高考数学一轮复习讲义第4章第5节第1课时简单的三角恒等变化

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1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cs(α－β)＝csαcsβ＋sin αsin β，(C(α－β))
cs(α＋β)＝csαcsβ－sin αsin β，(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcsβ－csαsin β，(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin αcsβ＋csαsin β，(S(α＋β))
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)，(T(α－β))
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).(T(α＋β))
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcsα；
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
【知识拓展】
1．降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
2．升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α.
3．辅助角公式：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )
(2)在锐角△ABC中，sin AsinB和csAcsB大小不确定．( × )
(3)若α＋β＝45°，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β.( √ )
(4)对任意角α都有1＋sin α＝(sin eq \f(α,2)＋cseq \f(α,2))2.( √ )
(5)y＝3sin x＋4cs x的最大值是7.( × )
(6)在非直角三角形中，tan A＋tan B＋tan C＝tan AtanBtanC．( √ )
1．(教材改编)sin 18°cs 27°＋cs 18°sin 27°的值是( )
A.eq \f(\r(2),2)B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2)D．－eq \f(\r(2),2)
答案 A
解析 sin 18°cs 27°＋cs 18°sin 27°＝sin(18°＋27°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).
2．化简eq \f(cs 40°,cs 25°\r(1－sin 40°))等于( )
A．1 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D．2
答案 C
解析 原式＝eq \f(cs 40°,cs 25°\r(1－cs 50°))
＝eq \f(cs 40°,cs 25°·\r(2)sin 25°)＝eq \f(cs 40°,\f(\r(2),2)sin 50°)＝eq \r(2).
3．若eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)，则tan 2α等于( )
A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(4,3) D.eq \f(4,3)
答案 B
解析 由eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)，等式左边分子、分母同除csα，得eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(1,2)，解得tan α＝－3，
则tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(3,4).
4．tan 20°＋tan 40°＋eq \r(3)tan 20°tan 40°＝.
答案 eq \r(3)
解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝eq \f(tan 20°＋tan 40°,1－tan 20°tan 40°)，
∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)
＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 20°tan 40°，
∴原式＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 20°tan 40°＋eq \r(3)tan 20°tan 40°＝eq \r(3).
5．(2016·浙江)已知2cs2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝，b＝.
答案 eq \r(2) 1
解析 ∵2cs2x＋sin 2x＝cs 2x＋1＋sin 2x
＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs 2x＋\f(\r(2),2)sin 2x))＋1＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1
＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，∴A＝eq \r(2)，b＝1.
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一 和差公式的直接应用
例1 (1)(2016·广州模拟)已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈(eq \f(π,2)，π)，则eq \f(cs 2α,\r(2)sinα＋\f(π,4))＝.
(2)在△ABC中，若tan AtanB＝tan A＋tan B＋1，则csC的值为( )
A．－eq \f(\r(2),2)B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,2)D．－eq \f(1,2)
答案 (1)－eq \f(7,5) (2)B
解析 (1)eq \f(cs 2α,\r(2)sinα＋\f(π,4))＝eq \f(cs2α－sin2α,\r(2)\f(\r(2),2)sin α＋\f(\r(2),2)cs α)＝csα－sin α，
∵sin α＝eq \f(3,5)，α∈(eq \f(π,2)，π)，
∴csα＝－eq \f(4,5)，∴原式＝－eq \f(7,5).
(2)由tan AtanB＝tan A＋tan B＋1，
可得eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－1，即tan(A＋B)＝－1，
又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝eq \f(3π,4)，
则C＝eq \f(π,4)，csC＝eq \f(\r(2),2).
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
(1)(2016·全国丙卷)若tan α＝eq \f(3,4)，则cs2α＋2sin 2α等于( )
A.eq \f(64,25) B.eq \f(48,25) C．1 D.eq \f(16,25)
(2)计算eq \f(sin 110°sin 20°,cs2155°－sin2155°)的值为( )
A．－eq \f(1,2)B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2)D．－eq \f(\r(3),2)
答案 (1)A (2)B
解析 (1)tan α＝eq \f(3,4)，则cs2α＋2sin 2α＝eq \f(cs2α＋2sin 2α,cs2α＋sin2α)
＝eq \f(1＋4tan α,1＋tan2α)＝eq \f(64,25).
