点，

所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，3分

又AC⊂平面ACD，OF⊄平面ACD，

所以OF∥平面ACD.5分

(2)存在，E为AD中点，

因为OA＝OD，所以OE⊥AD.7分

又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．

所以OC⊥平面OAD.9分

又AD⊂平面OAD，所以AD⊥OC，

由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，

所以AD⊥平面OCE.

又AD⊂平面ACD，

所以平面OCE⊥平面ACD.12分

B组　能力提升

(建议用时：15分钟)

1．(2017·贵州贵阳二模)如图7­5­16，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是(　　)

图7­5­16

A．O是△AEF的垂心

B．O是△AEF的内心

C．O是△AEF的外心

D．O是△AEF的重心

A　[由题意可知PA，PE，PF两两垂直，

所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，

而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，

所以EF⊥平面PAO，

所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，

所以O为△AEF的垂心．]

2．如图7­5­17，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

【导学号：01772263】

图7­5­17

a或2a　[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.

为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．

设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，

∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.]

3．(2016·四川高考)如图7­5­18，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.

图7­5­18

(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.

[解]　(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．

理由如下：连接CM，

因为AD∥BC，BC＝AD，

所以BC∥AM，且BC＝AM.2分

所以四边形AMCB是平行四边形，

所以CM∥AB.

又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，

所以CM∥平面PAB.

(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)5分

(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，

因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.8分

因为AD∥BC，BC＝AD，M为AD的中点，连接BM，

所以BC∥MD，且BC＝MD，

所以四边形BCDM是平行四边形，

所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.

又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.12分