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    高三数学一轮复习: 第3章 第3节 三角函数的图象与性质 试卷

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    高三数学一轮复习: 第3章 第3节 三角函数的图象与性质

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    这是一份高三数学一轮复习: 第3章 第3节 三角函数的图象与性质,共10页。

    1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
    正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:(0,0),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),1)),(π,0),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2),-1)),(2π,0).
    余弦函数y=cs x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:(0,1),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),0)),(π,-1),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2),0)),(2π,1).
    2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
    1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)常数函数f(x)=a是周期函数,它没有最小正周期.( )
    (2)函数y=sin x的图象关于点(kπ,0)(k∈Z)中心对称.( )
    (3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( )
    (4)y=sin |x|是偶函数.( )
    [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
    2.(2017·云南二次统一检测)函数f(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(5π,2)))的图象关于( )
    A.原点对称 B.y轴对称
    C.直线x=eq \f(5π,2)对称 D.直线x=-eq \f(5π,2)对称
    A [函数f(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(5π,2)))=-sin 2x是奇函数,则图象关于原点对称,故选A.]
    3.函数y=tan 2x的定义域是( )
    A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ+\f(π,4),k∈Z)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)+\f(π,8),k∈Z))))
    C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ+\f(π,8),k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)+\f(π,4),k∈Z))))
    D [由2x≠kπ+eq \f(π,2),k∈Z,得x≠eq \f(kπ,2)+eq \f(π,4),k∈Z,
    ∴y=tan 2x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)+\f(π,4),k∈Z)))).]
    4.(2017·长沙模拟(一))函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+\f(π,3))),x∈[-2π,2π]的单调递增区间是
    ( )
    A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-2π,-\f(5π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-2π,-\f(5π,3)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),2π))
    C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(5π,3),\f(π,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),2π))
    C [令z=eq \f(1,2)x+eq \f(π,3),函数y=sin z的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ-\f(π,2),2kπ+\f(π,2)))(k∈Z),由2kπ-eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x+eq \f(π,3)≤2kπ+eq \f(π,2)得4kπ-eq \f(5π,3)≤x≤4kπ+eq \f(π,3),而x∈[-2π,2π],故其单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(5π,3),\f(π,3))),故选C.]
    5.(教材改编)函数f(x)=4-2cs eq \f(1,3)x的最小值是________,取得最小值时,x的取值集合为________.
    2 {x|x=6kπ,k∈Z} [f(x)min=4-2=2,此时,eq \f(1,3)x=2kπ(k∈Z),x=6kπ(k∈Z),所以x的取值集合为{x|x=6kπ,k∈Z}.]
    (1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)=cs 2x+6cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-x))的最大值为( )
    A.4 B.5
    C.6 D.7
    (2)函数y=lg(sin 2x)+eq \r(,9-x2)的定义域为________.
    (1)B (2)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-3,-\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))) [(1)∵f(x)=cs 2x+6cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-x))=cs 2x+6sin x
    =1-2sin2x+6sin x=-2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x-\f(3,2)))2+eq \f(11,2),
    又sin x∈[-1,1],∴当sin x=1时,f(x)取得最大值5.故选B.
    (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin 2x>0,,9-x2≥0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ<x<kπ+\f(π,2),k∈Z,,-3≤x≤3,))
    ∴-3≤x<-eq \f(π,2)或0<x<eq \f(π,2),
    ∴函数y=lg(sin 2x)+eq \r(,9-x2)的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-3,-\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))).]
    [规律方法] 1.三角函数定义域的求法
    求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
    2.求三角函数最值或值域的常用方法
    (1)直接法:直接利用sin x和cs x的值域求解.
    (2)化一法:把所给三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,由正弦函数单调性写出函数的值域.
    (3)换元法:把sin x,cs x,sin xcs x或sin x±cs x换成t,转化为二次函数求解.
    [变式训练1] (1)已知函数y=2cs x的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),π)),值域为[a,b],则b-a的值是( )
    A.2 B.3
    C.eq \r(,3)+2 D.2-eq \r(,3)
    (2)求函数y=cs2x+sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|x|≤\f(π,4)))的最大值与最小值.
    【导学号:01772113】
    (1)B [∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),π)),∴cs x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-1,\f(1,2))),故y=2cs x的值域为[-2,1],
    ∴b-a=3.]
    (2)令t=sin x,∵|x|≤eq \f(π,4),∴t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(\r(,2),2),\f(\r(,2),2))),3分
    ∴y=-t2+t+1=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t-\f(1,2)))2+eq \f(5,4),
    ∴当t=eq \f(1,2)时,ymax=eq \f(5,4),当t=-eq \f(\r(,2),2)时,ymin=eq \f(1-\r(,2),2),7分
    ∴函数y=cs2x+sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|x|≤\f(π,4)))的最大值为eq \f(5,4),最小值为eq \f(1-\r(,2),2).12分
    (1)(2017·洛阳模拟)已知ω>0,函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx+\f(π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π))上单调递减,则ω的取值范围是( )
    A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(5,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(3,4)))
    C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))) D.(0,2]
    (2)函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2x+\f(π,3)))的单调减区间为________.
    (1)A (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ-\f(π,12),kπ+\f(5π,12)))(k∈Z) [(1)由eq \f(π,2)<x<π得eq \f(π,2)ω+eq \f(π,4)<ωx+eq \f(π,4)<πω+eq \f(π,4),由题意知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)ω+\f(π,4),πω+\f(π,4)))⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(3π,2))),
    所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)ω+\f(π,4)≥\f(π,2),,πω+\f(π,4)≤\f(3π,2),))解得eq \f(1,2)≤ω≤eq \f(5,4).
    (2)由已知函数为y=-sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3))),欲求函数的单调减区间,只需求y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))的单调增区间即可.
    由2kπ-eq \f(π,2)≤2x-eq \f(π,3)≤2kπ+eq \f(π,2),k∈Z,
    得kπ-eq \f(π,12)≤x≤kπ+eq \f(5π,12),k∈Z.
    故所求函数的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ-\f(π,12),kπ+\f(5π,12)))(k∈Z).]
    [规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法
    (1)求函数的单调区间应遵循简化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
    (2)求形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.若ω<0,应先用诱导公式化x的系数为正数,以防止把单调性弄错.
    2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
    [变式训练2] (1)函数f(x)=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))的单调递增区间是________.
    (2)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,3)))上单调递增,在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(π,2)))上单调递减,则ω=________.