(2)eq \f(sin 110°sin 20°,cs2155°－sin2155°)＝eq \f(sin 70°sin 20°,cs 310°)
＝eq \f(cs 20°sin 20°,cs 50°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,sin 40°)＝eq \f(1,2).
题型二 和差公式的综合应用
命题点1 角的变换
例2 (1)设α、β都是锐角，且csα＝eq \f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，则csβ等于( )
A.eq \f(2\r(5),25)B.eq \f(2\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),25)或eq \f(2\r(5),5)D.eq \f(\r(5),5)或eq \f(\r(5),25)
(2)已知cs(α－eq \f(π,6))＋sin α＝eq \f(4,5)eq \r(3)，则sin(α＋eq \f(7π,6))的值是．
答案 (1)A (2)－eq \f(4,5)
解析 (1)依题意得sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，
cs(α＋β)＝±eq \r(1－sin2α＋β)＝±eq \f(4,5).
又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，csα>cs(α＋β)．
因为eq \f(4,5)>eq \f(\r(5),5)>－eq \f(4,5)，所以cs(α＋β)＝－eq \f(4,5).
于是csβ＝cs[(α＋β)－α]
＝cs(α＋β)csα＋sin(α＋β)sin α
＝－eq \f(4,5)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3,5)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(2\r(5),25).
(2)∵cs(α－eq \f(π,6))＋sin α＝eq \f(4,5)eq \r(3)，
∴eq \f(\r(3),2)csα＋eq \f(3,2)sin α＝eq \f(4,5)eq \r(3)，
eq \r(3)(eq \f(1,2)csα＋eq \f(\r(3),2)sin α)＝eq \f(4,5)eq \r(3)，eq \r(3)sin(eq \f(π,6)＋α)＝eq \f(4,5)eq \r(3)，
∴sin(eq \f(π,6)＋α)＝eq \f(4,5)，
∴sin(α＋eq \f(7π,6))＝－sin(eq \f(π,6)＋α)＝－eq \f(4,5).
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝(α＋eq \f(β,2))－(eq \f(α,2)＋β)等．
命题点2 三角函数式的变形
例3 (1)化简：eq \f(1＋sin θ＋cs θsin \f(θ,2)－cs \f(θ,2),\r(2＋2cs θ)) (0<θ<π)；
(2)求值：eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)－sin 10°(eq \f(1,tan 5°)－tan 5°)．
解 (1)由θ∈(0，π)，得0∴cseq \f(θ,2)>0，
∴eq \r(2＋2cs θ)＝eq \r(4cs2\f(θ,2))＝2cs eq \f(θ,2).
又(1＋sin θ＋csθ)(sin eq \f(θ,2)－cseq \f(θ,2))
＝(2sin eq \f(θ,2)cseq \f(θ,2)＋2cs2eq \f(θ,2))(sin eq \f(θ,2)－cseq \f(θ,2))
＝2cs eq \f(θ,2)(sin2eq \f(θ,2)－cs2eq \f(θ,2))
＝－2cs eq \f(θ,2)csθ.
故原式＝eq \f(－2cs \f(θ,2)cs θ,2cs \f(θ,2))＝－csθ.
(2)原式＝eq \f(2cs210°,2×2sin 10°cs 10°)－sin 10°(eq \f(cs 5°,sin 5°)－eq \f(sin 5°,cs 5°))
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°·eq \f(cs25°－sin25°,sin 5°cs 5°)
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°·eq \f(cs 10°,\f(1,2)sin 10°)
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－2cs 10°＝eq \f(cs 10°－2sin 20°,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2sin30°－10°,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°,2sin 10°)
＝eq \f(\r(3)sin 10°,2sin 10°)＝eq \f(\r(3),2).
