高三数学一轮复习： 第10章 第5节 课时分层训练62

这是一份高三数学一轮复习： 第10章 第5节 课时分层训练62，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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一、选择题
1．(2014·全国卷Ⅰ改编)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
C [设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b.则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种．
因此2本数学书相邻的概率P＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).]
2．(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(8,25) D.eq \f(9,25)
B [设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).]
3．(2017·北京西城区模拟)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(5,12)
C.eq \f(7,12) D.eq \f(5,6)
A [先从4个位置中选一个排4，再从剩下的位置中选一个排3，最后剩下的2个位置排1.
∴共有4×3×1＝12种不同排法．
又卡片排成“1314”只有1种情况，
故所求事件的概率P＝eq \f(1,12).]
4．(2014·全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
【导学号：01772399】
A.eq \f(1,8) B.eq \f(3,8)
C.eq \f(5,8) D.eq \f(7,8)
D [4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，
∴所求概率为1－eq \f(1＋1,16)＝eq \f(7,8).]
5.如图10­5­3，三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a11 a12 a13,a21 a22 a23,a31 a32 a33))
图10­5­3
A.eq \f(3,7) B.eq \f(4,7)
C.eq \f(1,14) D.eq \f(13,14)
D [从九个数中任取三个数的不同取法共有Ceq \\al(3,9)＝84(种)，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,1)＝6(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－eq \f(6,84)＝eq \f(13,14).]
二、填空题
6．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
eq \f(1,6) [从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，基本事件共有Ceq \\al(7,10)＝120个，记事件“七个数的中位数为6”为事件A.
若事件A发生，则6,7,8,9必取，再从0,1,2,3,4,5中任取3个数，有Ceq \\al(3,6)种选法．
故所求概率P(A)＝eq \f(C\\al(3,6),120)＝eq \f(1,6).]
7．(2016·四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则lgab为整数的概率是________．
eq \f(1,6) [从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则有2,3；2,8；2,9；3,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12种取法，其中lgab为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6).]
8．从n个正整数1,2,3，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为eq \f(1,14)，则n＝________.
8 [因为5＝1＋4＝2＋3，
所以eq \f(2,C\\al(2,n))＝eq \f(1,14)，解得n＝8(舍去n＝－7)．]
三、解答题
9．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
[解] (1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，
A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，
B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．
由题意知A1与A2相互独立，A1 eq \x\t(A2)与eq \x\t(A1)A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1eq \x\t(A2)＋eq \x\t(A1)A2，C＝B1＋B2.
因为P(A1)＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，P(A2)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2)，
所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,5)，P(B2)＝P(A1eq \x\t(A2)＋eq \x\t(A1)A2)＝P(A1eq \x\t(A2))＋P(eq \x\t(A1)A2)
＝P(A1)P(eq \x\t(A2))＋P(eq \x\t(A1))P(A2)
＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)
＝eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,10).
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为eq \f(1,5)，所以X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,5))).
于是P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))3＝eq \f(64,125)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2＝eq \f(48,125)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))1＝eq \f(12,125)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))0＝eq \f(1,125).
故X的分布列为
X的数学期望为E(X)＝3×eq \f(1,5)＝eq \f(3,5).
10．(2017·云南昆明检测)一个盒子里装有若干个均匀的红球和白球，每个球被取到的概率相等．若从盒子里随机取一个球，取到的球是红球的概率为eq \f(1,3)；若一次从盒子里随机取两个球，取到的球至少有一个是白球的概率为eq \f(10,11).
(1)该盒子里的红球、白球分别为多少个？
(2)若一次从盒子中随机取出3个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率．
[解] (1)设该盒子里有红球m个，有白球n个，
根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m,m＋n)＝\f(1,3)，,1－\f(C\\al(2,m),C\\al(2,m＋n))＝\f(10,11)，))3分
解方程组得m＝4，n＝8，
∴红球4个，白球8个.5分
(2)设“从盒子中任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A，则P(A)＝eq \f(C\\al(3,8)＋C\\al(2,8)·C\\al(1,4),C\\al(3,12))＝eq \f(42,55)，8分
因此，从盒子中任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数的概率为eq \f(42,55).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·安徽马鞍山模拟)某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(1,9)
C.eq \f(5,36) D.eq \f(1,6)
A [先后掷两次骰子的结果共6×6＝36种．
以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为eq \f(3,36)＝eq \f(1,12).]
2．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
eq \f(1,2) [从10件产品中取4件，共有Ceq \\al(4,10)种取法，取到1件次品的取法为Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(3,7)种，由古典概型概率计算公式得P＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(3,7),C\\al(4,10))＝eq \f(3×35,210)＝eq \f(1,2).]
3．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图10­5­4所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
图10­5­4
(1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
[解] (1)由茎叶图可知，样本数据为17,19,20,21,25,30.
则eq \x\t(x)＝eq \f(1,6)(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，
故样本均值为22.4分
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，
故优秀工人的频率为eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).6分
该车间12名工人中优秀工人大约有12×eq \f(1,3)＝4(名)，
故该车间约有4名优秀工人.8分
(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A，其包含的基本事件总数为Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,8)＝32，所有基本事件的总数为Ceq \\al(2,12)＝66.10分
由古典概型概率公式，得P(A)＝eq \f(32,66)＝eq \f(16,33).
所以恰有1名优秀工人的概率为eq \f(16,33).12分
X
0
1
2
3
P
eq \f(64,125)
eq \f(48,125)
eq \f(12,125)
eq \f(1,125)