高三数学一轮复习： 第4章 第1节 课时分层训练24

这是一份高三数学一轮复习： 第4章 第1节 课时分层训练24，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，已知M是BC中点，设eq \(CB,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，则eq \(AM,\s\up6(→))＝( )
【导学号：01772142】
A.eq \f(1,2)a－b B.eq \f(1,2)a＋b
C．a－eq \f(1,2)b D.a＋eq \f(1,2)b
A [eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝－eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝－b＋eq \f(1,2)a，故选A.]
2．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则下列一定共线的三点是( )
A．A，B，C B.A，B，D
C．B，C，D D.A，C，D
B [因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq \(AB,\s\up6(→))，又eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))有公共点A，所以A，B，D三点共线．]
3．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))，则λ等于( )
【导学号：01772143】
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3)
C．－eq \f(1,3) D.－eq \f(2,3)
A [∵eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，即eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝2(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))，∴λ＝eq \f(2,3).]
4．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分条件是( )
A．a＝－b B.a∥b
C．a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
C [eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)⇔a＝eq \f(|a|b,|b|)⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.B，D选项中a和b可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]
5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且eq \(DC,\s\up6(→))＝2eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝2eq \(EA,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))( )
A．反向平行 B.同向平行
C．互相垂直 D.既不平行也不垂直
A [由题意得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))，
因此eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
故eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))反向平行．]
二、填空题
6．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))满足等式eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为________.
【导学号：01772144】
平行四边形 [由eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))得eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为平行四边形．]
7．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若eq \(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq \(DC,\s\up6(→))＝3e2，则eq \(OC,\s\up6(→))＝________.(用e1，e2表示)
eq \f(5,2)e1＋eq \f(3,2)e2 [在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(5e1＋3e2)．]
8．(2015·北京高考)在△ABC中，点M，N满足eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(MC,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→)).若eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则x＝________；y＝________.
eq \f(1,2) －eq \f(1,6) [∵eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(MC,\s\up6(→))，∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)).
∵eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→))，∴eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴MN＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→)).
又eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，∴x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,6).]
三、解答题
9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→)).
图4­1­1
[解] eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.2分
eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b.12分
10．设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果eq \(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，
求证：A，C，D三点共线；
(2)如果eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．
[解] (1)证明：∵eq \(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，
eq \(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝4e1＋e2
＝－eq \f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线.3分
又∵eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))有公共点C，∴A，C，D三点共线.5分
(2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2.7分
∵A，C，D三点共线，
∴eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线，从而存在实数λ使得eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))，9分
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得λ＝eq \f(3,2)，k＝eq \f(4,3).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．设M是△ABC所在平面上的一点，且eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(MC,\s\up6(→))＝0，D是AC的中点，则eq \f(|\(MD,\s\up6(→))|,|\(BM,\s\up6(→))|)的值为 ( )
【导学号：01772145】
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C．1 D.2
A [∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD(图略)，∴四边形MAEC为平行四边形，∴eq \(MD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(ME,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→)))．∵eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(MC,\s\up6(→))＝0，∴eq \(MB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)(eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→)))＝－3eq \(MD,\s\up6(→))，∴eq \f(|\(MD,\s\up6(→))|,|\(BM,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\(MD,\s\up6(→))|,|－3\(MD,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,3)，故选A.]
2．(2017·辽宁大连高三双基测试)如图4­1­2，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.
图4­1­2
eq \f(2,3) [因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.
因为点M为AH的中点，所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AH,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BH,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(BC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))，又eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(1,2)，μ＝eq \f(1,6)，所以λ＋μ＝eq \f(2,3).]
3．已知a，b不共线，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OD,\s\up6(→))＝d，eq \(OE,\s\up6(→))＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
[解] 由题设知，eq \(CD,\s\up6(→))＝d－c＝2b－3a，eq \(CE,\s\up6(→))＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得eq \(CE,\s\up6(→))＝keq \(CD,\s\up6(→))，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，3分
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.6分
因为a，b不共线，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t－3＋3k＝0，,t－2k＝0，))9分
解之得t＝eq \f(6,5).故存在实数t＝eq \f(6,5)使C，D，E三点在一条直线上.12分