引申探究
化简：eq \f(1＋sin θ－cs θsin \f(θ,2)－cs \f(θ,2),\r(2－2cs θ)) (0<θ<π)．
解 ∵0又1＋sin θ－csθ＝2sin eq \f(θ,2)cseq \f(θ,2)＋2sin2eq \f(θ,2)
＝2sin eq \f(θ,2)(sin eq \f(θ,2)＋cseq \f(θ,2))
∴原式＝eq \f(2sin \f(θ,2)sin \f(θ,2)＋cs \f(θ,2)sin \f(θ,2)－cs \f(θ,2),2sin \f(θ,2))＝－csθ.
(1)(2016·宿州模拟)若sin(eq \f(π,4)＋α)＝eq \f(1,3)，则cs(eq \f(π,2)－2α)等于( )
A.eq \f(4\r(2),9)B．－eq \f(4\r(2),9)
C.eq \f(7,9)D．－eq \f(7,9)
(2)(2016·青岛模拟)化简(tan α＋eq \f(1,tan α))·eq \f(1,2)sin 2α－2cs2α等于( )
A．cs2αB．sin2α
C．cs 2αD．－cs 2α
(3)计算：sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)＝.
答案 (1)D (2)D (3)1
解析 (1)∵sin(eq \f(π,4)＋α)＝eq \f(1,3)，∴cs(eq \f(π,4)－α)＝eq \f(1,3)，
∴cs(eq \f(π,2)－2α)＝cs 2(eq \f(π,4)－α)＝2×eq \f(1,9)－1＝－eq \f(7,9).
(2)原式＝eq \f(1,sin αcs α)·eq \f(1,2)sin 2α－2cs2α
＝1－2cs2α＝－cs 2α.
(3)sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)＝sin 50°(1＋eq \r(3)eq \f(sin 10°,cs 10°))
＝sin 50°×eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,cs 10°)
＝sin 50°×eq \f(2\f(1,2)cs 10°＋\f(\r(3),2)sin 10°,cs 10°)
＝eq \f(2sin 50°cs 50°,cs 10°)＝eq \f(sin 100°,cs 10°)＝eq \f(cs 10°,cs 10°)＝1.
8．利用联系的观点进行角的变换
典例 (1)设α为锐角，若cs(α＋eq \f(π,6))＝eq \f(4,5)，则sin(2α＋eq \f(π,12))的值为．
(2)若tan α＝2taneq \f(π,5)，则eq \f(csα－\f(3π,10),sinα－\f(π,5))等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
思想方法指导 三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有eq \f(α＋β,2)＝(α－eq \f(β,2))－(eq \f(α,2)－β)；α＝(α－β)＋β；α＋eq \f(π,12)＝(α＋eq \f(π,3))－eq \f(π,4)；15°＝45°－30°等．
解析 (1)∵α为锐角且cs(α＋eq \f(π,6))＝eq \f(4,5)>0，
∴α＋eq \f(π,6)∈(eq \f(π,6)，eq \f(π,2))，∴sin(α＋eq \f(π,6))＝eq \f(3,5).
∴sin(2α＋eq \f(π,12))＝sin[2(α＋eq \f(π,6))－eq \f(π,4)]
＝sin 2(α＋eq \f(π,6))cseq \f(π,4)－cs 2(α＋eq \f(π,6))sin eq \f(π,4)
＝eq \r(2)sin(α＋eq \f(π,6))cs(α＋eq \f(π,6))－eq \f(\r(2),2)[2cs2(α＋eq \f(π,6))－1]
＝eq \r(2)×eq \f(3,5)×eq \f(4,5)－eq \f(\r(2),2)[2×(eq \f(4,5))2－1]
＝eq \f(12\r(2),25)－eq \f(7\r(2),50)＝eq \f(17\r(2),50).
(2)eq \f(csα－\f(3π,10),sinα－\f(π,5))＝eq \f(sinα－\f(3π,10)＋\f(π,2),sinα－\f(π,5))
＝eq \f(sinα＋\f(π,5),sinα－\f(π,5))＝eq \f(sin αcs\f(π,5)＋cs αsin\f(π,5),sin αcs\f(π,5)－cs αsin\f(π,5))
＝eq \f(\f(sin α,cs α)cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),\f(sin α,cs α)cs\f(π,5)－sin\f(π,5))
＝eq \f(2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)－sin\f(π,5))
＝eq \f(3sin\f(π,5),sin\f(π,5))＝3，故选C.
