高考数学一轮复习第八章 8.6

这是一份高考数学一轮复习第八章 8.6，共18页。试卷主要包含了双曲线的概念，双曲线的标准方程和几何性质，已知F1，F2分别是双曲线C等内容，欢迎下载使用。
§8.6　双曲线


1．双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形


性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

概念方法微思考
1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示　不一定．当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；
当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；
当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
2．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,00时，10，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)
题组二　教材改编
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．5 C. D．2
答案　A
解析　由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
答案　A
解析　椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
4．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
答案　－＝1
解析　设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为－＝1.
题组三　易错自纠
5．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是(　　)
A．若C为椭圆，则1b>0，∴渐近线y＝x的斜率小于1，
∵两条渐近线的夹角为α，cos α＝.
∴cos2＝，sin2＝，tan2＝，
∴＝，∴＝，
∴e2＝，∴e＝.
(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)
A．2sin 40° B．2cos 40°
C. D.
答案　D
解析　由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝＝＝
＝＝.
(4)(2019·全国Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B. C．2 D.
答案　A
解析　如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝，①

将x2＋y2＝a2，②
①－②得x＝，
则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2.
由|PQ|＝|OF|，得2＝c，
整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，
解得e＝，故选A.
思维升华　求双曲线的离心率
(1)求双曲线的离心率或其范围的方法
①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
②列出含有a，b，c的等式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
(2)焦点在x轴上的双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝＝.
跟踪训练2　(1)(2019·汉中模拟)若双曲线x2－＝1(m>0)的焦点到渐近线的距离是4，则m的值是(　　)
A．2 B. C．1 D．4
答案　D
解析　双曲线x2－＝1(m>0)的焦点设为(c,0)，
当双曲线方程为－＝1时，
渐近线方程设为bx－ay＝0，可得焦点到渐近线的距离
d＝＝b，
故由题意可得b＝m＝4.
(2)(2019·安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，则其离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，得－＝1，
即＝b2＋4，
所以e＝＝＝>，所以e>.
(3)(2019·天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C．2 D.
答案　D
解析　由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.


1．(2020·衡水质检)对于实数m，“10时，c＝＝，解得λ＝1，
则双曲线C的方程为－y2＝1；
当λ0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为________．
答案　
解析　由题意知＝1，
∴e＝＝.
10．(2020·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．
答案　3
解析　双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，
一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2，
即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，
可得a＝，b＝3，
即有c＝＝＝，
即焦距为2c＝3.
11.如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．

答案　＋1
解析　设F1F2＝2c，连接AF1，
∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，
∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，
2a＝c－c，e＝＝＝＋1.
12.(2020·临川一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1,2)，使得·＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．

答案　
解析　设c为半焦距，则F(c，0)，又B(0，b)，
所以BF：bx＋cy－bc＝0，
以A1A2为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，
因为·＝0，i＝1,2，
所以⊙O与线段BF有两个交点(不含端点)，
所以即
故解得0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且＝3，则双曲线离心率的最小值为(　　)
A. B. C．2 D．2
答案　C
解析　因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A在左支，点B在右支，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)，因为＝3，所以c－x1＝3(c－x2)，3x2－x1＝2c，因为x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a,3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，≥2，即e≥2.所以双曲线离心率的最小值为2.
14．(2019·江南十校联考)已知双曲线C1，C2的焦点分别在x轴，y轴上，渐近线方程都为y＝±x(a>0)，离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．
答案　2
解析　由题意得双曲线C1的方程为－y2＝t(a>0，t>0)，
双曲线C2的方程为y2－＝λ(a>0，λ>0)，
所以e1＝＝，e2＝＝，
所以e1＋e2＝＋≥2＝2≥2(当且仅当a＝1时等号成立)．

15．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，O为坐标原点，若＝(＋)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，
∴|EF|＝＝b，
∵＝(＋)，
∴E为PF的中点，|OP|＝|OF|＝c，|PF|＝2b，
设F′(c,0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，
则EO为△PFF′的中位线，
则|PF′|＝2|OE|＝2a，可设P的坐标为(m，n)，
则有n2＝4cm，
由抛物线的定义可得|PF′|＝m＋c＝2a，
m＝2a－c，n2＝4c(2a－c)，
又|OP|＝c，即有c2＝(2a－c)2＋4c(2a－c)，
化简可得，c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，
由于e>1，解得e＝.
16．(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6)，当△APF周长最小时，则点P的坐标为________．
答案　(－2,2)
解析　如图，由双曲线C的方程可知a2＝1，b2＝8，

∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，
∴c＝3，
∴左焦点E(－3,0)，
右焦点F(3,0)，
∵|AF|＝＝15，
∴当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF|最小．
由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，
∴|PF|＝|PE|＋2，
又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，
∴△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.
直线AE的方程为y＝2x＋6，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，
解得x＝－7(舍)或x＝－2，
由x＝－2，得y＝2(负值已舍)，
∴点P的坐标为(－2,2)．