    【导学号:01772114】
    (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)-\f(π,12),\f(kπ,2)+\f(5π,12)))(k∈Z) (2)eq \f(3,2) [(1)由-eq \f(π,2)+kπ<2x-eq \f(π,3)<eq \f(π,2)+kπ(k∈Z),
    得eq \f(kπ,2)-eq \f(π,12)<x<eq \f(kπ,2)+eq \f(5π,12)(k∈Z).
    (2)∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,
    ∴当0≤ωx≤eq \f(π,2),即0≤x≤eq \f(π,2ω)时,y=sin ωx是增函数;
    当eq \f(π,2)≤ωx≤eq \f(3π,2),即eq \f(π,2ω)≤x≤eq \f(3π,2ω)时,y=sin ωx是减函数.
    由f(x)=sin ωx(ω>0)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,3)))上单调递增,
    在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(π,2)))上单调递减知,eq \f(π,2ω)=eq \f(π,3),∴ω=eq \f(3,2).]
    ☞角度1 奇偶性与周期性的判断
    (1)(2014·全国卷Ⅰ)在函数:①y=cs|2x|,②y=|cs x|,③y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6))),④y=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,4)))中,最小正周期为π的所有函数为( )
    A.②④ B.①③④
    C.①②③ D.①③
    (2)函数y=1-2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3π,4)))是( )
    A.最小正周期为π的奇函数
    B.最小正周期为π的偶函数
    C.最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数
    D.最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数
    (1)C (2)A [(1)①y=cs|2x|=cs 2x,T=π.
    ②由图象知,函数的周期T=π.
    ③T=π.
    ④T=eq \f(π,2).
    综上可知,最小正周期为π的所有函数为①②③.
    (2)y=1-2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3π,4)))=cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3π,4)))=-sin 2x,所以f(x)是最小正周期为π的奇函数.]
    ☞角度2 求三角函数的对称轴、对称中心
    (2016·安徽江南十校3月联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0,|φ|<\f(π,2)))的最小正周期为4π,且对任意x∈R,都有f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))成立,则f(x)图象的一个对称中心的坐标是( )
    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2π,3),0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,3),0))
    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3),0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3),0))
    A [由f(x)=sin (ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=eq \f(1,2).因为f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))恒成立,所以f(x)max=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))),
    即eq \f(1,2)×eq \f(π,3)+φ=eq \f(π,2)+2kπ(k∈Z),
    ∴φ=eq \f(π,3)+2kπ(k∈Z),由|φ|<eq \f(π,2),
    得φ=eq \f(π,3),故f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+\f(π,3))).
    令eq \f(1,2)x+eq \f(π,3)=kπ(k∈Z),
    得x=2kπ-eq \f(2π,3)(k∈Z),故f(x)图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ-\f(2π,3),0))(k∈Z),当k=0时,f(x)图象的一个对称中心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2π,3),0)),故选A.]
    ☞角度3 三角函数对称性的应用
    (1)如果函数y=3cs(2x+φ)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3),0))中心对称,那么|φ|的最小值为( )
    A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4)
    C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
    (2)已知函数f(x)=sin x+acs x的图象关于直线x=eq \f(5π,3)对称,则实数a的值为
    ( )
    A.-eq \r(,3) B.-eq \f(\r(,3),3)
    C.eq \r(,2) D.eq \f(\r(,2),2)
    (1)A (2)B [(1)由题意得3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(4π,3)+φ))
    =3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)+φ+2π))=3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)+φ))=0,
    ∴eq \f(2π,3)+φ=kπ+eq \f(π,2),k∈Z,
    ∴φ=kπ-eq \f(π,6),k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为eq \f(π,6).
    (2)由x=eq \f(5π,3)是f(x)图象的对称轴,
    可得f(0)=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,3))),
    即sin 0+acs 0=sineq \f(10π,3)+acseq \f(10π,3),
    解得a=-eq \f(\r(,3),3).]
    [规律方法] 1.对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.
    2.求三角函数周期的方法:
    (1)利用周期函数的定义.
    (2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acs(ωx+φ)的最小正周期为eq \f(2π,|ω|),y=tan(ωx+φ)的最小正周期为eq \f(π,|ω|).
    (3)借助函数的图象.
    [思想与方法]
    1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再用换元法令t=ωx+φ,将其转化为研究y=sin t的性质.
    2.求三角函数值域(最值)的常用方法:
    (1)将函数变形化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值).
    (2)换元法:把sin x或cs x看作一个整体,可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题.
    3.若f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),则
    (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=eq \f(π,2)+kπ(k∈Z);
    (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
    [易错与防范]
    1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.
    2.求y=Asin(ωx+φ)(A>0)的单调区间,要注意ω的正负,只有当ω>0时,才能将“ωx+φ”整体代入相应单调区间.
    3.利用换元法求三角函数最值时,注意cs x(或sin x)的有界性.
    4.正、余弦函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形且最值点在对称轴上;正切函数的图象只是中心对称图形.
    三角函数的定义域与值域
    三角函数的单调性
    三角函数的奇偶性、周期性、对称性

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