答案 (1)eq \f(17\r(2),50) (2)C
1．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
2．(2016·全国甲卷)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，则sin 2α等于( )
A.eq \f(7,25) B.eq \f(1,5) C．－eq \f(1,5) D．－eq \f(7,25)
答案 D
解析 因为sin 2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1，又因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，所以sin 2α＝2×eq \f(9,25)－1＝－eq \f(7,25)，故选D.
3．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(1,6)B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2)D.eq \f(2,3)
答案 A
解析 因为cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),2)
＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin 2α,2)，
所以cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1－sin 2α,2)＝eq \f(1－\f(2,3),2)＝eq \f(1,6)，故选A.
4．(2016·东北三省三校联考)已知sin α＋csα＝eq \f(1,3)，则sin2(eq \f(π,4)－α)等于( )
A.eq \f(1,18)B.eq \f(17,18)
C.eq \f(8,9)D.eq \f(\r(2),9)
答案 B
解析 由sin α＋csα＝eq \f(1,3)，两边平方得1＋sin 2α＝eq \f(1,9)，
解得sin 2α＝－eq \f(8,9)，
所以sin2(eq \f(π,4)－α)＝eq \f(1－cs\f(π,2)－2α,2)
＝eq \f(1－sin 2α,2)＝eq \f(1＋\f(8,9),2)＝eq \f(17,18).
5.eq \f(2cs 10°－sin 20°,sin 70°)的值是( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \r(3)D.eq \r(2)
答案 C
解析 原式＝eq \f(2cs30°－20°－sin 20°,sin 70°)
＝eq \f(2cs 30°·cs 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°,sin 70°)
＝eq \f(\r(3)cs 20°,cs 20°)＝eq \r(3).
6．(2016·江西九校联考)已知锐角α，β满足sin α－csα＝eq \f(1,6)，tan α＋tan β＋eq \r(3)tan αtan β＝eq \r(3)，则α，β的大小关系是( )
A．αC.eq \f(π,4)<α<βD.eq \f(π,4)<β<α
答案 B
解析 ∵α为锐角，sin α－csα＝eq \f(1,6)>0，∴α>eq \f(π,4).
又tan α＋tan β＋eq \r(3)tan αtan β＝eq \r(3)，
∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \r(3)，
∴α＋β＝eq \f(π,3)，又α>eq \f(π,4)，∴β7．化简eq \f(2tan45°－α,1－tan245°－α)·eq \f(sin αcs α,cs2α－sin2α)＝.
答案 eq \f(1,2)
解析 原式＝tan(90°－2α)·eq \f(\f(1,2)sin 2α,cs 2α)
＝eq \f(sin90°－2α,cs90°－2α)·eq \f(1,2)·eq \f(sin 2α,cs 2α)
＝eq \f(cs 2α,sin 2α)·eq \f(1,2)·eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(1,2).
8．已知tan(eq \f(π,4)＋θ)＝3，则sin 2θ－2cs2θ的值为．
答案 －eq \f(4,5)
解析 ∵tan(eq \f(π,4)＋θ)＝3，
∴eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)＝3，解得tan θ＝eq \f(1,2).
∵sin 2θ－2cs2θ＝sin 2θ－cs 2θ－1
＝eq \f(2sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)－eq \f(cs2θ－sin2θ,sin2θ＋cs2θ)－1
＝eq \f(2tan θ,1＋tan2θ)－eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)－1
＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)－1＝－eq \f(4,5).
9．已知sin(α－β)csα－cs(β－α)sin α＝eq \f(3,5)，β是第三象限角，则sin(β＋eq \f(5π,4))＝.
答案 eq \f(7\r(2),10)
解析 依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝eq \f(3,5)，sin β＝－eq \f(3,5).
又β是第三象限角，因此有csβ＝－eq \f(4,5).
sin(β＋eq \f(5π,4))＝－sin(β＋eq \f(π,4))
＝－sin βcseq \f(π,4)－csβsin eq \f(π,4)＝eq \f(7\r(2),10).
