高三数学一轮复习： 第7章 第3节 课时分层训练40

这是一份高三数学一轮复习： 第7章 第3节 课时分层训练40，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2015·湖北高考)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( )
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
A [若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线，故p⇒q，qD⇒/p，故p是q的充分不必要条件．]
2．已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( )
A．0 B.1
C．2 D.3
B [法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．
法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确．]
3．(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行
B．相交或异面
C．平行或异面
D．相交、平行或异面
D [依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．]
4．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
【导学号：01772251】
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
D [如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.
若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．
因此l1与l4的位置关系不能确定．]
5．(2017·河北师大附中月考)三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1与AC、AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，则A1B与AC1所成角的正弦值为
( )
A．1 B.eq \f(1,3)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(6),3)
D [如图所示，把三棱柱补形为四棱柱ABDC­A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，则BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角，设A1B＝a，在△A1BD1中，A1B＝a，BD1＝eq \r(3)a，A1D1＝eq \r(2)a，∴sin∠A1BD1＝eq \f(\r(6),3).]
二、填空题
6.如图7­3­7所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
图7­3­7
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)
③④ [由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．
因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.]
7. (2017·佛山模拟)如图7­3­8所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝eq \r(2)∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．
图7­3­8
60° [取A1C1 的中点E，连接B1E，ED，AE，
在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，
设AB＝1，则A1A＝eq \r(2)，AB1＝eq \r(3)，B1E＝eq \f(\r(3),2)，AE＝eq \f(3,2)，故∠AB1E＝60°.]
8．如图7­3­9，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
【导学号：01772252】
图7­3­9
4 [取CD的中点为G(图略)，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]
三、解答题
9.如图7­3­10所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：
图7­3­10
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
[解] (1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.2分
又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线.5分
(2)直线D1B和CC1是异面直线.6分
理由：因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，10分
这与B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假设不成立，
即D1B和CC1是异面直线.12分
10．如图7­3­11所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq \f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq \r(3)，PA＝2.求：
图7­3­11
(1)三棱锥P­ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
[解] (1)S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3)，
三棱锥P­ABC的体积为
V＝eq \f(1,3)S△ABC·PA＝eq \f(1,3)×2eq \r(3)×2＝eq \f(4,3)eq \r(3).5分
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).8分
在△ADE中，DE＝2，AE＝eq \r(2)，AD＝2，cs∠ADE＝eq \f(22＋22－2,2×2×2)＝eq \f(3,4).
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq \f(3,4).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·南昌二模)设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α
C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α
D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α
B [若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；
若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；
若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误．]
2.如图7­3­12，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________.
【导学号：01772253】
图7­3­12
eq \f(\r(3),6) [取DE的中点H，连接HF，GH.
由题设，HF綊eq \f(1,2)AD，
∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．
在△GHF中，可求HF＝eq \r(2)，
GF＝GH＝eq \r(6)，
∴cs∠GFH＝eq \f(\r(2)2＋\r(6)2－\r(6)2,2×\r(2)×\r(6))＝eq \f(\r(3),6).]
3．(2016·广州模拟)已知三棱锥A­BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．
[解] 如图，取AC的中点P.连接PM，PN，又点M，N分别是BC，AD的中点，
则PM∥AB，且PM＝eq \f(1,2)AB，
PN∥CD，且PN＝eq \f(1,2)CD，
所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角).6分
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，
①若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角)．
又因为AB＝CD，所以PM＝PN，
则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，
即AB和MN所成的角为60°.9分
②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形，
所以∠PMN＝30°，即AB和MN所成的角为30°.
综上，直线AB和MN所成的角为60°或30°.12分