高考数学一轮复习 第2章 第10节 课时分层训练13

这是一份高考数学一轮复习 第2章 第10节 课时分层训练13，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
【导学号：31222077】
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)
C [∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于( )
A．－e B．－1
C．1 D．e
B [由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋eq \f(1,x)，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.]
3．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是( )
A．x－3y＋3＝0B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0D．3x－y＋1＝0
C [y′＝cs x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.]
4．(2017·郑州模拟)已知曲线y＝eq \f(x2,4)－3ln x的一条切线的斜率为－eq \f(1,2)，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.eq \f(1,2)
B [因为y＝eq \f(x2,4)－3ln x，所以y′＝eq \f(x,2)－eq \f(3,x).再由导数的几何意义，有eq \f(x,2)－eq \f(3,x)＝－eq \f(1,2)，解得x＝2或x＝－3(舍去)．]
5．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )
【导学号：31222078】
A．4 B．5
C.eq \f(25,4) D.eq \f(13,2)
C [∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，
∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，
故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，
令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－eq \f(5,4)，
∴所求面积S＝eq \f(1,2)×eq \f(5,4)×10＝eq \f(25,4).]
二、填空题
6．(2017·郑州二次质量预测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是________．
2x－y＋1＝0 [由题意得f′(x)＝3x2－1，则f′(1)＝3×12－1＝2，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.]
7．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
【导学号：31222079】
eq \f(1,2) [因为y′＝2ax－eq \f(1,x)，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝eq \f(1,2).]
8．如图2­10­1，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
图2­10­1
0 [由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq \f(1,3)，即f′(3)＝－eq \f(1,3).
又因为g(x)＝xf(x)，
所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.]
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xnlg x；
(2)y＝eq \f(1,x)＋eq \f(2,x2)＋eq \f(1,x3)；
(3)y＝eq \f(sin x,xn).
[解] (1)y′＝nxn－1lg x＋xn·eq \f(1,xln 10)
＝xn－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(nlg x＋\f(1,ln 10))).
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x2)))′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x3)))′
＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′
＝－x－2－4x－3－3x－4
＝－eq \f(1,x2)－eq \f(4,x3)－eq \f(3,x4).
(3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,xn)))′
＝eq \f(xnsin x′－xn′sin x,x2n)
＝eq \f(xncs x－nxn－1sin x,x2n)
＝eq \f(xcs x－nsin x,xn＋1).
10．已知点M是曲线y＝eq \f(1,3)x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
[解] (1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，2分
所以当x＝2时，y′＝－1，y＝eq \f(5,3)，
所以斜率最小的切线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,3)))，4分
斜率k＝－1，
所以切线方程为x＋y－eq \f(11,3)＝0.6分
(2)由(1)得k≥－1，9分
所以tan α≥－1，所以α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·山东高考)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是
( )
A．y＝sin xB．y＝ln x
C．y＝exD．y＝x3
A [若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，
使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.
对于A：y′＝cs x，若有cs x1·cs x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；
对于B：y′＝eq \f(1,x)，若有eq \f(1,x1)·eq \f(1,x2)＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；
对于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；
对于D：y′＝3x2，若有3xeq \\al(2,1)·3xeq \\al(2,2)＝－1，即9xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)＝－1，显然不存在这样的x1，x2.
综上所述，选A.]
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
2x－y＝0 [设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x.
∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，
∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.
∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.]
3．已知函数f(x)＝x－eq \f(2,x)，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．
【导学号：31222080】
[解] 根据题意有f′(x)＝1＋eq \f(2,x2)，g′(x)＝－eq \f(a,x).2分
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，
所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.6分
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为
y－f(1)＝3(x－1)，
所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.9分
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为
y－g(1)＝3(x－1)，
所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，
所以，两条切线不是同一条直线.12分