高三数学一轮复习： 第2章 第11节 课时分层训练14

课时分层训练(十四)　导数与函数的单调性

A组　基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，2)　　　　　 B.(0,3)

C．(1,4)  D.(2，＋∞)

D　[因为f(x)＝(x－3)ex，

则f′(x)＝ex(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2，

所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]

图2­11­2

2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图2­11­2所示，则下列叙述正确的是(　　)

【导学号：01772083】

A．f(b)＞f(c)＞f(d)

B．f(b)＞f(a)＞f(e)

C．f(c)＞f(b)＞f(a)

D．f(c)＞f(e)＞f(d)

C　[依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a)．因此C正确．]

3．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的

(　　)

A．充分不必要条件  B.必要不充分条件

C．充要条件  D.既不充分也不必要条件

A　[f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．]

4．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为(　　)

【导学号：01772084】

A．(－∞，2)  B.(－∞，2]

C.  D.

D　[∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，

即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．

令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，

∴当x＞2时，g′(x)＞0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，

∴m≤2＋＝，故选D.]

5．(2016·湖北枣阳第一中学3月模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)

A．(－1,1)  B.(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)  D.(－∞，＋∞)

B　[由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)，所以x＞－1，故选B.]

二、填空题

6．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________.

【导学号：01772085】

单调递增　[在(0,2π)上有f′(x)＝1－cos x＞0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．]

7．函数f(x)＝的单调递增区间是________．

(0，e)　[由f′(x)＝′＝＞0(x＞0)，

可得解得x∈(0，e)．]

8．已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a＞0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是________．

∪[1，＋∞)　[f′(x)＝－4x＋，

若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，

即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0

在[1,2]上恒成立，

即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．

令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，

所以≥h(2)或≤h(1)，

即≥或≤3，

又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的单调区间．

[解]　(1)由题意得f′(x)＝，

又f′(1)＝＝0，故k＝1.                     5分

(2)由(1)知，f′(x)＝.

设h(x)＝－ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－－＜0，

即h(x)在(0，＋∞)上是减函数.                  8分

由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0；

当x＞1时，h(x)＜0，从而f′(x)＜0.

综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，

单调递减区间是(1，＋∞).                     12分

10．(2015·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．

(1)确定a的值；

(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．

[解]　(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，2分

因为f(x)在x＝－处取得极值，

所以f′＝0，

即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝.5分

(2)由(1)得g(x)＝ex，

故g′(x)＝ex＋ex

＝ex

＝x(x＋1)(x＋4)ex.8分

令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝－4.

当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；

当－4<x<－1时，g′(x)>0，故g(x)为增函数；

当－1<x<0时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；

当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．

综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.12分

B组　能力提升

(建议用时：15分钟)

1．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则(　　)

【导学号：01772086】

A．a＜b＜c  B.c＜b＜a

C．c＜a＜b  D.b＜c＜a

C　[依题意得，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；

又f(3)＝f(－1)，且－1＜0＜＜1，

因此有f(－1)＜f(0)＜f，

即有f(3)＜f(0)＜f，c＜a＜b.]

2．(2017·石家庄质检(二))设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＞0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．

(－2,0)∪(2，＋∞)　[令g(x)＝，则g′(x)＝＞0，x∈(0，＋∞)，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(－x)＝＝＝＝g(x)，则g(x)是偶函数，g(－2)＝0＝g(2)，则f(x)＝xg(x)＞0⇔或解得x＞2或－2＜x＜0，故不等式f(x)＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．]

3．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.

(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；

(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．

[解]　(1)由已知得f′(x)＝，∴f′(1)＝1＝a，a＝2.

又∵g(1)＝0＝a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1.          5分

(2)∵φ(x)＝－f(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数，

∴φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立，

即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，

则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞).                   9分

∵x＋∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.

故实数m的取值范围是(－∞，2].                  12分