*10.(2016·宝鸡模拟)已知cs(eq \f(π,4)＋θ)cs(eq \f(π,4)－θ)＝eq \f(1,4)，则sin4θ＋cs4θ的值为．
答案 eq \f(5,8)
解析 因为cs(eq \f(π,4)＋θ)cs(eq \f(π,4)－θ)
＝(eq \f(\r(2),2)csθ－eq \f(\r(2),2)sin θ)(eq \f(\r(2),2)csθ＋eq \f(\r(2),2)sin θ)
＝eq \f(1,2)(cs2θ－sin2θ)＝eq \f(1,2)cs 2θ＝eq \f(1,4).
所以cs 2θ＝eq \f(1,2).
故sin4θ＋cs4θ＝(eq \f(1－cs 2θ,2))2＋(eq \f(1＋cs 2θ,2))2
＝eq \f(1,16)＋eq \f(9,16)＝eq \f(5,8).
11．已知α∈(0，eq \f(π,2))，tan α＝eq \f(1,2)，求tan 2α和sin(2α＋eq \f(π,3))的值．
解 ∵tan α＝eq \f(1,2)，
∴tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝eq \f(4,3)，
且eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1,2)，即csα＝2sin α，
又sin2α＋cs2α＝1，∴5sin2α＝1，
而α∈(0，eq \f(π,2))，∴sin α＝eq \f(\r(5),5)，csα＝eq \f(2\r(5),5).
∴sin 2α＝2sin αcsα＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(4,5)，
cs 2α＝cs2α－sin2α＝eq \f(4,5)－eq \f(1,5)＝eq \f(3,5)，
∴sin(2α＋eq \f(π,3))＝sin 2αcseq \f(π,3)＋cs 2αsin eq \f(π,3)＝eq \f(4,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4＋3\r(3),10).
12．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin eq \f(α,2)＋cseq \f(α,2)＝eq \f(\r(6),2).
(1)求csα的值；
(2)若sin(α－β)＝－eq \f(3,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求csβ的值．
解 (1)因为sin eq \f(α,2)＋cseq \f(α,2)＝eq \f(\r(6),2)，
两边同时平方，得sin α＝eq \f(1,2).
又eq \f(π,2)<α<π，所以csα＝－eq \f(\r(3),2).
(2)因为eq \f(π,2)<α<π，eq \f(π,2)<β<π，
所以－π<－β<－eq \f(π,2)，故－eq \f(π,2)<α－β又sin(α－β)＝－eq \f(3,5)，得cs(α－β)＝eq \f(4,5).
csβ＝cs[α－(α－β)]
＝csαcs(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－eq \f(\r(3),2)×eq \f(4,5)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))
＝－eq \f(4\r(3)＋3,10).
*13.(2017·合肥质检)已知cs(eq \f(π,6)＋α)cs(eq \f(π,3)－α)＝－eq \f(1,4)，α∈(eq \f(π,3)，eq \f(π,2))．
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－eq \f(1,tan α)的值．
解 (1)cs(eq \f(π,6)＋α)·cs(eq \f(π,3)－α)
＝cs(eq \f(π,6)＋α)·sin(eq \f(π,6)＋α)
＝eq \f(1,2)sin(2α＋eq \f(π,3))＝－eq \f(1,4)，
即sin(2α＋eq \f(π,3))＝－eq \f(1,2).
∵α∈(eq \f(π,3)，eq \f(π,2))，∴2α＋eq \f(π,3)∈(π，eq \f(4π,3))，
∴cs(2α＋eq \f(π,3))＝－eq \f(\r(3),2)，
∴sin 2α＝sin[(2α＋eq \f(π,3))－eq \f(π,3)]
＝sin(2α＋eq \f(π,3))cseq \f(π,3)－cs(2α＋eq \f(π,3))sin eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
(2)∵α∈(eq \f(π,3)，eq \f(π,2))，∴2α∈(eq \f(2π,3)，π)，
又由(1)知sin 2α＝eq \f(1,2)，∴cs 2α＝－eq \f(\r(3),2).
∴tan α－eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)－eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin2α－cs2α,sin αcs α)
＝eq \f(－2cs 2α,sin 2α)＝－2×eq \f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝2eq \r(3).